План семестра поурочный по ВычМат-2014 / VM-2-m

Погрешность математической модели Погрешность в исходных данных Погрешность численного метод Погрешность округления или отбрасывания.

ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных.

Источники и классификация погрешностей результата

Получить точное значение при решении задачи на машине практически невозможно. Получаемое решение всегда содержит погрешность и является приближенным. Источники погрешности:

	Погрешность математической модели определяется выбором математической модели. Так для
	описания падения тела с высоты h0 и имеющего скорость v0 используются уравнения:
	h h0 v0 t	g t2	; v v0 g t
		2

Если учитывать силу сопротивления F(t), действующую на тело массой m, тогда движение тела можно описать с помощью уравнений:

m dv	m g F(t);	dh	v;	при t 0, v v0, h h0
vt		dt

Погрешность в исходных данных определяется: погрешностью измерения или погрешностью вычислений, с помощью которых они были получены.

Погрешность численного метода определяется точностью выбранного числено метода и

	вычислительного средства.	x3		x5		x7		x9
	Sin(x) x
		3		5		7		9

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Например, в числах α = 0.03045, α = 0.0304500 значащими цифрами являются подчеркнутые цифры. Число значащих цифр в первом случае равно 4, во втором 6.

Правила округления известны. Обратить внимание, что если первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра остается неизменной, если она четная (правило четной цифры), и увеличивается на единицу, если она нечетная. При этом погрешность не превышает пяти единиц отброшенного разряда. Пример: 6.71 - 6.7 ; 6.77 - 6.8 ; 6.75 - 6.8; 6.65 - 6.6

Абсолютная и относительная погрешности.

Пусть α* — точное (и никогда неизвестное) значение некоторой величины, а α — известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближенного значения α называется

величина:

(α) α α

Относительной погрешностью приближенного значения α называется величина:

δ( α)

α α

α

(a b) (a) (b)

Погрешности вычислений.

Абсолютная погрешность суммы или разности нескольких чисел не превосходит суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

(a b) (a) (b)

Относительная погрешность суммы:

(a b) max

Относительная погрешность разности:
(a b) max,	где				a b
					a b

Относительные погрешности произведения и частного:

( ab ) (a) (b)

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих переменных:
u f (x1, x2, x3,..., xn )	u	n			f		(xi )
					xi
		i 1
Пример. Для заданной	y x12 x22
функции:		x3
определить y, (y) и (y)
при x1= -1.5 x2= 1.0 x3= 2.0 (x	) 0.10	(x	2		) 0.05			(x	3	) 0.05
1

Вычисляем значение функции.												y									1.52			1.02					1.625
																							2.0
												n
Вычисляем погрешность									(y)					y						(xi )
														xi
												i 1
				2x								2x		2													x2		x2
(y)					1		(x )									(x						2	)					1	2		(x				3	)
				x3				1				x3																	x32
(y)		2 ( 1.5)							0.10			2 1.0								0.05							1.52 1.02							0.05
		2.0										2.0																2.02

(y) 0.150 0.050 0.041 0.241(y) 10..625242 0.149