Все в одном

1. Интерполяционный многочлен Лагранжа, оценка его остаточного члена
Задача интерполяции: Пусть известны значения наблюдаемой функции	y(x)	в дискретных точках x0 ,..., xn .
Надо восстановить значения функции при других x . По xi	мы	строим многочлен Ln (x) :
Ln (xi ) yi , i [0, n] .

В формуле Лагранжа интерполяционный многочлен представляет собой ЛК значений функций в узлах

n
интерполирования Li (x) Ck (x) f (xk ) . Из требования Li (xk ) f (xk )	Ck (xi ) i,k .
k 0

Построим

Ck (x) k (x x0 )...( x xk 1 )( x xk 1 )...( x xn ) ,

C

k

(x

k

) 1,

k

(( x

k

x

0

)...( x

k

x

k 1

)( x

k

x

k 1

)...( x

k

x

n

)) 1 .

n

n

xi

Лагранжа: Ln (x) f (xk )

x

.

k 0

i 0 xk

xi

i k

где	k	находим	из	условия
Получаем		интегральный		многочлен

Введём

n 1 (x) (x x0 )...( x xn ) ,

xk 1 )( xk

xk 1 )...( xk

xn ) ,

n 1 (xk ) (xk x0 )...( xk

n

n 1 (x)

Ln (x) f (xk )

.

(x

x

)

(x

)

k 0

k

k

n 1

В предположении непрерывности f (n 1) (x) оценим разность

f (x)

и L

n

(x) . (x) : f (x) L (x) K

n

(x) .

n

K

f (x) Ln

(x)

Из условия (x) 0

. При таком выборе K функция (x)

обратится в 0 в n точках:

n (x)

x0 , x1 ,..., xn . По теореме Ролля (x) 0 по крайней мере в n+1

точках; (x) 0 по крайней мере в n

точках;

(n 1) (x) 0

- в одной точке [a,b] , где a : min( x

0

, x ,..., x

n

, x) ,

b : max( x

0

, x ,..., x

n

, x)

. Т.к.

1

1

(n 1) (x)

f (n 1) (x) k(n 1)! ,

из

условия

(n 1)

( ) 0

K

f (n 1) ( )

(n

1)!

f (x) Ln (x)

f (n 1) ( )

n 1

(x)

.

(n 1)!

, [a,b]}

f (x) L

M n 1

Если M

n 1

: sup{

f (n 1) ( )

n

(x)

n 1

(x)

.

(n 1)!

2. Интерполяционные квадратурные формулы. Оценка их погрешности.

b

Нужно посчитать I f (x)dx , но

f (x) задана таблично.

a

Заменим

f (x)

такой

функцией,

интеграл

от

которой

берётся

непосредственно,

например,

n

n 1 (x)

интерполяционный

многочлен

Лагранжа

Ln (x) f (xk )

.

Разложим

интеграл

в

виде

k 0

(x xk ) n 1 (xk )

линейной комбинации значений функции в известных точках xi

- квадратурная формула.

Выберем

d0 , d1 ,..., dn [ 1,1]

и

построим

Ln (x)

степени

n,

совпадающий

в

f (x)

в

точках

b a

b a

b

b

x j

d j .

Пусть

f (x) p(x)dx Ln (x) p(x)dx .

Пусть

все

d j

различны

2

2

a

a

b

b a

n

1

n

t di

Ln (x) p(x)dx

D j f (x j ) , где D j

p0 (t)

dt

квадратурная формула принимает вид

2

d j di

a

j 0

1

i 0

i j

b

b

a

n

b

a

b a

f (x) p(x)dx

D j f

d j . Положим весовую функцию p(x) 1 .

a

2

j 0

2

2

В частности:

1

b

b

a

1)

n 0,

d0

0

формула прямоугольников.

D0

1 dt 2

f (x)dx (b a) f

1

a

2

1

t d

1

1 t

n 1,

1,

1

d

d

dt

2

dt 1 ,

2)

d

d

формула

трапеций.

D

1

0

1

0

1

0

1

1

D

1 t d0

dt

1

1 t

dt 1

b

f (x)dx

b a

f (a) f (b) .

d

d

1

2

2

1 1

0

1

a

1

t

2

(t

1)

1

4

1

3)

n 3,

d0

1,

d1

0 , d2 1 ,

d3

0 формула Симпсона.

D0

, D1

,

D2

3

3

3

1

2

b

b a

a b

по формуле интегрирования с кратными узлами:

f (x)dx

f (a) 4 f

f (b) .

a

6

2

							f	(n 1)		(x)	n
	Погрешность.	f (x) Ln (x) r(x) ,		r(x)							(x xi )
							(n 1)!
											i 1
	Rn ( f ) max f (n1) (x) , x [a,b] n1 (x) p(x)								dx .		Полагая
		b

a	(n 1)!

b

Rn ( f ) p(x)r(x)dx .

			a
x X (t)	b a		b a	t
2		2

1

b

b a n2

1 0

(t) p0

(t)

(x) p(x)dx D(d

,...d

)

, где

D

n1

dt ,

0

(t) (t d

)...( t d

) ;

(n 1)!

(n 1)!

n 1

0

n

2

n 1

0

n

a

1

	b a
p 0	(t) p
		2

b a							b a n2
	t		R ( f )	D max f (n1)	(x)		, x [a,b]
2			n					2