- •1. Определение производной.
- •2. Определение касательной и нормали к плоской кривой. Вывод их уравнений.
- •10. Определение непрерывности и дифференцируемости функций. Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.
- •11. Теорема Ролля и ее геометрический смысл. График
- •12.Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл. График
- •17. Определение максимума и минимума. Док-во необходимого условия экстремума.
- •18. Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточные условия.
- •21. Определение асимптоты к графику функции. Нахождение наклонной и вертикальной асимптоты.
1. Определение производной.
Производной от данной функции в данной точке называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента произвольным образом стремится к 0.
2. Определение касательной и нормали к плоской кривой. Вывод их уравнений.
Касательной к данной кривой в данной на ней точке M0 называется предельное положение секущей при условии, что точка M1, перемещаясь по этой кривой, неограниченно приближается к точке M0.
Рассм. M0CM1: M0(x0;y0) M1(x1,y1)
tg=M1C/M0C M0C=x1-x0=x M1C=y1-y0=y
Нормалью данной кривой в данной на ней точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной в этой точке.
3.Теорема о производной суммы двух функций.
Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных слагаемых.
y=u+v, u=u(x), v=v(x).
u и v диф. в т. x=x0.
xu, vy
y+y=u+u+v+v
y=u+u+v+v-y= u+u+v+v-u-v=u+v
4.Теорема о производной произведения двух функций.
Производная произведения двух дифференцируемых функций (y = uv) существует и вычисляется по формуле:
Док-во:
xu, vy
y+y=(u+u)(v+v)=uv+uv+uv+uv
y= uv+uv+uv+uv-uv=uv+uv+uv
Теорема о производной частного двух функций доказывается аналогично.
5. Вывод формулы для производной логарифмической функции.
6. Вывод формул для производных sinx, cosx
y=sinx:
x; y=f(x0+x)-f(x0)
y=sin(x0+x)-sinx0=2sin(x/2)cos(x0+x/2)
y=cosx:
x; y=f(x0+x)-f(x0)
y=cos(x0+x)-cosx0=-2sin(x/2)sin(x0+x/2)
7. Вывод производных показательной и степенной функций.
Производная показательной функции:
Производная степенной функции:
x < 0 y = xα z = - x , z > 0
y = (-1) α z α
y’ = (-1) α α z α-1 (-x)’ = -(- 1) α α (-x) α-1 = (- 1) α +α -1+1 = α x α - 1
8. Вывод формулы производной сложной функции.
Если функция x=(t) дифференцируема в точке t0, а функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x0=(t0), то сложная функция y=f((t)) дифференцируема в точке t=t0 и ее производная в этой точке находится по формуле
Док-во:
Т. к. функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x0, то y=f ‘(x0)x+(x)x.
9. y=arcsinx. Определение. Вывод производной.
arcsinx - угол, синус которого равен x.
при x = 1 производной не существует
Свойства : Эта функция определена на отрезке -1≤ х ≤1 . её значения заполняют отрезок –π /2≤ y ≤π /2 .
10. Определение непрерывности и дифференцируемости функций. Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x0, если она определена в некоторой окрестности точки x0 (очевидно, и в самой точке x0)и еслиили,что то же самое
Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x=x0, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде y=Ax+(x)x, где A=const,
Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x0, то она непрерывна в этой точке.
Дано: y=f ‘(x0)x+(x)x
Док-ть:
Док-во: