Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МАТАН / Производная и линал.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
640 Кб
Скачать

1. Определение производной.

Производной от данной функции в данной точке называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента произвольным образом стремится к 0.

2. Определение касательной и нормали к плоской кривой. Вывод их уравнений.

Касательной к данной кривой в данной на ней точке M0 называется предельное положение секущей при условии, что точка M1, перемещаясь по этой кривой, неограниченно приближается к точке M0.

Рассм. M0CM1: M0(x0;y0) M1(x1,y1)

tg=M1C/M0C M0C=x1-x0=x M1C=y1-y0=y

Нормалью данной кривой в данной на ней точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной в этой точке.

3.Теорема о производной суммы двух функций.

Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных слагаемых.

y=u+v, u=u(x), v=v(x).

u и v диф. в т. x=x0.

xu, vy

y+y=u+u+v+v

y=u+u+v+v-y= u+u+v+v-u-v=u+v

4.Теорема о производной произведения двух функций.

Производная произведения двух дифференцируемых функций (y = uv) существует и вычисляется по формуле:

Док-во:

xu, vy

y+y=(u+u)(v+v)=uv+uv+uv+uv

y= uv+uv+uv+uv-uv=uv+uv+uv

Теорема о производной частного двух функций доказывается аналогично.

5. Вывод формулы для производной логарифмической функции.

6. Вывод формул для производных sinx, cosx

y=sinx:

x; y=f(x0+x)-f(x0)

y=sin(x0+x)-sinx0=2sin(x/2)cos(x0+x/2)

y=cosx:

x; y=f(x0+x)-f(x0)

y=cos(x0+x)-cosx0=-2sin(x/2)sin(x0+x/2)

7. Вывод производных показательной и степенной функций.

Производная показательной функции:

Производная степенной функции:

x < 0 y = xα z = - x , z > 0

y = (-1) α z α

y = (-1) α α z α-1 (-x)’ = -(- 1) α α (-x) α-1 = (- 1) α +α -1+1 = α x α - 1

8. Вывод формулы производной сложной функции.

Если функция x=(t) дифференцируема в точке t0, а функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x0=(t0), то сложная функция y=f((t)) дифференцируема в точке t=t0 и ее производная в этой точке находится по формуле

Док-во:

Т. к. функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x0, то y=f ‘(x0)x+(x)x.

9. y=arcsinx. Определение. Вывод производной.

arcsinx - угол, синус которого равен x.

при x = 1 производной не существует

Свойства : Эта функция определена на отрезке -1≤ х ≤1 . её значения заполняют отрезок –π /2≤ y ≤π /2 .

10. Определение непрерывности и дифференцируемости функций. Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x0, если она определена в некоторой окрестности точки x0 (очевидно, и в самой точке x0)и еслиили,что то же самое

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x=x0, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде y=Ax+(x)x, где A=const,

Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x0, то она непрерывна в этой точке.

Дано: y=f ‘(x0)x+(x)x

Док-ть:

Док-во:

Соседние файлы в папке МАТАН