МАТАН / matan0003

1. Число b называется пределом, функции f(x) при x  a, если абсолютное значение разности f(x) – b остается меньшим любого заранее данного положительного числа  всякий раз, как абсо­лютное значение разности x-a при x, не равном a, меньше некоторого положительного числа  (зависящего от. ). Число b есть предел функции f(x) при x  a, если величина |f(x) – b| сколь угодно мала при достаточной малости величины |х - а|.

2. Предел (sin x)/x при x0 Если х есть радианная мера угла, то lim(x/sin x)=1 и lim(sin x/x)=1 при х0. Док-во: Примем радиус ОА за единицу длины. Тогда х = АВ, sin х=BD Имеем: x/sin x=АВ/ВD=B’AB/B'B. Дуга B’AB боль­ше хорды В'В. Поэтому x/sin x> 1. С другой стороны, дуга B'AB меньше, чем BС+В'С=2ВС, т. е. АВ<ВС. Стало быть, x/sin х < ВС/ВD = sc x; (из треугольника DBC). Значит, отношение (x/sin x) заключено между единицей и sc x. Но при х0 величина sc x; сама стремится к единице, а значит, x/sin x и подавно.

3. Определение производной функции. Пусть y=f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a, b), и пусть x - какая-либо точка этого промежутка. Дадим аргументу x приращение x (положительное или отрицательное). Функция y=f(x) получит приращение у, равное y=f(x+x)-f(x). При бесконечно малом x приращение y тоже бесконечно мало. Предел, к которому стремится отношение y/x при x0, т. е. lim((f(x+x)-f(x))/ x), сам является функцией от аргумента x. Эта функция называется производной от функции f(x) и обозначается f’(x) или у'. Короче производной функцией называется предел к которому стремится отношение бесконечно малого приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению аргумента. Замечание. В процессе разыскания предела (2) величина х рассматривается как постоянная.