NG-Pdf / НГ_Л_01_Введение_Метод проекций

Метод проекций

ВВЕДЕНИЕ

Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов построения изображений пространственных форм на плоскости и способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм

Изображения, построенные по правилам, изучаемым в начертательной геометрии, позволяют представить форму предметов, их взаимное расположение в пространстве, определить их размеры, исследовать геометрические свойства.

Правила построения изображений, излагаемые в начертательной геометрии,

основаны на методе проекций.

Пример: Пусть на плоскости даны прямая m, прямая l, не параллельная прямой m и точка A, не лежащая ни на одной из этих прямых.

Проведем через точку прямую линию, параллельную прямой l до пересечения с прямой m.

l

A

m

A0

О. Точка A0 называется проекцией точки A на прямую m вдоль, или по направлению прямой l.

С позиции теории множеств любую геометрическую фигуру можно представить как множество всех принадлежащих ей точек.

Отображение геометрической фигуры на плоскость (или любую другую поверхность) можно получить путем проецирования всех принадлежащих ей точек на эту плоскость или поверхность.

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ПРОЕКЦИЙ

Центральные проекции.

Начертательная геометрия. Инженерная графика. Левченко С.В.	Страница 1

Метод проекций

Этот вид проекций называют также перспективными или полярными проекциями.

Для получения центральных проекций (центральное проецирование)

необходимо задать плоскость проекций и центр проекций — точку, не лежащую в этой плоскости (рис. 1: плоскость π0 и точка S). Взяв некоторую точку А и проведя через S и А прямую линию до пересечения ее с пл. π0, получаем точку А0. Так же поступаем, например, с точками В и С. Точки А0, В0, С0 являются

центральными проекциями точек А, В, С на пл. π0: они получаются в пересечении проецирующих прямых (или, иначе, проецирующих лучей) SA, SB, SC с плоскостью проекций.

Рис. 1. Построение центральных проекций.

При заданных плоскости проекций и центре проекций (рис. 1) можно построить проекцию любой точки; так как любая точка проецирующей прямой SA проецируется в одну и ту же точку А0 (для точек A1, A2 в качестве проекции имеем одну и туже точку А0) по ней нельзя определить положение самой точки А в пространстве.

О. Прямая линия проходящая через центр проекций и проецируемую точку называется проецирующей прямой.

Таким образом, все точки, лежащие на проецирующей прямой, в качестве центральной проекции имеют одну и ту же точку при заданном аппарате проецирования (плоскость проекций π0 и центр проекций S). Например: точки A1, A2 и A3 в качестве центральной проекции при фиксированном положении π0 и S имеют точку A0.

Начертательная геометрия. Инженерная графика. Левченко С.В. Страница 2

Метод проекций

При заданном аппарате проецирования можно получить проекцию точки, но по проекции точки нельзя определить еѐ положение в пространстве. Для обратимости чертежа (решения обратной задачи) необходимы дополнительные условия.

Не меняя положения плоскости π0 можно взять второй центр проекций - S1. Получаем вторую проекцию точки A – точку A01 (рис. 2.).

Если новый центр проекции S2 лежит на проецирующей прямой AS, то в качестве проекции получим точку A02 (А0=A02).

Рис. 2. Построение центральных проекций при двух центрах проекций.

Методом центрального проецирования может быть построена проекция любой линии или поверхности как множество проекций всех принадлежащих ей точек.

Проецирующие прямые в своей совокупности, проведенные через все точки кривой, образуют коническую поверхность (или плоскость в случае проецирования прямой линии не перпендикулярной плоскости проекций).

Проекция кривой линии является линией пересечения проецирующей поверхности с плоскостью проекций.

Для построения проекций линий поверхностей или тел часто бывает достаточно построить проекции некоторых характерных точек. Например, для построения проекции треугольника, достаточно построить проекции трех его вершин (рис. 3.).

Начертательная геометрия. Инженерная графика. Левченко С.В.	Страница 3

Метод проекций

Рис. 3. Построение проекции треугольника.

Свойства центральных проекций:

точка проецируется точкой;

прямая линия, не проходящая через центр проецирования – прямой, проходящая через центр проецирования – точкой;

плоская фигура, не принадлежащая проецирующей плоскости – двумерной фигурой, принадлежащая – отрезком;

трехмерная фигура – двумерной фигурой;

центральные проекции фигур сохраняют взаимную принадлежность, непрерывность и некоторые другие геометрические свойства;

при заданном центре проецирования проекции фигуры на параллельные плоскости подобны;

центральное проецирование устанавливает однозначное соответствие между фигурой и еѐ изображением.

Параллельное проецирование.

Параллельные проекции можно рассматривать как частный случай центральных проекций при условии, что центр проекций находится в бесконечности.

О. Параллельной проекцией точки будем называть точку пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекций.

Начертательная геометрия. Инженерная графика. Левченко С.В.	Страница 4

Метод проекций

Рис. 4. Параллельные проекции точек.

Для построения параллельной проекции некоторой линии необходимо построить проекции ряда еѐ точек и провести через эти точки проекцию линии. При этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют цилиндрическую поверхность, поэтому параллельные проекции называют цилиндрическими (рис.

5.).

Рис.5. Параллельная проекция линии.

Параллельные проекции обладают всеми свойствами центральных проекций и рядом дополнительных:

если прямая линия параллельна направлению проецирования, то еѐ проекцией является точка;

отрезок параллельный плоскости проекций проецируется на неѐ в натуральную величину.

Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. Для косоугольных проекций направление проецирования составляет с плоскостью проекций угол, не равный 90°; для прямоугольных проекций проецирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций, такой вид проецирования называют ещѐ ортогональным.

Параллельное (ортогональное проецирование).

Начертательная геометрия. Инженерная графика. Левченко С.В.	Страница 5

Метод проекций

О. Параллельное (ортогональной) проекцией точки будем называть основание перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость проекций.

Т.к. через данную точку можно провести только один перпендикуляр к плоскости, то в случае ортогонального проецирования для получения двух проекций точки необходимо иметь две не параллельные плоскости проекций.

Проецирование на две плоскости проекций.

Для удобства проецирования в качестве двух плоскостей проекций берут две взаимно перпендикулярные плоскости.

π2 Z

π2

X

π1

π3

Первый вариант

Второй вариант

Рис. 6. Положение двух перпендикулярных плоскостей в пространстве.

Используется два варианта положения двух взаимно перпендикулярных относительно друг друга плоскостей:

В первом варианте одна плоскость расположена горизонтально (горизонтальная плоскость проекций – π1), вторая расположена вертикально и перпендикулярно первой (фронтальная плоскость проекций – π2).

Во втором случае обе плоскости расположены вертикально: π2 – фронтальная плоскость проекций и π3 – профильная плоскость проекций.

Две взаимно перпендикулярные плоскость пересекаются по линии, которая называется осью проекций. Для плоскостей π1 и π2 - ось проекций X, для плоскостей π2 и π3 – ось проекций Z.

Начертательная геометрия. Инженерная графика. Левченко С.В.	Страница 6

Метод проекций

Точка в системе двух плоскостей проекций.

Для получения проекций точки в системе двух плоскостей проекций необходимо из данной точки опустить перпендикуляры на соответствующие плоскости проекций, основания этих перпендикуляров и будут являться проекциями точки на соответствующих плоскостях проекций.

	π2	A’’
		A
X		Ax
		A’
		π1

Рис 7. Проекции точки в системе двух плоскостей проекций.

Точка A’ – проекция на плоскость π1 – называется горизонтальной проекцией точки A. Точка A’’ – проекция точки A на плоскость π2 – фронтальная проекция точки A. Аналогично может быть построена проекция точка A на профильную плоскость проекций (π3), получим профильную проекцию точки A – A’’’.

Отрезки AA’ и AA’’ перпендикулярны плоскостям проекция π1 и π2 соответственно принадлежат некоторой плоскости α пересекающей ось проекций в некоторой точке Ax. Плоскость α перпендикулярна к плоскостям проекций π1 и π2 и к оси проекций X, пересекая еѐ в точке Ax.

Если положение плоскостей π1 и π2 фиксировано в пространстве, то каждой точке пространства соответствует упорядоченная пара точек на плоскостях проекций. Верно и обратное утверждение – упорядоченное паре точек на плоскостях проекций соответствует единственная точка пространства.

Начертательная геометрия. Инженерная графика. Левченко С.В.	Страница 7

Метод проекций

Эпюр Монжа.

Рассмотренное изображение точки в системе двух плоскостей проекций не совсем удобно для черчения.

С развитием техники первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобство изображений, т. е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были приведены в систему и развиты в труде французского ученого Гаспара Монжа, изданном в 1799 г. под названием «Geometrie descriptive».

	π2	A’’
		α
		A
X		Ax
		A’
		π1

Рис. 8.

Как уже отмечалось ранее отрезки AA’ и AA’’ перпендикулярны плоскостям проекция π1 и π2 соответственно принадлежат некоторой плоскости α пересекающей ось проекций в некоторой точке Ax. Плоскость α перпендикулярна к плоскостям проекций π1 и π2 и к оси проекций X, пересекая еѐ в точке Ax.

Плоскость α пересекает плоскости проекций π1 и π2 (отрезки A’Ax и A’’Ax). Отрезки A’Ax и A’’Ax перпендикулярны оси проекций X. Проекции некоторой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке (в нашем примере в точке

Ax.

Гаспрар Монж предложил способ преобразования чертежа путем поворота горизонтальной плоскости проекций π1 вокруг оси проекций X до совмещения с фронтальной плоскостью проекций π2 (рис. 9.).

Начертательная геометрия. Инженерная графика. Левченко С.В.	Страница 8

Метод проекций

	π2
	A’’
X	Ax
	A’	π1

Рис. 10. Преобразование чертежа по методу Монжа.

После такого преобразования плоскость π1 на чертеже совмещается с плоскостью π2 и в результате получаем чертеж в виде наложенных друг на друга плоскостей π1 и π2. Такой способ изображения получил название «Эпюр Монжа» (от французского Épure – чертеж, проект).

		π2
		A’’
		Ax
X
		A’
		π1

Рис. 11. Положение проекций точки на эпюре Монжа.

При рассмотрении преобразованного чертежа необходимо учитывать, что плоскости проекций π1 и π2 занимают все пространство, и мы видим наложение двух плоскостей.

На эпюре Монжа проекции точки A - A’ и A’’на плоскостях проекций π1 и π2 расположены на одной прямой перпендикулярной к оси проекций X. Отрезок

A’A’’ называется линией связи. Таким образом, две проекции точки всегда расположены на одной линии связи перпендикулярной к оси проекций.

Если внимательно проанализировать исходный рисунок положения точки в системе двух плоскостей проекций и эпюр Монжа, то можно видеть, что величина отрезка AxA’= AA’’ и определяет расстояние точки A от плоскости проекций π2, а величина отрезка AxA’’= AA’ - определяет расстояние точки A от плоскости π1.

Начертательная геометрия. Инженерная графика. Левченко С.В.	Страница 9

Метод проекций

Две взаимно перпендикулярные плоскости π1 и π2 делят все пространство на четыре квадранта (вспомним то, как две перпендикулярные оси X и Y на плоскости делят эту плоскость на четыре четверти).

	II	π2
		I
	III
		π1
		IV

Рис. 12. Деление пространства двумя плоскостями на 4 квадранта.

В зависимости от того, в каком квадранте пространства расположена точка еѐ проекции занимают определенное положение на эпюре Монжа.

A’’		B’’	C’		E’’
		B’		Dx
Ax			Cx
X		Bx			E’=Ex
A’					D’
			C’’		D’’

Рис. 13. Положение точек на эпюре Монжа.

По эпюру Монжа можно определить, какоеположение точки занимают в пространстве:

Точка А расположена в первом квадранте; Точка B расположена во втором квадранте; Точка C расположена в третьем квадранте; Точка D расположена в четвертом квадранте;

Точка E расположена непосредственно в плоскости π2.

Начертательная геометрия. Инженерная графика. Левченко С.В.	Страница 10