Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

C4-2012

.pdf
Скачиваний:
30
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
1.84 Mб
Скачать

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012

Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи)

(типовые задания С4)

Прокофьев А.А.

Корянов А.Г.

Прокофьев А.А. – доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики №1 НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей №1557 г. Зеленограда;e-mail:aaprokof@yandex.ru

Корянов А.Г. – методист по математике городского информационнометодического Центра (ГИМЦ) г. Брянска, учитель математики МОУ лицей №27 г. Брянска;e-mail:akoryanov@mail.ru

СОДЕРЖАНИЕ стр.

Введение…………………………….2

Глава 1. Основные определения и теоремы планиметрии …………….. 3

1.1. Треугольник………………….. 3

Примеры многовариантных задач…. 15

1.2. Окружность и круг…………… 17

Примеры многовариантных задач…. 20

1.3. Многоугольники……………… 21

Примеры многовариантных задач…. 28

Ответы к упражнениям главы 1... 29

Глава 2. Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании взаимного расположения элементов фигуры…. 30

расположение точек на прямой…. 31

расположение точек вне прямой... 34

выбор обозначений вершин мно-

гоугольника………………………..….. 38

 

выборнекоторого элементафигуры

40

 

выбор плоской фигуры.…………

43

Глава 3. Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании взаимного рас-

положения фигур……………......... 45

3.1.Взаимное расположение прямолинейных фигур….…….….…… 45

3.2.Взаимное расположение ок-

ружностей…………………............... 46

расположение центров окружностей относительно общей каса-

тельной…………………………….. 47

расположение центров окружностей относительно их общей точки касания……………………………. 47

расположение центров окружно-

стей относительно общей хорды… 50

расположение центров окружностей относительно хорды большей окружности………………………... 51

расположение точек касания окружности и прямой……………….. 53

3.3. Интерпретация аналитиче-

 

ского способа решения задачи…...

55

интерпретация решения уравнения

 

sin x = a……………………………

55

интерпретация решения алгебраического уравнения.………………... 56

Упражнения…………………………… 57

Ответы и указания…………………… 63 Список и источники литературы…... 65

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Введение

Задачи С4 из тренировочных, диагностических, репетиционных и экзаменационных работ ЕГЭ 2010 и 2011 имеют характерную особенность. В отличие от практики единого экзамена прошлых лет и подавляющего большинства задач школьного учебника эти задачи содержат в условии некоторую неопределенность, которая позволяет трактовать условие неоднозначно. В результате удается построить несколько чертежей, удовлетворяющих условию задачи. Подобные задачи называют многовариантными. Перебор вариантов является частью решения задач такого типа. Заметим, что перебор может сократиться за счет дополнительной информации, указанной в условии задачи.

Отметим, что в 2010 году процент приступивших к выполнению задания С4 составил 14%, а в 2011 году – 15,6%. При этом, например, в 2011 году от 1 до 3 баллов за задачу С4 смогли получить только 4,44% участников экзамена. Большинство выпускников испытывали трудности с рассмотрением второго случая расположения геометрических фигур.

При проверке задачи С4 выставление баллов производится в соответствии со следующими критериями.

Содержание критерия

Баллы

Рассмотрены все возможные

 

геометрические

конфигура-

3

ции и получен правильный

 

ответ

 

 

 

Рассмотрена

хотя бы одна

 

возможная

геометрическая

 

конфигурация,

для которой

2

получено правильное значе-

 

ние искомой величины

 

Рассмотрена

хотя бы одна

 

возможная

геометрическая

 

конфигурация,

для которой

1

получено значение искомой

 

величины, неправильное из-

 

за арифметической ошибки

 

Решение не соответствует ни

 

одному из критериев, пере-

0

численных выше

 

Максимальный балл

3

 

 

 

 

09.03.2012. www.alexlarin.net

Геометрические задачи на вычисление в большинстве случаев представляют собой задачи на реализованные ситуации, то есть в них идет речь о некоторой заданной конфигурации и требуется вычислить ка-кой-либоее неизвестный элемент. Реализованность ситуации в условии задачи подразумевает лишь существование соответствующей конфигурации, но не предопределяет ее единственность. В таких задачахкакие-либоисследования соотношений между числовыми данными, доказывающие существование конфигурации, являются излишними.

Вданном пособии приведена некоторая классификация многовариантных планиметрических задач, которая не претендует на отражение в полном объеме всего многообразия подобных задач, но включают в себя большую часть, с которой придется столкнуться школьнику при подготовке к экзамену.

Впланиметрических задачах под конфигурацией понимается конечное множество точек и прямых, принадлежащих одной плоскости и связанных между собой отношением принадлежности. Иначе

ееназывают геометрической фигурой. Линейной считают фигуру, представ-

ляющую собой точку, отрезок, луч, прямую.

Прямолинейной фигурой считают лю-

бой многоугольник.

Плоской геометрической фигуройна-

зывают любую совокупность точек и линий на плоскости.

Настоящее пособие содержит три главы. В первой главе приведены основные теоремы и факты, необходимые для решения планиметрических задач и приведены наборы тренировочных задач.

Во второй и третьей главах представлена методика подготовки к решению многовариантных планиметрических задач, начиная с простейших ситуаций до достаточно сложных.

В конце приведен большой набор упражнений, к которым приведены ответы.

Желаем успеха!

Авторы.

2

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Глава 1. Основные определения и теоремы планиметрии

1.1. Треугольник

Стороны треугольника

О1. Периметр треугольника– сумма длин его сторон

(см. рис.1):

P a b c .

Рис. 1

Т1. Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны (неравенство треугольника):

a b c,

b c a,a c b.

Следствие. Если выполняется равенствоАС +СВ =АВ, то точкаС лежит на отрезкеАВ между точкамиА иВ.

1.Найдите стороны треугольника, периметр которого равен 96 см, а стороны пропорциональны числам 3, 4, 5.

2.Периметр треугольника АВС равен 75см. Найдите стороны треугольника, если сторонаАС вдвое больше стороныАВ, а сторонаВС на 10см меньше стороныАС.

3.Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см. Основание относится к боковой стороне как 6:5. Определите стороны треугольника.

4.Может ли быть треугольник с такими сторонами: а) 5м, 10м, 12м;б) 1м, 2м, 3,3м;в) 1,2м, 1м, 2,2м?

Углы треугольника

Т2. Во всяком треугольнике сумма углов равна 180° или радиан (см. рис. 1), т.е.

.

Следствие 1. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Следствие 2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 .

09.03.2012. www.alexlarin.net

Следствие 3. В равностороннем треугольнике все углы равны по 60 .

О2. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольникаАВС (С 90 , см. рис. 2):

sin A cosB a ;

 

 

 

 

c

 

cos A sinB

b

;

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

tg A ctgB

a

;

 

 

 

 

 

 

b

Рис. 2

ctg A tgB

b

.

 

 

 

 

a

Дополнительные теоремы:

Т3. Сумма двухсмежныхуглов равна 180°.Т4. Вертикальные углы равны.

Т5. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Т6. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

5.Один из углов равнобедренного треугольника равен 70 . Найдите остальные углы.

6.У треугольника один из внутренних углов равен 30°, а один из внешних 40 . Найдите остальные внутренние углы треугольника.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Т7. Во всяком треугольнике:

1)против равных сторон лежат равные углы (и наоборот):

a b A В ;

2)против большей стороны лежит больший угол (и наоборот):

a b A В .

Следствие 1. Пустьc – наибольшая сторона; тогда:

а)

если

c2a2

b2,

то

треугольник

остроугольный;

 

 

 

б)

если

c2a2

b2,

то

треугольник

прямоугольный;

 

 

 

в)

если

c2a2

b2,

то

треугольник

тупоугольный.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Т8. Квадрат любой стороны треугольникаАВС равен сумме квадратов двух других без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ни-

ми (теорема косинусов).

a2b2c22bc cos A; b2a2c22ac cos B;

с2 a2 b2 2abcos C.

Следствие 2. Углы треугольника по известным сторонам вычисляют по формулам:

cos A b2 c2 a2 ; cosB a2 c2 b2 ;2bc 2ac

cos C a2 b2 c2 .2ab

Т.9. В прямоугольном треугольникеАВС (С 90 ) квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пи-

фагора), т.е.с2 a2 b2.

Т10. Стороны треугольникаАВС пропорциональны синусам противолежащих углов (теорема синусов):

a

 

b

 

c

.

 

 

 

sin A

sin B

sin C

Следствие 1. Отношение двух сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих им углов:

a

 

sin A

;

a

 

sin A

;

b

 

sin B

.

 

 

 

 

 

 

b sinB

c sinC

c sinC

Следствие 2. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30 , равен половине гипотенузы (и обратно).

7.В треугольнике АВС известно:AC =

=3√2,BC = 5 иA 45 . НайдитеАВ.

8. В треугольнике даны стороныa 3,b 23 . УголА, противолежащий сторонеа, равен30°. Найдите третью сторону.

9. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 1см. Найдите длину гипотенузы.

09.03.2012. www.alexlarin.net

10. Определите острые углы прямоугольного треугольника, длины сторон которого образуют геометрическую про-

грессию.

 

 

 

 

 

 

 

11. В треугольнике

 

найдите от-

ношение

 

:

,

если

известно,

что

A 120и

 

 

.

 

 

12. В

треугольнике

 

найдите угол

 

 

:

= 2

 

, если

известно, что

C 135

и

:= √3− 1 :√2.

Равные треугольники

О3. ТреугольникиA1B1C1 иA2B2C2 называютсяравными, если у них соответственные стороны равны и соответственные углы равны:

A1B1A2B2, B1C1B2C2, A1C1A2C2,

A1A2, B1B2, С1С2

A1B1C1= A2B2C2.

Т11. Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны (первый при-

знак равенства треугольников – по двум сторонамиуглумеждуними):

A1B1A2B2, A1C1A2C2, A1A2

A1B1C1= A2B2C2.

Т12. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (второй признак равенства треугольников по стороне и двумкнейприлежащимуглам):

A1B1A2B2, A1A2, B1B2

Т13. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

(третий признак равенства треугольников

по тремсторонам):

A1B1A2B2, B1C1B2C2,

A1C1 A2C2 A1B1C1 = A2B2C2.

4

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

13.Докажите, что ромб разбивается диагоналями на четыре равных прямоугольных треугольника.

14.Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника.

15.Докажите, что в равнобедренной трапеции:

а) углы при любом из оснований равны; б) диагонали равны.

16.Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников:

а) по двум катетам; б) по катету и острому углу;

в) по гипотенузе и острому углу; г) по гипотенузе и катету.

Подобные треугольники

О4. Два треугольникаA1B1C1 иA2B2C2 называютсяподобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

A1A2, B1B2, С1С2,

A1B1B1C1A1C1k A2B2B2C2A2C2

A1B1C1~∆A2B2C2,

где число k – коэффициент подобия.

Т14. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны (первый признак подобия треугольников по двум углам):

A1A2и B1B2

A1B1C1~∆A2B2C2.

Следствие 1. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая другую сторону, отсекает от него треугольник подобный данному.

Следствие 2. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая продолжения сторон этого треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

09.03.2012. www.alexlarin.net

Т15. Если в двух треугольниках две пары сторон пропорциональны, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны (второй при-

знак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними):

A1B1

 

A1C1

и A A

 

 

A2B2

1

2

A2C2

 

A1B1C1~∆A2B2C2.

Т16. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны (тре-

тий признак подобия треугольников

по трем сторонам):

A1B1

 

B1C1

 

A1C1

A1B1C1~∆A2B2C2.

A2B2

B2C2

A2C2

Т17. Если два треугольника подобны, то любой линейный элемент (или сумма линейных элементов) одного треугольника относится к соответствующему линейному элементу (или сумме соответствующих линейных элементов) другого треугольника как соответственные стороны (обоб-

щенная теорема подобия).

В частности, радиусы описанной или вписанной окружностей, периметры, соответственные высоты, медианы, биссектрисы двух подобных треугольников относятся как соответственные стороны.

17.Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на части, площади которых относятся как 2:1. В каком отношении, считая от вершины, она делит боковые стороны?

18.Треугольник со сторонами 13, 14, 15 разделен на три равновеликие части прямыми, перпендикулярными большей стороне. Найдите расстояния до этих прямых от ближайших к ним вершин треугольника, находящихся на большей стороне.

19.В треугольнике АВС АВ = 12. СторонаВС разделена на 4 равные части и через точки деления проведены прямые,

5

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

параллельные АВ. Найдите отрезки этих прямых, заключенных внутри треугольника.

20.Основание треугольника равно 30 см, а боковые стороны 26 и 28см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от вершины), и через точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Найдите площадь полученной при этом трапеции.

21.Прямая, параллельная основанию треугольника с площадью 108 см2, отсекает от него треугольник с площадью 12см2. Найдите площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами малого треугольника, а четвертая лежит на основании большего треугольника.

22.В треугольник со сторонами 10, 17

и21 см вписан прямоугольник с периметром 24см так, что одна из его сторон лежит на большей стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника.

23.В прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15м.

24.На стороне ВС треугольникаАВС

отмечена точка

K. Известно,

что

В С AKB,

АK = 5, ВK=

16,

= 2. Найдите сторонуАВ.

 

25.Внутри прямого угла дана точка М, расстояние от которой до сторон угла равны 4 и 8см. Прямая, проходящая че-

рез точку М, отсекает от прямого угла треугольник площадью 100см2. Найдите катеты треугольника.

26.В треугольнике АВС стороны

АВ = 14см,АС = 18см, уголА вдвое больше углаВ. Найдите третью сторону треугольника.

Площадь треугольника

Приведем основные формулы для вычисления площади треугольника.

Т18. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведен-

ную к ней высоту: S 1 aha .

2

09.03.2012. www.alexlarin.net

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольникаАВС ( С 90 ) равна половине произведения его катетов:

S1 ab. 2

Следствие 2. Если два треугольника имеют равные стороны, то отношение их площадей равно отношению соответственных высот, опущенных на эти стороны (или их продолжения).

Следствие 3. Если два треугольника имеют равные высоты, то отношение их площадей равно отношению соответственных оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).

Т19. Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на си-

нус угла междуними: S 1absinC.

2

Следствие. Если угол одного треугольника равен углу (или является дополнительным углом) другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, содержащих эти углы, то

есть = .

Т20. Площадь треугольника равна

S p(p a)(p b)(p c),

где p a b c – полупериметр (фор-

2

мула Герона).

Модифицированная формула Герона:

S

1

 

4a2c2a2c2b2 2

.

 

4

 

 

 

Т21. Площадь треугольника равнаS pr , гдеr – радиус вписанной в треугольник окружности,p – полупериметр.

Т22. Площадь треугольника равна

S abc, гдеR радиус описанной око-

4R

ло треугольника окружности.

6

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Т23. Если треугольникABC подобен треугольникуA1B1C1, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента по-

добия k , то естьSABC k2 .

SA1B1C1

27. Докажите, что площадь равносто-

роннего треугольника равна S a2 3 ,

4

где а – длина стороны треугольника.

28. Определите, чему равна длина стороны треугольника, лежащей против тупого угла, если длины двух других сторон равны 7см и 8см, а площадь тре-

угольника равна 143см2.

29.Площадь прямоугольного тре-

угольника равна 82 , а острый угол22,5°. Найдите гипотенузу.

30.На сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 6 вне этого треугольника построены квадраты. Центры этих квадратов соединены между собой. Найдите площадь полученного треугольника.

31.Стороны треугольника равны 7, 24

и25. Найдите его высоты.

32.В треугольнике АВС на сторонеАС взята точкаВ1 так, чтоАВ1:В1С = 2:3. Найдите площадь треугольникаВВ1С,

если SABC 30.

33. В треугольникеАВС на сторонеАВ взята точкаВ1 так, чтоАВ1:В1В = 1:1, а на сторонеАС взята точкаС1 так, чтоАС1 :С1С = 3:1. Найдите отношение площадей треугольниковАВ1С1 иАВС.

34. ТочкаМ лежит внутри равносто-

роннего треугольника на расстоянии 33

от двух его сторон и на расстоянии 43 от третьей стороны. Найдите длину стороны данного треугольника.

35. Через точкуМ (см. рис. 3) основанияАС треугольникаABC проведены прямыеMN иMP , параллельные сторонам треугольника. ТочкиN иP пересечения этих прямых со сторонами треугольника соединены отрезком прямой. Найдите площадь треугольниковABC и

09.03.2012. www.alexlarin.net

NBP, если площади треугольниковANM иMPC равны соответственноS1 иS2 .

B

 

 

S3

P

 

N

 

 

S1

S2

 

A x M

y

C

Рис. 3

36. Через точкуO, лежащую внутри треугольникаABC, проведены три прямые параллельные сторонам треугольника. Площади образовавшихся треугольников равныS1,S2,S3 (см. рис. 4). Найдите площадь треугольникаABC.

 

 

B

 

 

 

M

P

 

 

N

S1 O S2

 

Q

 

 

S3

 

 

A

 

R

S

C

 

 

Рис. 4

 

 

37. На сторонахCA,AB,BC треугольникаABC соответственно взяты точкиM,

N,P так, чтоAN m,BP n,AM k .AB BC AC

Определите площадь треугольника MNP, если площадь треугольникаABC равнаS.

Параллельность отрезков (прямых) в треугольнике

О5. Средняя линия треугольника– от-

резок, соединяющий середины двух его сторон.

Т24. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.

Следствие. Средняя линия отсекает от треугольника треугольник подобный исходному.

Т25. Параллельные прямые отсекают на сторонах угла (на двух прямых) пропорциональные отрезки (обобщенная теорема Фалеса).

7

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Дополнительные теоремы:

Т26. Две параллельные прямые, пересекаемые рядом прямых, исходящих из одной и той же точки, рассекаются ими на пропорциональные отрезки.

Т27. Если при пересечении двух прямых третьей прямой (секущей):

а) внутренние накрест лежащие углы равны;

б) сумма внутренних односторонних углов равна180°;

в) соответственные углы равны, то прямые параллельны (признаки па-

раллельности двух прямых).

Следствие. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Т28. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то:

а) внутренние накрест лежащие углы равны;

б) сумма внутренних односторонних углов равна180°;

в) соответственные углы равны (об-

ратные теоремы).

Следствие. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

38.Через середину М медианыCD треугольникаАВС проведена прямаяАМ, пересекающая сторонуВС в точкеK. В каком отношении точкаK делит сторонуВС?

39.В равнобедренном треугольнике АВС (АВ =ВС) на сторонеВС выбрана точкаD так, чтоBD :DC = 1:4. В каком отношении прямаяAD делит высотуВМ треугольникаАВС?

40.На сторонах АС иВС треугольника

АВС взяты точкиK иN так, что

CK : KA = 2 : 3,CN :NB = 4 : 3. В каком отношении точка пересечения отрезковAN иBK делит отрезокKB?

41. Через точкуD на сторонеAB треугольникаABC такую, чтоCD :DB =m :n, параллельно сторонеAC проведена прямая, пересекающая сторонуBC в точкеE. Найдите отношениеDE :AC.

09.03.2012. www.alexlarin.net

42. В треугольникеABC из вершинA иB к сторонамBC иAC соответственно проведены отрезкиAD иBE, делящие эти стороны в отношенииBD :DC = m :n иAE :EC = p :q. Определите, в каком отношении делятся отрезкиAD иBE точкой их пересеченияQ.

Медианы треугольника

О6. Медианой треугольниканазывает-

ся отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Т29. Во всяком треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Отрезки МА1,МВ1,МС1 являются медианами соответственно треугольниковВМС,

АМС,АМВ, гдеM

точка пересечения медиан 1,1,

1 треугольника

ABC (см. рис. 5).Рис. 5

Т30. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Т31. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы, а также радиусу окружности, описанной около этого треугольника.

43. Докажите, что медиана делит треугольник на два равновеликих треуголь-

1

ника: SABB1 SCBB1 2 SABC.

44. Докажите, что три медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих треугольников:

1

SAMB1 SCMB1 ... SAMC1 6 SABC.

45. Докажите, что еслиМ – точка пересечения медиан треугольникаАВС, то

8

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

1

SAMCSBMCSAMB3 SABC.

46. Докажите, что длина медианы треугольника вычисляется через длины его

сторон по формуле: ma 1 2b2 2c2 a2 .

2

47. Докажите, что длина стороны треугольника по известным трем медианам вычисляется по формуле:

 

2

 

 

 

 

a

 

2mb22mc2

ma2.

 

3

 

 

 

 

48. (ЕГЭ, 2003). В треугольникеАВС проведена медианаАМ. Найдите площадь треугольникаАВС, еслиАС 32 ,

ВС = 10,МАС 45 .

49. (ЕГЭ, 2003). В треугольникеВСЕ

медиана ВМ равна 3,СЕ 42 ,ВЕ = 5. Найдите сторонуВС.

50. Определите площадь треугольника,

если две его стороны равны 1 и √15 см, а медиана третьей стороны равна 2см.

51. Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны. Боковая сторона равна√10. Найдите площадь треугольника.

52.В треугольнике АВС медианыВВ1

иСС1 пересекаются в точкеО и взаимно перпендикулярны. НайдитеОА, если

ВВ1 = 36см,СС1 = 15см.

53. В прямоугольном треугольнике длины медиан острых углов равны√52 и

√73 см. Найдите длину гипотенузы.

54. Найдите расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до его катета, равного 12, если гипотенуза равна 15.

Высоты треугольника

О7. Высотой треугольниканазывает-

ся перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на его противоположную сторону или ее продолжение.

Отрезки НА1,НВ1,НС1 являются высотами треугольниковНВС,НАС,НАВ соответственно, гдеH – точка пересечения высот1,1,1 треугольникаABC

(см. рис. 6).

Т32. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентр).

09.03.2012. www.alexlarin.net

Рис. 6 Рис. 7

Дополнительные теоремы:

Т33. Высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее геометрическое проекций

катетов на гипотенузу, т.е. h2

c

c .

c

a

b

Катет есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции этого катета на

гипотенузу: a2 c

c

и b2 c

c (см.

a

 

b

 

рис. 7).

 

 

 

Т34. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Т35. Свойства перпендикуляра и на-

клонной. Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то:

а) любая наклонная больше перпендикуляра;б) равные наклонные имеют равные

проекции (и обратно); в) из двух наклонных больше та, у

которой проекция больше (и обратно).

Т36. Свойство серединного перпенди-

куляра. Есликакая-нибудьточка лежит на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка, то она одинаково удаленаот концов этогоотрезка(иобратно).

55. Докажите, что высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам:

ha b. hb a

56. Докажите, что длина высоты треугольника вычисляется по одной из формул:

h

2S

bsinC csinB

bc

.

a

 

a

 

2R

9

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

57. Докажите, что высота

 

прямо-

угольного треугольника,

опущенная

на

 

 

 

 

 

гипотенузу, катеты которого равны

и ,

а гипотенуза , равна =

 

.

 

 

 

 

 

 

 

58.Докажите, что если AA1 ,BB1 иCC1

высоты остроугольного треугольника ABC

(см. рис. 6 и 8), то:

а) AHB1~ BHA1 ; б) BA1H~ ВВ1C; в) 1H~ ВВ1C;

г) AAC~ ВВC;

Рис. 8 1 1

д) A1BC1 ~ ABC.

59.В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна , а основание . Найдите длину высоты, проведенной к боковой стороне.

60.В треугольнике ABC уголB равен

, AA1 иCC1 – высоты. Докажите, что

треугольник BA1C1 подобен треугольникуABC. Найдите коэффициент подобия треугольников.

61.Высота, основание и сумма боковых сторон треугольника равны соответственно 24, 28 и 56 см. Найдите боковые стороны.

62.Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точкеО. Известно, чтоОС =АВ = 5см, а расстояние от точкиО до стороныАС равно 3см. Найдите длины сторон треугольникаАС

иВС.

63.В остроугольном треугольнике АВС A 60 ,ВС = 10, отрезкиВМ иСK – высоты. Найдите отрезок.

64.В равнобедренном треугольнике АВС с основаниемАС = 4 проведена высотаСK. Найдите площадь треугольникаАВС, если известно, чтоВK :ВА=4 : 5.

65.В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основанию и к боковой стороне, равны соответственно 10 и 12 см. Найдите площадь треугольника.

66.Прямоугольный треугольник, периметр которого равен 10, разбит высотой, опущенной на гипотенузу, на два треугольника. Периметр одного из них равен 6. Найдите периметр другого треугольника.

09.03.2012. www.alexlarin.net

67.Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника с площадями 64 и

16.Найдите катеты.

68.(ЕГЭ, 2005). Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 10, а боковая сторона равна 5. К основаниюАС и сторонеВС проведены высотыВМ иАН, пересекающиеся в точкеK. Найдите площадь треугольникаАВK.

69.(ЕГЭ, 2005). В равнобедренном треугольнике АВС с основаниемАС высотыBD иАН пересекаются в точкеТ, причемАТ = 10,ТН = 8. Найдите площадь треугольникаАВТ.

70.Высоты АН иВK равнобедренного треугольникаАВС с основаниемВС пересекаются в точкеО так, чтоВО = 5,ОK = 3. НайдитеАН.

71.Найдите углы треугольника, в котором высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на три равные части.

72.Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника меньше 60°. К боковой стороне проведены медиана и высота, длины которых соответ-

ственно равны 3√5 и 6см. Найдите длину боковой стороны треугольника.

73.В треугольнике АВС проведены высотаАН и медианаВМ. Найдите площадь треугольникаСМН, еслиАВ = 13,

ВС = 14,АС = 15.

74.В остроугольном треугольнике АВС проведены высотыАЕ иCD. Най-

дите АВ, еслиВD = 18,ВС = 30,АЕ = 20.

Биссектрисы треугольника

О8. Биссектрисой треугольниканазы-

вается отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины до противоположной стороны треугольника.

Т37. Биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла (свойство биссектрисы угла).

Т38. Во всяком треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности.

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]