v0.5.7.final / Тема 2

1 Тема 02

Тема 02. Построение: строение эмпирическихэмпирическихстат стических моделейстатистическихХТП моделей ХТП

§1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики

Вероятность события	pi P(X xi ) m / n
	0 P 1

	n	1
Суммарная вероятность	pi

i 1

распределена некоторым образом между отдельными значениями xi

x1 x2 x3 ... xn p1 p2 p3 ... pn

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

2 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностям, называется законом распределения вероятностей случайной величины.

Функция распределения непрерывной случайной величины

F(x) P(X x) P( X x)

Нормальное распределение

		1		x
			2		2
F (x)				e( x mX )	/(2σ X ) dx
		2
		2πσ X

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

3 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Для дискретных случайных величин, так же как и для непрерывных, вводится

функция распределения дискретной случайной величины

		n
F (x) P( X x) p(xi ),						xn x
		i 1
		F x
1

1

2

x

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

4 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Вместо функции плотности распределения иногда используется распределение вероятностей дискретной случайной величины

p x

1

2

x

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

5 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Случайные величины определяют с помощью числовых характеристик, выражающих особенности случайных величин

Математическое ожидание - характеризует центр рассеяния случайной

величины	n
		pi
	xi		- если Х дискретна
	i 1
mX	M [ X ]
	xf (x)dx - если Х непрерывна

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

6 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Дисперсия - характеризует разброс значений случайной величины относительно

еецентра (математического ожидания)

σ2X M[(X mX )2 ]

	n	mX		)2 pi	- если Х дискретна
	( X i
σ2X	i 1
			2	f (x)dx
	(x mX )					- если Х непрерывна

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

7 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Выборочный метод

По выборке могут быть рассчитаны выборочные статистические характеристики, которые являются оценками соответствующих генеральных параметров.

Оценки математического ожидания (выборочного среднего):

				n
ˆ		x		*
mX				xi	pi
				i 1

Оценки дисперсии:

n

σˆ 2X DX (xi* x)2 pi i 1

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

8 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Пример. Дана выборка объема n = 50 со следующей таблицей распределения:

xi	1	2	3	4
ni	20	15	10	5

Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию.

		ni /n
Решение. Учитывая, что	pi

получаем формулу для расчета выборочного среднего:

		n
		ni xi	x	20 1 15 2 10 3 5 4	2
	x	i 1
				20 15 10 5
		n

Вычисляем оценку выборочной дисперсии :

		n
		ni (xi	x)2		20(1 2)	2	15(2	2)	2	10(3	2)	2	5(4	2)	2
DX		i 1		DX												1
		n							50

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

9 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Оценки параметров распределения случайной величины

Понятие интервальной оценки связано с понятием доверительной вероятности и доверительного интервала.

Доверительной вероятностью β	называется вероятность того, что истинное
значение оцениваемого параметра	θ заключено в интервале
ˆ	ˆ
β P(θ	εβ θ θ εβ )

ˆ	и	ˆ	называются
Границы этого интервала θ εβ		θ εβ

доверительными границами, а сам интервал – доверительным интервалом.

Для определения границ доверительного интервала необходимо найти точечную

оценку параметра θ и точность этой оценки εβ , т.е. разброс оценки	ˆ
	θ
вокруг истинного значения параметра θ .

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

10 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Распределение Стьюдента (малые объемы выборок)

Закон распределения Стьюдента используется, когда значения оценок x и σ X определяются по выборкам, объем которых n < 50.

Случайная величина t – распределения Стьюдента определяется:

	x m
t							n	2
		X		n			(xi x)		(n 1)
	SX				SX
							i 1

Число степеней свободы выборки объемом n обозначается νи определяется как

ν n 1

Выражение, определяющее доверительный интервал для малых выборок:

n

n

xi

S

xi

S

i 1

t ν

X

m

i 1

t ν

X

X

n

1 p / 2

n

n

1 p / 2

n

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования