Богатин А.С. Электростатика.Методичка

Пусть заряд q (рис. 6) создает электростатическое поле, а пробный заряд q’ надо переместить из точки 1 в точку

	F			2. Работа по перемещению заряда из точки 1
1	α	dl	2	в точку 2 определяется выражением:
	dr			2 r r	2	r r	2 r r
	r			A =∫(Fdl)=∫q'(Еdl)=q'∫(Еdl)				(8)
				1	1		1
	rr1
		r
		r2

q

Рис. 6

Скалярное произведение векторов Е и dl можно представить в виде:

	r r	1 q				1 q
	(Еdl)= Еdlcosα =				dlcosα =				dr	(9)
		4πε0 r2				4πε0 r2

Подставив (9) в (8) и произведя интегрирование, получим

r

r r

qq'

r

dr

qq'

1

r2

2

2

q' ∫(Еdl)=

∫

=

−

r

2

r

r

4πε0 r

4πε0

r

1

1

1

Итак, работа по перемещению q' из 1 в 2 имеет вид:

	qq'			1	1			(10)
А =
					−
	4πε	0		r		r
				1	2

Из (10) следует два очень важных вывода: во – первых, работа сил электростатического поля по перенесению заряда не зависит от формы траектории, а только от положения начальной и конечной точек; во – вторых, работа электростатических сил по замкнутому контуру равна 0.

Поля, работа которых по замкнутому пути равна нулю, или, что тоже самое, не зависит от формы перемещения между двумя точками поля, называются потенциальными. Электростатическое поле – тоже потенциальное поле. Другим примером потенциального поля является гравитационное поле.

Не следует думать, что любые поля являются потенциальными. Так поле трения – вовсе не потенциальное поле. Двигая тело в поле сил трения по замкнутой траектории, мы на каждом отрезке этой траектории совершаем отрицательную работу. Поэтому суммарная работа при таком переносе тела оказывается отрицательной. Придадим выражению (10) иное математическое выражение.

11

Поскольку работу сил электростатического поля на участке траектории dl можно записать, как dA = Fl dl , где Fl – проекция сил

электростатического поля на направление перемещения заряда, то с учетом равенства нулю работы по замкнутому контуру

A = ∫Fl dl = 0	(11)
l

Кружок поставленный на знак интеграла относится к пределам интегрирования и означает, что здесь речь идет о суммировании по замкнутой траектории. Математики договорились такой интеграл взятый по замкнутой кривой называть циркуляцией вектора, стоящего под знаком интеграла. Воспользовавшись определением напряженности электрического поля (2), соотношение (11) можно переписать q∫El dl = 0 и

l

окончательно, разделив на q левую и правую части равенства получим

∫El dl = 0	(12)
l

Это утверждение означает, что циркуляция вектора Е по замкнутому контуру равна нулю и выражает то обстоятельство, что электростатическое поле является потенциальным полем. Равенство (12) является интегральной формой утверждения о потенциальности электрического поля.

§ 8. Разность потенциалов. Потенциал электрического поля

Выделим в электрическом поле две точки 1 и 2 и перенесем некоторый заряд q из точки 1 в точку 2 (рис. 6). Работу сил электрического поля по такому переносу обозначим А12.

Если мы будем переносить между этими точками другой заряд, то величина работы будет, естественно, другой. Но вот, что интересно. Хотя величина совершенной работы зависит от величины перенесенного заряда, но отношение этой работы к величине перенесенного заряда уже не зависит от величины переносимого заряда. Следовательно, это отношение является некой новой характеристикой электрического поля.

Мало этого, поскольку работа А12 не зависит от траектории переноса (10), то выше названное отношение будет характеризовать не все электрическое поле, а только его две точки 1 и 2, да к тому же оно будет однозначной характеристикой этих точек. Такую характеристику принято называть разностью потенциалов между точками 1 и 2 и обозначать как

ϕ12 или ϕ1 −ϕ2 .

12

Итак, обобщая уже сказанное, можно утверждать, что разностью потенциалов между точками 1 и 2 электрического поля называют отношение работы, которую совершают силы электрического поля по переносу заряда из точки 1 в точку 2 к величине перенесенного заряда

	ϕ12 =ϕ1 −ϕ2 =	A12	(13)
		q

В качестве второй точки, в которую из данной точки переносится заряд, можно избрать какую-либо заранее выбранную точку. Ее можно выбрать либо в бесконечности, либо на поверхности Земли, либо в какомнибудь другом месте. Можно подсчитать работу по переносу заряда из данной точки в эту заранее выбранную точку и, разделив эту работу на величину перенесенного заряда, мы получим величину, называемую потенциалом данной точки поля ϕ, относительно этой заранее выбранной точки. Так можно ввести понятие потенциала относительно бесконечности, потенциала, относительно Земли и т.п. В каждой конкретной задаче точку, относительно которой отсчитывается потенциал, можно выбирать заново исходя из условий задачи. Следует еще раз подчеркнуть, что, хотя мы и пользуемся в этих случаях понятием потенциал, но физический смысл этого понятия по-прежнему связан с разностью потенциалов. Под потенциалом точки поля имеется в виду разность потенциалов между данной точкой поля и какой-то заранее выбранной его точкой. Разность потенциалов, потенциал – энергетическая характеристика электрического поля.

Понятие разности потенциалов широко используется физиками по двум причинам. Во-первых, это величина, в отличие от напряженности поля, величина скалярная, а со скалярными величинами работать легче, чем с векторными. И во-вторых, приборы для измерения разности потенциалов имеют более простое устройство и шире, в связи с этим распространены, чем приборы для измерения напряженности электрического поля.

Пользуясь определением понятия разности потенциалов, можно установить единицу для измерения этой величины. В системе СИ работа измеряется в джоулях, заряд в кулонах, поэтому за единицу разности потенциалов принимают разность потенциалов между двумя точками поля в том случае, если для переноса заряда в 1 кулон между этими точками силами поля совершена работа в 1 джоуль. Эту единицу называют вольт

(В).

1 В = 1 Дж/1 Кл Мы уже сказали, что из-за того, что потенциал величина скалярная,

многие математические преобразования с этой величиной проще осуществлять, чем с напряженностью поля. Убедимся в этом на примере поиска потенциалов системы зарядов.

13

Пусть эта система состоит из неподвижных точечных зарядов, создающих электростатическое поле. Ранее на примере этой системы мы сформулировали принцип суперпозиции электрических полей, используя напряженность поля (3). Для потенциала ϕ этой системы зарядов в произвольной точке можно записать

ϕ =ϕ1 +ϕ2 +ϕ3 +...

(14)

Здесь ϕ1 ,ϕ2 и т.д. – потенциалы поля, создаваемых в этой точке каждым

из зарядов при отсутствии остальных. Разумеется, на этот раз речь идет об алгебраической сумме.

Убедиться в справедливости соотношения (14) можно на основании следующих рассуждений. Подсчитаем работу сил электрического поля по переносу заряда q из данной точки поля, в какую-то заранее выбранную точку. Эта работа может быть представлена как сумма работ, совершаемых силами полей, создаваемых каждым из зарядов источников в отдельности

A = A1 + A2 + A3 +...

(15)

Разделив равенство (15) почленно на величину переносимого заряда q получим утверждение (14).

§9. Связь между напряженностью электрического поля

иразностью потенциалов

Поскольку мы ввели для характеристики электрического поля две величины: напряженность поля и разность потенциалов, то нам нужно выяснить взаимосвязь между ними, чтобы, зная одну из характеристик поля, всегда можно было бы устанавливать и вторую.

Для установления этой взаимосвязи поступим следующим образом.

E		Выберем в пространстве две близко расположенные
		точки поля 1 и 2 (рис. 7). Обозначим расстояние
α		между этими точками через dr, а потенциалы каждой
		из точек соответственно	через ϕ1 и ϕ2 . Разность
1 dr	2	потенциалов ϕ2 −ϕ1	пусть будет равна dϕ.
Рис. 7		Напряженность электрического поля в области
		нахождения точек 1 и 2 охарактеризуем вектором Е.

Подсчитаем теперь работу по переносу некоторого заряда из точки 1 в точку 2. Это можно сделать двумя способами: с использованием

разности потенциалов и с использованием напряженности поля. Итак,
работа по переносу заряда из 1 в 2 может быть записана с учетом (13)
dA = q(ϕ1 −ϕ2 )= −qdϕ	(16)
С другой стороны	(17)
dA = Fdr cosα = Fr dr = qEr dr

Приравниваем правые части равенств (16) и (17) и получаем

14

	Er = −	dϕ	(18)
		dr

Формула (18) описывает взаимосвязь двух характеристик поля. Используя ее можно, зная закон изменения потенциала в каком-то направлении, найти проекцию Е на это направление. Используя (18), можно решать и обратную задачу.

2
ϕ1 −ϕ2 = ∫Er dr	(19)
1

По известному закону изменения Е в пространстве можно находить разности потенциалов между точками поля. При этом в (19) интегрирование можно вести по любой линии, соединяющей точки 1 и 2. Из соотношения (18) можно увидеть, в каких единицах измеряется напряженность электрического поля. В СИ разность потенциалов измеряется в вольтах, расстояние – в метрах, а напряженность поля, в вольтах, деленных на метр (В/м). Посмотрим теперь, как, зная распределение потенциала электрического поля в пространстве, найти не одну проекцию напряженности поля, а весь вектор Е. Проекции Е на координатные оси декартовой системы координат по аналогии с (18) имеют вид

Ex = −	∂ϕ	;	Ey = −	∂ϕ	; Ez = −∂ϕ			,		(20)
	∂x			∂y			∂z
а сам вектор						∂ϕ i −	∂ϕ j −		∂ϕ k
E = Exi + Ey j + Ezk = −										(21)
						∂x	∂y		∂z

i, j, k – единичные векторы вдоль соответствующих координатных осей. Математическая операция, проделанная с потенциалом ϕ в правой

части равенства (21)	i	∂ϕ	+ j	∂ϕ	+ k	∂ϕ	представляет собой некоторый
		∂x		∂y		∂z

вектор, который математики называют градиентом скалярной величины, стоящей под знаком этой математической операции, в нашем случае градиентом потенциала. Градиент сокращенно обозначается grad, поэтому равенство (21) с использованием понятия градиента, может быть записано

E = −gradϕ.

(22)

С точки зрения математики эта функция является вектором, который определяет изменение потенциала ϕ в окрестности некоторой точки. Направление вектора grad ϕ в этой точке является направлением, в которой следует двигаться от этой точки для наиболее быстрого увеличения потенциала. Знак минус в (22) показывает, что напряженность поля направлена из области большего потенциала в область меньшего потенциала.

15

Введение потенциала как характеристики электрического поля позволяет предложить еще один способ графического изображения полей. Делать это можно с помощью, так называемых, линий (или поверхностей) равного потенциала или эквипотенциальных поверхностей. Если проводить эквипотенциальные линии с постоянной разностью потенциалов, то по густоте их проведения можно судить о быстроте изменения потенциала в пространстве. Возникает вопрос о взаимной ориентации эквипотенциальной поверхности и линий напряженности. Предположим, что мы пронесем по некоторой эквипотенциальной поверхности по замкнутой траектории заряд q. Потенциалы конечной и начальной точек переноса совпадают и разность потенциала между ними равна нулю. Следовательно, работа, которую совершает поле при таком переносе, тоже нулевая. С точки зрения напряженности поля работа переноса равна нулю, если в процессе переноса заряд двигается перпендикулярно к напряженности поля. Следовательно, эквипотенциальные поверхности располагаются перпендикулярно к силовым линиям поля. Так для точечного заряда эквипотенциальные поверхности – сферические поверхности с центром на заряде (рис. 8). Пунктиром на рисунке проведены силовые линии.

q

Рис. 8

§ 10. Потенциалы некоторых систем зарядов

Попробуем, пользуясь взаимосвязью потенциала с напряженностью поля и зная (19) закон изменения напряженности поля, найти потенциал поля плоского конденсатора.

Будем искать потенциал поля плоского конденсатора относительно отрицательно заряженной обкладки в произвольной плоскости, отстоящей

х

+σ

16

на расстоянии x от этой обкладки (рис. 9). Введем ось X и направим ее вверх от отрицательно заряженной обкладки.

Напряженность поля направлена от положительно заряженной обкладки к отрицательно

заряженной и величина Е

равна E =

σ

.

σ

ε0

Проекция Е на ось Х равна Ex

= −

.

ε0

По (19) запишем для ϕх

0

σ

0

σx

ϕx = ∫

Ex dx = −

∫dx =

.

ε

0

ε

0

x

x

Разность потенциалов между обкладками равна

ϕAB = σε0d , d – расстояние между обкладками.

B

d Е

A

-σ

Рис. 9

(23)

(24) где

§ 11. Энергия системы зарядов

Нам необходимо научиться вычислять энергию взаимодействия системы зарядов. Понятие о потенциале облегчит решение этой задачи. Для начала рассмотрим два одноименных точечных заряда, находящихся на расстоянии r друг от друга. Если один заряд закрепить, а другому предоставить возможность двигаться, то за счет электростатического отталкивания он удалится бесконечно далеко от первого заряда. При этом силы электрического поля совершат над зарядами работу, которая равна энергии взаимодействия зарядов, когда они находятся на расстоянии r друг от друга. Эту энергию принято называть потенциальной энергией взаимодействия

A =W∏ .

Работу по переносу заряда нетрудно подсчитать

A = q1ϕ1 ,

где ϕ1 – потенциал, создаваемый зарядом q2 в месте нахождения заряда q1 (этот потенциал подсчитан относительно бесконечно удаленной точки и в ней обращается в нуль).

17

Итак,

W = q ϕ

=

q1q2

.

(25)

4πε0r

1

1

Перепишем равенство (25) в виде

W =

1

q2q1

+ 1

q2q1

= 1 q ϕ

+

1 q ϕ

(26)

2 4πε0r 2 4πε0r 2 1 1

2 2 2

Здесь теперь ϕ2 – потенциал, создаваемый зарядом q1 в месте нахождения заряда q2. Выражение (26) легко обобщить на систему, состоящую из n зарядов, расположенных на определенном расстоянии друг от друга. Эта энергия выразится через сумму работ, необходимых для переноса каждого заряда qi из бесконечности в то место, где он должен быть расположен. При этом получается выражение

	1	n
W =		∑qiϕi ,	(27)
	2 i =1

где ϕi – потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме i -го в месте, где находится i -ый заряд.

§ 12. Проводники в электрическом поле

При внесении проводника в электрическое поле носители заряда в нем приходят в движение под действием сил электрического поля. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, их называют индуцированными зарядами (см. раздел 1.1.). Поле этих зарядов направлено противоположно внешнему полю. Перераспределение зарядов продолжается до тех пор, пока напряженность внутри проводника не станет равной нулю. Таким образом, всюду внутри проводника

Е = 0

(28)

В соответствии с (19) это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянен (ϕ = const ) и равен потенциалу на его

поверхности. В свою очередь, постоянство потенциала на поверхности проводника означает, что его поверхность является эквипотенциальной и силовые линии электрического поля перпендикулярны к этой поверхности в каждой ее точке. Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении индуцированных зарядов поле внутри нее также обращается в нуль. На этом основана электростатическая защита. Если какой-то объект хотят защитить от воздействия внешних электростатических полей, его окружают проводящим экраном. Внутри

18

экрана внешнее поле компенсируется полем индуцированных зарядов, возникающих на его поверхности. Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Рассмотрим замкнутую поверхность внутри проводника. Поле внутри проводника отсутствует, поток вектора Е через эту поверхность равен нулю и согласно теореме Гаусса алгебраическая сумма зарядов внутри поверхности тоже будет равна нулю. Таким образом, в любом месте внутри объема проводника отсутствуют избыточные заряды. Все они расположатся по поверхности проводника с некоторой плотностью σ.

Рассмотрим поверхность цилиндра, образующая которого нормальна к поверхности проводника, а основания, площадь которых dS расположены одно снаружи проводника, а одно внутри (рис. 10).

		E	Поток вектора Е через эту поверхность
			представляет собой поток через боковую
		E=0	поверхность (он равен нулю, т.к. нормаль к
dS		dS	боковой поверхности перпендикулярна к Е),
			поток через внутреннее основание (он равен
			нулю, т.к. внутри проводника поле
			отсутствует) и потока через внешнее
			основание (этот поток отличается от нуля).
	Рис. 10		Т.к. вблизи проводника Е перпендикулярен
			поверхности, то поток через внешнее основа-

ние (он равен потоку через всю поверхность цилиндра) равен EdS и теорему Гаусса для этой поверхности можно записать

	EdS	=		1		σ dS ,
				ε
	откуда	0
			σ
	E =					(29)
			ε0

Формула (29) показывает, что напряженность поля вблизи проводящей поверхности вне проводника определяется поверхностной плотностью заряда на нем. Заряды же эти распределяются по поверхности неравномерно. Наибольшая их плотность имеет место вблизи заострений. У таких мест по (29) велика и Е. Это приводит к интересному явлению «стекания» заряда с металлических острий. В больших полях воздух вблизи острий ионизируется. Ионы с тем же знаком заряда, что и у острия, движутся от острия, ионы с противоположным знаком движутся к острию и уменьшают его заряд. Движущиеся от острия ионы увлекают нейтральные молекулы воздуха, отчего возникает электрический ветер. Его можно обнаружить по отклонению пламени свечи, поднесенной к острию.

19

§ 13. Электрическая емкость

Рассмотрим некоторое уединенное проводящее тело. Если сообщить ему заряд q1, то тело относительно бесконечно удаленной точки приобретет потенциал ϕ1. При сообщении этому телу другого заряда q2 потенциал будет ϕ2, для заряда q3 это будет ϕ3 и т.д. Интересно отметить, что при этом отношение заряда, сообщенного телу, к величине возникающего при этом на теле потенциала будет величиной постоянной и не будет зависеть от величины заряда, переданного телу. Для другого тела это отношение будет тоже величиной постоянной, но сама величина отношения будет уже иной. Таким образом, появляется возможность ввести еще одну характеристику проводящего тела. Эту характеристику назвали электрическая емкость. Если обозначить электроемкость как С, то по сказанному выше

C =	q	,	(30)
ϕ

где q – сообщенный телу заряд, а ϕ – возникающий при этом потенциал этого тела. В системе СИ за единицу электроемкости (часто говорят емкости тела) принимают емкость, которой обладает уединенное проводящее тело, которое при сообщении ему заряда в 1 Кл, приобретает потенциал в 1 В. Такую единицу электроемкости называют фарад (Ф). Фарад очень большая емкость (скоро мы в этом убедимся), поэтому на практике в электро- и радиотехнике часто пользуются более мелкими

единицами электроемкости пикофарад (пкФ) и микрофарад (мкФ). 1 Ф = 106мкФ = 1012пкФ.

Подсчитаем электрическую емкость уединенной проводящей сферы. Ее потенциал относительно бесконечно удаленной точки равен

ϕ = 4πε1 0 Rq ,

	R – радиус сферической поверхности. Подставив ϕ в (30), получаем
	C =		q	= 4πε0 R .	(31)
		q	4πε0 R

Таким образом, емкость уединенного тела прямо пропорциональна его размерам (в нашем случае радиусу). Для оценки величины единицы емкости попробуем оценить емкость Земного шара. Его радиус R = 6400 км = 6,4 106 м. Подставим этот радиус в (31)

С = 4 3,14 8,85 10-12Ф/м 6,4 106 м = 7,11 10-4Ф = 711 мкФ.

Таким образом, фарад действительно большая единица, если такой

20