v0.5.7.final / 01

1 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

§2. Элементы корреляционного и регрессионного анализа

Для иллюстрации метода корреляционного анализа рассмотрим две случайные величины Х и Y, для которых известны законы распределения. Предположим, что для них будет справедливо простейшее приближённое уравнение регрессии

ˆ

a0

a1x

y

Представим поле корреляции Y, Х

Y

Y

а

X

б

X

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

2 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Эмпирическое корреляционное отношение, характеризующее тесноту связи между Y и Х

(n p)S 2

η1 R

(n 1)S y2

Остаточная дисперсия, характеризующая погрешность уравнения регрессии и рассчитывается по формуле

		n
		эксп ˆ		)	2
		( yi	yi
S 2		i 1
R		n p

р – число значимых коэффициентов регрессии

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

3 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Общая дисперсия (дисперсия относительно среднего значения по экспериментальным данным) определяется

n

( yiэксп y)2

S 2		i 1
y			n 1
			n
			yiэксп
	y		i 1
			n

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

4 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Величина η находится в пределах

0 1

Чем больше величина η, тем сильнее связь между случайными величинами Х и Y

Между случайными величинами обычно существует такая связь, при которой с изменением одной величины меняется распределение другой – стохастическая связь

Изменение случайной величины Y, соответствующее изменению величины Х, разбивается при этом на две компоненты: функциональную (связанную с зависимостью Y от Х) и случайную

•Если первая компонента отсутствует, то величины Y и Х независимы

•Если отсутствует вторая компонента, Y и Х связаны функциональной зависимостью

•При наличии обеих компонент соотношение между ними определяет силу

(тесноту) связи

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

5 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Корреляционное отношение для нелинейных моделей и коэффициент корреляции для линейных моделей - показатели, оценивающие те или иные стороны стохастической связи

Величина

COVxy M (X mx )(Y my ) 0

называется корреляционным моментом, моментом связи или ковариацией

случайных величин Х и Y

Безразмерная величина

rXY M ( X mx )(Y my )

x y

называется коэффициентом корреляции

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

6 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

При этом выборочный коэффициент корреляции вычисляется по формуле

		n
		(xi	ˆ	)( yi	ˆ
			mX		mY )
ˆ		i 1
rxy		(n 1)SX SY

ˆ

1

n

1

n

ˆ

2

xi

SX

(xi

mX

mX )

n i 1

n 1 i 1

ˆ

1

n

1

n

ˆ

2

yi

SY

( yi

mY

mY )

n i 1

n 1 i 1

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

7 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Коэффициент корреляции может иметь значение в пределах

1 rxy 1

При

rxy 0

существует положительная корреляционная связь между величинами Х и Y

При

rxy 0

связь отрицательная

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

8 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Y

Слабая отрицательная корреляция

между Х и Y

rxy

0.3

Y

X

Сильная положительная корреляция

между Х и Y

0.9

rxy

X

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

9 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Y

							Отсутствие корреляции между Х и Y
							rxy 0
							X

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

10Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

4.4.Определение оценок дисперсии y2

Оценка y2 определяется из экспериментов.

Пусть выходная переменная y зависит от r входных переменных (независимых переменных x ).

Для оценки дисперсии проводятся два типа экспериментов:

•С изменением независимых переменных x1,...xr ;

•Параллельные опыты, когда независимые переменные не меняются.

4.4.1.Определение оценок дисперсий в экспериментах с изменением независимых переменных с различным числом параллельных опытов в каждой точке

а) Определение остаточной дисперсии SR2

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования