C22013

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

								3a				a			3
D(a; a 3;0) , E											;							;0			, F(a;0;0),
								2						2
							a		a
													3
A(0; 0;b),			B					;								;b			,	C (0;a 3;b),
1			1				2				2										1
								3a				a
															3
D (a;a 3;b), E											;							;b			F(a;0;b).
																				,
1						1		2						2							1

a

a 3

A(0;0;0),

B

;

;0

, C(a;0;0),

2

2

a

a

3

M

;

; h .

2

6

z

M

y

z C1		D1	y
			3a C			D
B1 A1	F1	E1
y			B 3			O	E
		D	2a
C
B		E	a	A	a	F	x
A	F	x		0		a	3a
			2		2		2
		Рис. 140

На выносном чертеже основания AD

BE CF 2a, AC CF2 AF2 a3.

Другой вариант расположения правильной шестиугольной призмы относительно прямоугольной декартовой системы координат представлен на рисунке 141.

	z	E1
	D1		F1
	C1	A1	y
	B1
		E
	D
			F
	O
	C	A
	B		x
	Рис. 141
	4. Правильная треугольная пирами-
	да MABC, сторона	основания которой

равна a, а высота h.

Обычно используют один из двух вариантов расположения системы координат.

4.1.Пусть начало координат находится

вточке A, ось x направлена вдоль ребра AC , ось y проходит через точку A пер-

пендикулярно AC , ось z проходит через

точку A перпендикулярно	плоскости
ABC (см. рис. 142). Тогда вершины пи-
рамиды имеют координаты:
04.12.2012	91

y	3a	B
	2
	B	C
A	A		x
	C x 0	a a
		2
	Рис. 142

4.2.Пусть начало координат находится

вцентре треугольника ABC в точке O, ось x проходит через точку O параллельно ребру AC , ось y проходит через

точку O перпендикулярно AC , ось z проходит через точку O перпендикулярно плоскости ABC (см. рис. 143). Тогда вершины пирамиды имеют координаты:

a

a

3

a

3

;

;0

, B

0;

; 0

,

A

2

6

3

a

a

3

C

;

;0

, M(0;0; h).

6

2

z

M

y

B

y

3a

a

3

a

B

O

2

O

2

x

x

A

C

A

3a C

6

Рис. 143

Еще один вариант расположения правильной треугольной пирамиды относительно прямоугольной декартовой системы координат представлен на рисунке

144.

5. Правильная четырехугольная пи-

рамида MABC, сторона основания которой равна a, а высота h.

Обычно используют один из двух вариантов расположения системы координат.

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

z

M
B	y
A
H

O

C

x

Рис. 144

5.1.Пусть начало координат находится

вточке A, ось x направлена вдоль ребра AD, ось y – вдоль ребра AB , ось z

проходит через точку A перпендикулярно плоскости ABC (см. рис. 145). Тогда вершины пирамиды имеют координаты:

	A(0;0;0),	B(0;a;0), C(a; a;0),
	D(a;0;0)		a			a
			, M		;		; h .
				2
					2
z			y
	M		a B				C
	y
	B		C		A		D
A	D		x	0			a x
		Рис. 145

5.2.Пусть начало координат находится

вцентре основания в точке O, ось x проходит через точку O параллельно ребру AD, ось y проходит через точку

O параллельно ребру AB , ось z прохо-

	z		y
	M	B	a	C
	y		2
		a		a
	B	2	O	2
		C		x
A	O	x	a	D
	D	A
			2
	Рис. 146

дит через точку O перпендикулярно

плоскости основания (см. рис. 146). Тогда вершины пирамиды имеют координаты:

a a

a a

a a

A

;

;0 ,

B

;

;0

,

C

;

;0 ,

2 2

2 2

2 2

a

a

D

;

;0

, M(0;0; h).

2

2

6. Правильная шестиугольная пира-

мида MABCDEF ,

сторона основания ко-

торой равна a, а высота h. Пусть начало координат находится в точке A, ось x направлена вдоль ребра AC , ось y проходит через точку A перпендикулярно AC , ось z проходит через точку A перпендикулярно плоскости ABC (см. рис. 147). Тогда вершины пирамиды имеют ко-

		a		a 3
ординаты: A(0;0;0), B			;		;0		,
		2		2

C 0;a

3;0 , D(a; a

3;0) ,

3a

a

a

a

3

3

E

;

;0

, F(a;0;0), M

;

; h .

2

2

2

2

y

z

M

3a C

D

y

B 3

a

O

E

D

2

C

B

E

x

A

F

F x

A

a

0

a

a

3a

2

2

2

Рис. 147

Еще один вариант расположения правильной шестиугольной пирамиды относительно прямоугольной декартовой системы координат показан на рисунке 148.

z

M

y

E

D F

C	O
	A
B	x
	Рис. 148

04.12.2012

92

www.alexlarin.net

sin sin

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

3.4.Опорные задачи

1.Координаты точки M(x, y, z), де-

лящей отрезок M1M2 между точками

M1(x1, y1, z1) и M2 (x2 , y2 , z2 ) в отно-

шении M1M :MM2 , определяются формулами

x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 .

1

1

1

Доказательство. Рассмотрим векторы

M1M {x x1, y y1, z z1},

MM2 {x2 x, y2 y, z2 z}.

Из равенства M1M MM1 получаем систему для координат векторов

x x1 (x x2 ),
			(y y2 ),
y y1
	(z z2 )
z z1
или			x	x
						2
x		1							,
			1
			y	y
							2
y			1							,
			1
			z	z	2
z	1							.
			1

2. Трехгранным углом называется фи-

гура, состоящая из нескольких лучей OA, OB, OC , выходящих из одной точки O и не лежащих в одной плоскости, и из плоских углов AOB, BOC, AOC между этими лучами (см. рис. 149). Точка O называется вершиной трехгранного угла, лучи OA, OB, OC – ребрами, части плоскостей, заключенные между ребра-

ми,	называются гранями, а углы
AOB, BOC, AOC , образованные ребра-
ми,	лежащими в одной грани, называются

плоскими углами трехгранного угла.

Теорема. Во всяком трехгранном угле, плоские углы которого равны , и , а двугранные углы, противолежащие им, соответственно равны A , B и C ,

имеют место следующие равенства:

04.12.2012

cos C cos cos cos , sin sin

cos B cos cos cos , sin sin

cos A cos cos cos .

Доказательство. Докажем, например, первое равенство. Пусть в трехгранном

угле	OABC плоские углы при вершине
O	равны	BOC ,			AOC ,
AOB		(см.	рис. 149). Через произ-
вольную точку			C1 ребра	OC проведем
					C
			C1
		x	C	A1
					A
	O
			B1		B
			Рис. 149

плоскость перпендикулярную этому ребру. Пусть B1 и A1 точки пересечения этой плоскостью ребер OB и OA, соответственно. По условию линейный угол B1C1A1 двугранного угла с ребром OC

равен C . Пусть OC1 x. В треугольни-

ке OB C C B x tg ,				OB		x	. В
	1 1 1		1	1		cos
треугольнике			OA1C1	C1A1 x tg ,
OA	x	.	Из теоремы косинусов для
1	cos
треугольников OB1C1 и B1C1A1					получаем:

B1A12 OB12 OA12 2 OB1 OA1 cos ;

B1A12 C1B12 C1 A12 2 C1B1 C1 A1 cos C .

Приравняем правые части равенств и подставим выражения OB1, OA1, C1B1,

C1A1:
	x	2		x		2	x		x
						2				cos
cos							cos		cos
			cos

(xtg )2 (xtg )2 2 x2 tg tg cos C .

После преобразований получаем доказываемую формулу:

93

www.alexlarin.net

sin sin

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

cos C cos cos cos .

Аналогично доказываются два других равенства. Данную теорему называют «тео-

ремой косинусов для трехгранного угла».

3. Теорема («о трех косинусах»). Пусть величина угла между наклонной l и ее проекцией на некоторую плоскость, величина угла между проекцией наклонной l и прямой, проведенной через основание той же наклонной в плоскости проекции, и величина угла между наклонной l и прямой, проведенной через ее основание в плоскости проекции. Тогда справедливо следующее соотношение:

cos cos cos .

Доказательство. Выберем точку A

на прямой l, пересекающей плоскость в точке B (см. рис. 150), и спроектируем ее на плоскость ( AO ). Пусть точка D основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC. Тогда в соответствии с условием ABO ,OBC , ABC . Треугольники AOB, BOD, ABD – прямоугольные. Тогда из треугольника AOB BO ABcos ,

из	треугольника	BOD
BD BOcos ABcos cos ,		из	тре-
угольника	ABD BD ABcos . Из		по-

следних двух равенств следует:

cos cos cos .

		A
	l
		O

D C

Рис. 150

Замечание. Теорема «о трех косинусах» является следствием «теоремы косинусов для трехгранного угла» в случае, если C 90 .

04.12.2012

94

4.Теорема («о трех синусах»). Пусть

водной из граней двугранного угла, величина которого равна , проведена прямая, составляющая с ребром двугранного

угла угол (0 /2), – величина угла между этой прямой и другой гранью (см. рис. 151). Тогда справедливо следующее соотношение:

sin sin sin .

Доказательство. Пусть AD

данная в условии прямая; точка C основание перпендикуляра, опущенного из точки A на плоскость , и ABC линейный угол двугранного угла BD (см. рис. 151). Тогда в соответствии с условием

ABC , ADB и ADC .

Пусть AD x. Тогда для прямоугольных треугольников справедливо: для тре-

угольника	ADB	AB xsin , для тре-
угольника	ABC	AC xsin sin и для

треугольника ADC

sin AC: AD sin sin .

Следовательно, sin sin sin .

A

B	C

D

Рис. 151

5. Если прямая образует с тремя попарно перпендикулярными прямыми углы, и , то выполняется равенство cos2 cos2 cos2 1.

Доказательство. Достаточно рас-

смотреть прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с диагональю DB1 1.

Пусть CDB1 , ADB1 ,

B1DD1 (см. рис. 152). Тогда в соответствующих прямоугольных треугольниках CD cos , AD cos , DD1 cos .

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

Так как DB12 CD2 AD2 DD12 , то имеем

cos2 cos2 cos2 1.

B1
	C1
A1	D1
B	C

A

D

Рис. 152

В качестве следствия получим

sin2 sin2 sin2 2.

6. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции:

Sпр S cos ,

где S – площадь многоугольника, лежащего в плоскости , Sпр – площадь его ортогональной проекции на плоскость .

Доказательство. Так как много-

угольник можно разбить на конечное число треугольников, и фигуру можно параллельно перенести в равную ей фигуру, то достаточно рассмотреть треугольник, через одну сторон которого проходит плоскость (например, через сторону AB ) (см. рис. 153).

C

A

Рис. 153

Если D – проекция точки C на плоскость , то ABD – проекция треугольни-

04.12.2012

95

ка АВС на эту плоскость. Пусть СМ – высота в треугольнике АВС, тогда по теореме о трех перпендикулярах DM AB.

Обозначим CMD . Имеем последовательно площади треугольников

S	ABC		1	AB CM ,	S	ABD		1	AB DM ,
		2					2
DM CM cos ,					SABD SABC cos .

7. Если вершины А, В, D и A1 паралле-

лепипеда ABCDA1B1C1D1 являются вершинами тетраэдра, то имеет место равенство

1

VABDA1 6VABCDA1B1C1D1 .

		D1
	C1	A1
		B1
		D
	C	M A

B

Рис. 154

Доказательство. Тетраэдр и параллелепипед имеют одну высоту A1M h (см. рис. 154). Для площадей оснований име-

ем соотношение S						ABD			1		S		ABCD	. Тогда
								2
VABDA		1	h	1	SABCD					1		VABCDA B C D .
				2
1	3							6						1	1	1	1

8. Если вершины А, В, С и D параллелепипеда AKBMQCLD являются вершинами тетраэдра, то имеет место равенство

1

VABCD 3VAKBMQCLD .

Доказательство. Так как объёмы уг-

ловых тетраэдров равны и составляют шестую часть от объёма параллелепипеда V, то имеем

VABCD	V 4	1	V	1	V .
	6		3

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

9. Пусть a и b – длины двух противоположных ребер тетраэдра, d – расстояние, – угол между ними. Тогда объём тетраэдра может быть вычислен по формуле

V1 abdsin . 6

D

Q

E

L

C

M

A

B

K

Рис. 155

Доказательство. Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBMQCLD (см. рис. 155), проводя через каждое ребро плоскость, параллельную противоположному ребру. Пусть AB a, CD b, тогда площади граней AKBM и

LCQD равны 1 absin , расстояние меж- 2

ду ними d. Тогда объем параллелепипеда

	равен	1	abd sin .		Объем пирамиды
	2			1
	ABCD составляет				от объёма паралле-
	3

лепипеда, то есть равен 1abd sin . 6

10. Пусть q – площадь одной из боковых граней треугольной призмы, d – расстояние от противоположного ребра до этой грани. Тогда объём этой призмы может быть найден по формуле

V1 qd . 2

Доказательство. Пусть площадь грани AA1D1D равна q, а расстояние от пря-

мой СС1	до этой грани равно d (см. рис.
156).	Объем	параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 равен qd . Так как объем
04.12.2012		96

этого параллелепипеда в два раза больше объема призмы ACDA1С1D1 , то объём

этой призмы равен 1 qd . 2

C1 D1

B1

A1

C

D

B

A

Рис. 156

11. Пусть p и q – площади двух граней тетраэдра, a – длина общего ребра,– величина двугранного угла между этими гранями. Тогда объём тетраэдра может быть вычислен по формуле

V 2pqsin .

3a

D

B A

OH

C

Рис. 157

Доказательство. Пусть площади граней АВС и ACD тетраэдра ABCD равны p и q соответственно, – угол между

этими гранями, AC a (см. рис.					157).
Высота DH треугольника ACD					равна
	2q	. Для высоты пирамиды имеем
	a
		DO DH sin	2qsin	.
			a

Тогда объем пирамиды ABCD равен

V1 p DO 2pqsin . 3 3a

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

12. Пусть в пирамиде MABC на ребрах MA, MB и MC или на их продолжениях

взяты соответственно точки A1, B1, C1

так, что MA1 :MA k , MB1 :MB m,

MC1 :MC n. Тогда объёмы пирамид MA1B1C1 и MABC связаны формулой

VMA1B1C1 k m n VMABC .

				M
				H
				C1
		A1
		F		B1
	A
		E			C
				B
				Рис. 158
	Доказательство. Из точек С1 и С
проведем к плоскости ABМ перпендику-
ляры С1H и CF соответственно (см. рис.
158). Тогда				С1H ||CF и из подобия тре-
угольников				С1HM и СFM	получаем
C H		MC1	CF n CF . Из		сравнения
1		MC

площадей треугольников с общим углом имеем SMA1B1 k m SMAB . Для тетраэдров MA1B1C1 и MABC с основаниями MA1B1 и MAB получаем

1

VMA1B1C1 3C1H SMA1B1

1n CF k m SMAB k m n VMABC . 3

13.Объём треугольного призматического тела ABCA1B1C1 , ограниченного

треугольниками ABC и A1B1C1, можно вычислить по формуле

VABCA B C				AA1 BB1 CC1	SABC ,
1	1	1	3

где плоскость АВС перпендикулярна ребрам призматической поверхности,

AA1 BB1 CC1.

Доказательство. 1. Разделим призма-

тическое тело ABCA1B1C1 на три части плоскостями A1B0C1 и A1B0C0 (парал-

лельно ABC): треугольную призму ABCA1B0C0 , две треугольные пирамиды

A1B0C0C1 и A1B0B1C1 (см. рис. 159).

2. Пусть SABC S , AA1 a, BB1 b,

CC1 c . Тогда объём прямой призмы

ABCA1B0C0 равен aS .

C1

B1C2

B0C0

A1

BC

A

A3

B3C3

Рис. 159

3. Для пирамиды A1B0C0C1 , принимая треугольник A1B0C0 за основание, объём

равен 1(c a)S . 3

4. Пусть C0C2 B0B1. Тогда для пирамид A1B0B1C1 и A1B0C2C0 с общей вершиной A1 и равновеликими основаниями B0B1C1 и B0C2C0 объёмы равны.

Значит, объём пирамиды A1B0B1C1 ра-

вен 1(b a)S . 3

5. Окончательно объём призматического тела ABCA1B1C1 равен

aS 1(c a)S 1(b a)S

33

a b c S

3

04.12.2012

97

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

14. Объём треугольного призматического тела A1B1C1A3B3C3 , ограниченного треугольниками A1B1C1 и A3B3C3 , можно вычислить по формуле

VA B C A B C							A1A3 B1B3 C1C3	SABC ,
1	1	1	3	3	3	3

где плоскость АВС перпендикулярна ребрам призматической поверхности (дока-

жите самостоятельно!).

15. Если в двух пирамидах, имеющих по равному двугранному углу при основании, равны также и ребра этих углов, то отношение объёмов этих пирамид равно отношению произведений площадей граней, образующих равные двугранные углы.

S S1

	B	C1		D1
A
	O		O1	M1
M
	B1			A1
	C
	Рис. 160
Доказательство.		Пусть	пирамиды
SABC и SA1B1C1D1 (см. рис. 160), имеют
равные	двугранные	углы	SACB и
S1A1D1C1, также AC A1D1. Построим ли-
нейные углы SMO и S1M1O1			данных рав-
ных двугранных углов. По				условию
SMO S1M1O1 . Тогда прямоугольные
треугольники MSO и M1S1O1			подобны и

SM SO .

S1M1 S1O1

Площади боковых граней SAC и S1A1D1 относятся как их высоты, поскольку

AC A1D1 , т.е.

SSAC				SM		SO	.
SA S D				S1M1
						S1O1
1	1	1

Найдем отношение объемов данных пирамид

VSABC						1	SO SABC											SSAC			SABC
						3																.
VS1A1B1C1D1					S1O1 SA B C D											SA1S1D1					SA1B1C1D1
				1
	3
										1	1	1	1
Таким образом,
		VSABC									SSAC SABC									,
	VS A B C D									SA S D				SA B C D
	1			1		1	1	1			1	1	1	1			1	1	1

что и требовалось доказать.

Замечание. Приведенное доказательство не зависит от того, какие многоугольники лежат в основании пирамид. Если же ребра равных двугранных углов в рассматриваемых пирамидах не равны между собой, то отношение объёмов этих пирамид прямо пропорционально произведениям площадей граней, образующих эти углы, и обратно пропорционально длинам их ребер, т. е.

VSABC					SASB SABC								A1D1	.
VS AC D					SAS D			SABC D					AC
1	1	1	1		1	1	1	1	1	1	1

Кроме того, справедливы следующие теоремы.

16.Если в пирамиде провести секущую плоскость параллельно основанию, то она отсечет от нее другую пирамиду,

подобную данной (докажите самостоятельно).

17.Поверхности подобных многогранников относятся как квадраты сходственных линейных элементов многогран-

ников (докажите самостоятельно).

18.Объёмы подобных многогранников относятся как кубы сходственных линейных элементов этих многогранников

(докажите самостоятельно).

19.Квадраты объемов подобных многогранников относятся как кубы площадей сходственных граней (докажите са-

мостоятельно).

20.Плоскости BDC1 и B1D1A перпен-

дикулярны диагонали A1C куба

ABCDA1B1C1D1 и делят ее на три равные части.

04.12.2012

98

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

Доказательство. 1. Так как AB1 ||DC1

и AD1 ||BC1 , то плоскости BDC1 и B1D1A

(см. рис. 161).

2. Достаточно доказать перпендикулярность прямой A1C, содержащей диа-

гональ куба, к одной плоскости BDC1 .

	B1
A1	C1
	D1
E
B	F
A	C
	D

Рис. 161

Так как диагонали BD и АС в квадрате ABCD взаимно перпендикулярны и АС является проекцией A1C на плоскость ABC, то по теореме о трех перпендикулярах A1C BD. Аналогично A1C DC1 .

Следовательно, A1C BDC1.

3. Для куба с ребром а диагональ

A1C a3, а расстояние от точки C до

плоскости BDC1 равно a 3 (см. пример

3

16). Аналогично расстояние от точки A1

до плоскости B D A равно		a 3	. Значит,
1	1	3

диагональ куба делится указанными плоскостями на три равные части.

21. Сечение, проходящее через диагональ параллелепипеда, делит его противоположные ребра, пересекаемые плоскостью сечения, в обратном отношении, считая от любой грани, из которой выходят эти ребра, а сам параллелепипед – на два равновеликих многогранника.

Доказательство. Рассмотрим общий случай наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 (см. рис. 162). Пусть се-

чение проходит через диагональ AC1 и

пересекает ребра BB1	и CC1 в точках N и
М соответственно. Сечение, содержащее
04.12.2012	99

AC1 , всегда будет являться параллелограммом, поскольку в сечении получается четырехугольник, противоположные пары сторон которого параллельны (по свойству параллельных плоскостей, пересекаемых плоскостью). При этом точка пересечения диагоналей параллелограмма совпадает с центром параллелепипеда.

C1

D1

B1

M1

NC A1 M

N1

D

B

A

Рис. 162

Если точка N совпадает с одной из точек B или B1 (следовательно, точка М с

одной из точек D1 или D соответственно), то получается диагональное сечение, разбивающее параллелепипед на две равные призмы.

Пусть, точка N не совпадает ни с од-

ной из точек B или		B1. Так как
C1M || AN , то из равенства треугольников
C1D1M и ABN следует,	что D1M BN .
Отсюда MD NB . Тогда		DM		B1N	.
1		MD1 NB
Заметим, что секущая плоскость раз-

бивает параллелепипед на два много-

гранника C1MDCNAB и ANB1A1MC1D1 ,

которые симметричны относительно центра параллелепипеда. Из следующего соответствия вершин первого и второго

многогранников	D B1,	M N,
A C1, C A1,	B D1,	N M,

C1 A следует, что они равны. Следовательно, они имеют равные объёмы.

В случае пересечения секущей плоскостью ребер A1D1 или B1A1 доказательство проводится аналогично.

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.
																											Ответы и указания
																																																																																																												62.			arccos														6						2								.				63.													а)														2								;				б)									1					.
																				78																																																																																																										13																																												4																					4
1. 3. 2.																															. 3. 5. 4. а) 4; б) 2																																																		5; в)									14 .
																																																																																																																											2								3																																		1															3									10
															10
																																																																																																												64. 2arcsin																																или arccos																																			.	65.																											.
5. 2. 6.																	307																		.			7. а)																						6				; б)																	6				; в)							6								.																											5																																						25																						20
																																																																																																																																																				2							2																																				9
															3																																											2																																3
																																																																						3																																						66.	0,7.								67.											2arcsin																																				или															arccos																								.
																																																																																																																																																						5
		14																											4 5																														95																																																																																																																																				25
8.																											. 9.											. 10.																													. 11. а)																			3; б) 2;
																																																																																																																																													2																																																10
		4
																																5													10																																																															68.	0,75.														69.																				.							70.												90 .														71.																											.
																																																																																																																																			4																																																										4
в)									7							; г)																					2 5											; д)																						14									; е)											39															;
																																																																																																														5																																																										1																							2
		2																																																																				4																				4
																																						5																																																																						72.									. 73.										0,9.														74.												arccos																						;					arccos																							.
																																																																																																													5																																																											6																							3
ж)					30																									з)								30														. 12. 14. 13.
																			;																																																																							31.
																																																																																																																											1																																										6
																																						4
		5																																																																																																										75.																			.				76.																arccos																									.				77.														90 .
																																																																																																														arccos
																																																																																																																																																																					6
14.																												15.																	30												. 16. 8. 17.																																		6																																6
		21.																																																																																																.
																																																																																																																											3				5																												1																																				1
																																													4																																													3																		78.																																	79.																								80.
																																																																																																														arcsin																										.																							.																					arccos																							.
																																																																																																																														7																													6																																				4
18.						46																						19.																	2													20.																								21.								39
																					.																												.																					3.																																					.
																																																																																																																					3																											1																																													10
		4																																											3																																													4																		81.											.								82.																					.							83.																				arccos																												.
																																																																																																													4																																		4																																														4
22.							42															.						23.																	3					. 24. 1. 25.																																				12				93													.
																																																																																																																											3																																													2																						2
		4																																					3																																															31																						84.	arcsin																			.			85.												30 .												86.																																		. 87.										.
																																																																																																																											3																																													2																							2
26.								1		.					27.																							3		.					28.																			6						7				.						29.							3			13						.
																																																																																																															10																																15																																														10
		3																														3																																7																										13																		88.													.						89.																										.						90.																arcsin																			.
																																																																																																													10																																		15																																												10
30.																2											.											31.																				2.												32.																							23								.
																																																																																																																													2		2																																										24																							3
															4																																																																											2																		91.		arcsin																											.				92.													arcsin																									.	93.																						.
33.																																abc																																.						Указание.																							Ис-																																	5																																										85																							5
																																																																																																													1																																							5 37																																											3
												b2c2 a2c2 a2b2																																																																																																94.									.						95.									arcsin																														.			96.													arcsin																									.
пользовать уравнение плоскости в отрез-																																																																																		74																	7
																																																																10
ках. 34. 2. 35. 2,4. 36.																																																																		2			.					37.													3	41
																																																																																																						97.			15															98.																													99.																																		100.
																																																																																																																		.																					6				6 .																									10										2 .
		5													39																															3																								1																							21
38.																								.				39.																							.							40.																					.			41.																					.						10
		139																																				3																																6																				7												arcsin										31							.		101.															arcsin														2							26								.						102.													15											.
42.		3 37																					.					43.										3								. 44.																		3							. 45.														36					259							.												31																																																		13																														10
																																																																																																																																																	5																																												1
		37																																				2																										5																						259																						103.									51					.				104.																									.				105.																arcsin																								.
									46. 2					7. 47. 3 11. Указание. Рассмот-																																																																	34																																		5																																												151
реть отрезок, концами которого являются																																																																106.													arctg													21							.														107.																									arctg											5							.
середины																												рёбер																				AC																и							BD.											48.										6							.																																40																																																										48
																																																																																												3																108.									arcsin																		69						.									109.																				arcsin													2								67										.
																																																																																																																																			16
49.									3						46															.		50.																						60										3								.								51.										15																.																																																																																	67
																																																																																																																											16																														3																																		3				2
															239																																											4963																																15																		110.			arctg																.				111.																									.						112.																arctg																									.
																																																																																																																																																						3																																							7
																																																																																																																											15
52.																arccos																						2				.																53.																						arccos										15														.
																																																																																																																2																															5																											5
																																						5
																																																																																										15																		113.										.					114.																									.		115.																										.				116.																								.
																																																																																																													3																																		7																									5																							3
54. arccos																									2							30						. 55. 0,8. 56.																																										5			. 57. 60 .
																																																																																																													5																						2
																												15																																										5
58. На три части в отношении 1:1:1.																																																																117.									. 118.																										. 119. 120 .																																			120. 120 .
																																																																	2
																																																																																							4
59. 60 . 60.																																			60 . 61.																									arccos sin sin .
																																																																																																												121.			arccos														2						2									.	122.														3							2					.								123.											2					2						.
																																																																																																																															3																																2
																																																																																																																																																																																													3
04.12.2012																																																																																																												100

www.alexlarin.net