Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

C22013

.pdf
Скачиваний:
103
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
2.58 Mб
Скачать

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

Тренировочные упражнения

84. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1

найдите угол между прямой А1B1 и плос-

костью BDC1 .

85. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой 1 и плоскостью

ABC1.

86. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой AA1 и плос-

костью BC1D .

87. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой AC1 и плос-

костью BCC1 .

88. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E

середина ребра A1В1 . Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью

ВDD1.

89. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E

середина ребра A1В1 . Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью

ВDC1 .

90. (ЕГЭ, 2012). В прямоугольном па-

раллелепипеде

ABCDA1B1C1D1 , AB 2,

AD AA1 1.

Найдите угол между пря-

мой AB1 и плоскостью ABC1 .

91. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью AA1C и прямой A1В, если

AA1 3, AB 4, BC 4.

92. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью A1BC и прямой BC1, если

AA1 8, AB 6, BC 15.

93. В прямоугольном параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1 , у которого AA1 4,

A1D1 6, C1D1 6 найдите тангенс угла между плоскостью ADD1 и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и B1C1.

94. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , у которого AB 4,

BC 6, CC1 4 найдите тангенс угла между плоскостью АВС и прямой EF,

04.12.2012

41

проходящей через середины ребер AA1 и

C1D1 .

95. (ЕГЭ, 2011). В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 , сто-

роны основания которой равны 5, а боковые рёбра 7, найдите угол между прямой AB1 и плоскостью BDD1 .

96. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все стороны которой равны,

найдите угол между прямой AA1 и плос-

костью ABС1 .

97. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все рёбра которой равны 1,

точка D середина ребра A1В1 . Найдите синус угла между прямой AD и плоскостью BСC1 .

98. В основании прямой призмы MNKM1N1K1 лежит прямоугольный треугольник MNK, у которого угол N равен 90 , угол M равен 60 , NK 18. Диагональ боковой грани M1N составляет угол 30 с плоскостью MM1K1 . Найдите высоту призмы.

99. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник АВС, в котором угол С равен

90 , угол А равен 30 , AC 103 . Диагональ боковой грани B1C составляет угол 30 с плоскостью AA1B1 . Найдите высоту призмы.

100. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания равна 3, а высота равна 1. Найдите угол между прямой F1B1 и плоско-

стью AF1C1 .

101. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , все рёбра которой равны 1, найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ACE1.

102. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , все рёбра которой равны 1, точка G – середина ребра A1В1 . Найдите синус угла между прямой AG и плоскостью BСС1 .

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

103. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , все рёбра которой равны 1, точка G – середина ребра C1D1 . Найдите синус угла между пря-

мой AG и плоскостью BСС1 .

104. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , все рёбра которой равны 1, точка G – середина ребра A1В1 . Найдите синус угла между пря-

мой AG и плоскостью BDD1.

105. (МИОО). В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания равна 7, а высота равна 1. Найдите угол между прямой F1B1 и

плоскостью AF1C1 .

106. (ЕГЭ, 2010). В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием

ABC известны ребра: AB 203 , SC 29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС.

107. (ЕГЭ, 2010). В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием

ABC известны

рёбра:

AB 12 3 ,

SC 13. Найдите

угол,

образованный

плоскостью основания и

прямой AM ,

где M точка пересечения медиан грани

SBC .

108.В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Найдите угол между плоскостью BSC и прямой MN, где точка N – середина ребра AC, а точка M лежит на ребре SB так, что BM 1.

109.Дана правильная треугольная пирамиде ABCD, сторона основания и вы-

сота которой равны 63 и 4 соответственно. Найдите угол между прямой EF и плоскостью основания ABC, если F середина ребра DB, а E лежит на AD так,

что AE : ED 3:1.

110. (МИОО). В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием

ABC сторона основания равна 63, а боковое ребро равно 10. Найдите угол между плоскостью АВС и прямой МN, где

04.12.2012

42

точка N – середина ребра АС, а точка М делит ребро BS так, что BM : MS 2:1.

111.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD.

112.(ЕГЭ, 2011). В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, в которой AB 3, SA 7, точка E середина ребра SB . Найдите угол между прямой CE

иплоскостью SBD.

113.В правильной четырехугольной пирамиде MABCD , все ребра которой равны 1, точка E середина ребра MC. Найдите синус угла между прямой DE и плоскостью AMB .

114.В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF, стороны основания

которой равны 1, а боковые рёбра равны 4, найдите синус угла между прямой BC

иплоскостью EMD.

115.В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, боковые рёбра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF.

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

1.7.Угол между плоскостями

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0 , 180 ).

Величина угла между пересекающими-

ся плоскостями принадлежит проме-

жутку (0 , 90 ].

Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0 .

Построение линейного угла двугранного угла или поэтапновычислительный метод

Рассматриваемый метод позволяет находить поэтапно искомый угол при решении известных задач, к которым сводится данная задача. Перечислим типы этих задач, связанных с нахождением угла:

между пересекающимися прямыми a

иb, лежащими в рассматриваемых плоскостях и перпендикулярными их линии пересечения (см. рис. 63);

ствующий линейный угол строится с помощью двух перпендикуляров a и b, проведенных в указанных плоскостях к прямой их пересечения, а его величина в дальнейшем находится либо из некоторого прямоугольного треугольника, либо из некоторого треугольника с применением теоремы косинусов.

Пример 54. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все рёбра которой равны 1, найти двугранный угол между основанием и боковой гранью.

Решение. Пусть E и K – середины ребер AD и BC соответственно, О – центр основания ABCD (см. рис. 64). Тогда SE AD, EK AD и поэтомуSEK – линейный угол данного двугранного угла.

Так как AD 1, OE 1 , SD 1, то

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

3

SE

SD2 ED2

 

2

 

 

 

 

OE

 

4

 

 

 

 

 

cos

 

1

 

, arccos

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SE

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

S

c

A

Рис. 63

между прямыми, параллельными прямым a и b или между b и прямой, параллельной a;

между плоскостями, параллельными данным плоскостям и или между

и плоскостью, параллельной ;

между перпендикулярами к данным плоскостям.

Решение задачи этим методом сводится непосредственно к построению линейного угла двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями и, и вычислению его значения. Соответ-

04.12.2012

43

BKC

AO

E

D

Рис. 64

Ответ: arccos 1 . 3

Пример 55. В правильной шестиугольной пирамиде, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найти косинусы двугранных углов при основании и при боковом ребре.

Решение. Рассмотрим пирамиду MABCDEF. Поскольку пирамида правильная, то равны все ее двугранные углы при основании и равны все углы между любыми ее смежными боковыми гранями. Найдем, например, угол между

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

плоскостью основания и боковой гранью MAF и угол между боковыми гранями

FME и MDE (см. рис. 65).

M

C D N

K

B E

O

A L F

Рис. 65

Прямая AF – ребро двугранного угла MAFЕ. Пусть O – центр основания, тогда MO – высота пирамиды. Пусть L – середина отрезка AF, тогда ML – апофема грани AMF,

 

 

4

1

 

15

.

ML

AM2 AL2

 

 

 

4

2

 

По теореме о трех перпендикулярах прямая LO перпендикулярна AF. Следовательно, MLO – линейный угол дву-

гранного угла MAFB. LO 3, так как

2

является высотой равностороннего треугольника AOF со стороной 1. Из прямоугольного треугольника LMO находим

cos MLO

LO

 

3

 

2

 

 

1

 

.

 

2

 

 

 

 

 

 

 

ML

 

15

5

 

 

Прямая ME – ребро двугранного угла FMED. В треугольниках FME и MDЕ проведём высоты к стороне ME из точек F и D соответственно. ПосколькуFME DME , то эти высоты «сойдутся» в одной точке N. Следовательно,DNF – линейный угол двугранного уг-

ла FMED.

Из равенства треугольников FME и MDЕ следует равенство высот FN и DN. Найдем FN. Для этого вычислим площадь треугольника FME. Поскольку апофема

04.12.2012

44

грани

 

FME

равна ML

15

,

SFME

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

15

 

1

 

15

 

, то высота FN, опущен-

 

 

2

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ная на ME, равна:

FN 2SFME 15 .

ME 4

Далее, рассмотрим равнобедренный треугольник FDN. В нем FD 2LO 3. Косинус угла DNF можно найти, воспользовавшись теоремой косинусов для стороны DF:

cos FND FN2 DN2 FD2 3 .

2 FN DN

5

Таким образом, искомые косинусы двугранных углов при основании и при

боковом ребре равны

1

 

и

3

 

соответ-

 

 

 

 

 

5

5

 

 

 

 

 

 

ственно.

 

 

 

 

1

 

 

3

 

Ответ:

 

 

и

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

 

Так как в подобных телах соответствующие углы равны, а линейные элементы (стороны, высоты, медианы и т.п.) пропорциональны, то при вычислении углов в какой-либо конфигурации (обычно в треугольнике) важно учитывать лишь отношение длин соответствующих отрезков. Поэтому, если все линейные элементы конфигурации зависят от одного параметра, то можно принимать значение этого параметра равным какомунибудь числу. В частности, в кубе при нахождении угловых величин часто полагают длину его ребра равным единице.

Пример 56. В кубе ABCDABC1 1 1D1

найти угол между плоскостями сечений

ABC1 1D и CB1AD1 .

Решение. Пусть ребро куба равно 1. Прямая B1D – линия пересечения плос-

костей сечений ABC1 1D и CB1AD1 , так как B1 и D – их общие точки (см. рис. 66).

В прямоугольных треугольниках B1AD1 и

BC1 1D проведем высоты к гипотенузе

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

B1D из точек A1 и C1 соответственно.

Поскольку треугольники B1A1D и B1C1D

равны, то эти высоты «сойдутся» в одной точке N. Следовательно, A1NC1 – ли-

нейный угол двугранного угла A1B1DC1 .

B1 C1

A1D1

N

B

C

A D

Рис. 66

Поскольку прямоугольные треугольники B1A1D и B1C1D равны, то равны и высоты A1N и C1N , опущенные на гипоте-

нузу B1D. Длины указанных высот можно

найти, например, через площадь любого из этих треугольников:

A1N C1N 2 . 3

Далее, рассмотрим равнобедренный

треугольник AC1 1N . В нем AC 2 .

1 1

Найдём угол A1NC1, воспользовавшись теоремой косинусов для стороны AC1 1 :

cos ANC

 

AN2 C N2 AC2

1

 

 

 

1

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2 A1N C1N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда A1NC1 2 . 3

Следовательно, искомый угол между плоскостями сечений A1B1D и B1C1D ра-

вен . 3

Ответ: . 3

04.12.2012

Пример 57. В правильной треугольной призме ABCABC1 1 1 боковое ребро равно b,

а сторона основания a. Найти косинус угла между плоскостями ABC1 и ABC1 1 .

Решение. Построим линию пересечения

плоскостей ABC и ABC (см. рис.67).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Диагонали

AC1

 

 

M

 

 

B1

 

 

 

 

 

и A1C в боковой

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1

грани

AAC C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

призмы

пересе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

каются в точке D

 

 

 

 

 

D

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

делятся

этой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точкой пополам.

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

C

Аналогично,

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

диагонали BC1 и

 

 

 

Рис. 67

 

 

 

B1C в боковой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

грани BB1C1C призмы пересекаются

в

 

точке E и также делятся этой точкой по-

 

полам. Точки D и E – общие точки плос-

 

костей ABC и ABC, поэтому прямая DE

 

 

 

1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является линией их пересечения. Кроме

 

того, отрезок DE является средней линией

 

равнобедренных треугольников

 

ABC1

и

 

ABC, а значит, DE || AB и DE ||

A B .

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

Рассмотрим

равнобедренные

тре-

 

угольники C1DE и CDE.

Они равны по

 

трем сторонам. Проведем в этих тре-

 

угольниках медианы C1N и CN к общему

 

основанию

DE.

 

Тогда

C1N DE

и

 

CN DE . Следовательно,

C1NC – ли-

 

нейный угол двугранного угла C1DEC .

 

 

 

 

Найдем теперь косинус угла C1NC. С

 

этой целью рассмотрим равнобедренный

 

треугольник C1NC. В

нем

C1N

 

CN

CM

 

 

CB12 MB12

 

 

 

 

 

3a2

4b2

 

,

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CC1 b. Воспользовавшись теоремой ко-

 

синусов для стороны CC1 , получим:

 

 

 

cos C NC

C N2

CN2 CC

2

 

 

3a2 4b2

.

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3a2 4b2

 

1

 

 

 

2 C N CN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В рассматриваемом примере требуется найти косинус угла между плоскостя-

ми ABC1 и ABC1 1 . Встает закономерный вопрос. Нашли ли мы косинус того угла,

45

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

который требуется в условии, или же нам необходим косинус смежного с ним угла C1NM (кстати, на рис. 67 через обозначена величина именно этого угла)? На этот вопрос можно ответить следующим образом. Согласно определению угла между плоскостями, его величина может

быть в пределах от 0 до , т.е. косинус

2

такого угла должен быть положитель-

ным. Поэтому, если

3a2 4b2 0,

то

cos cos C NC

3a2

4b2

, если

же

 

 

1

3a2 4b2

 

 

 

 

 

3a2 4b2 0, то

4b2 3a2 cos cos C1NM 3a2 4b2

(поскольку косинусы смежных углов равны по абсолютной величине и противоположны по знаку). Таким образом,

|3a2 4b2 |

окончательно: cos 3a2 4b2 .

|3a2 4b2 |

Ответ: 3a2 4b2 .

Метод параллельных прямых

В некоторых задачах построение линейного угла затруднительно. И тогда вместо линейного угла можно рассмотреть угол с соответственно параллельными сторонами по отношению к линейному углу.

Пример 58. В кубе ABCDABC1 1 1D1 с

ребром, равным a, через точки M на реб-

ре BB и N на DD такие, что BM

3a

 

1

1

4

 

 

и DN a , параллельно AC проведена се-

4

кущая плоскость. Определить угол между секущей плоскостью и плоскостью

ABC.

Решение. Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точки M и

Nпараллельно AC (см. рис. 68).

Сэтой целью рассмотрим диагональ-

ную плоскость AA1C1 . Соединим точки M

и N, тогда AA1C1 MN O , где точка O

04.12.2012

46

середина отрезка MN. Поскольку, согласно условию, секущая плоскость параллельна AC, то прямая l ее пересечения с плоскостью AA1C1 также будет параллельна AC. Поэтому проведем через точку O прямую QP (QP || AC). Соединив последовательно отрезками точки Q, M, P и N, получим сечение QMPN. Так как секущая плоскость пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым, то четырехугольник QMPN является параллелограммом.

B1

C1

A1 M D1

P

K

O

 

Q

 

B

C

 

N

A D

Рис. 68

В квадрате ABCD диагонали перпендикулярны ( BD AC ), значит, BD l .

Проведем в плоскости BDD1 прямую KN, параллельную BD. Тогда KN l . Прямая BD является проекцией наклонной MN на плоскость АВС, поэтому по теореме о трех перпендикулярах MN l. Прямая MN лежит в плоскости MPNQ, а прямая КN параллельна плоскости ABC . Следовательно, угол KNM равен линейному углу искомого двугранного угла (как углы с соответственно параллельными сторонами).

Пусть MNK , тогда

tg MB ND a :a2 2 .

BD

2

4

Ответ: arctg 2 . 4

Метод параллельных плоскостей

В некоторых задачах является эффективным подход, при котором вместо угла между пересекающимися плоскостями и ищется угол между плоскостями, па-

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

раллельными рассматриваемым (или между одной из данных плоскостей и плоскостью, параллельной другой из них).

Пример 59. В кубе ABCDA1B1C1D1

найти угол между плоскостью грани AABB1 1 и плоскостью BC1D.

B1 C1

A1 D1

E

B

C

A D

Рис. 69

Решение. Так как плоскость AAB1 1 па-

раллельна плоскости DDC1 1 , то искомый угол равен углу между плоскостями BC1D и DDC1 1 (см. рис. 69). Диагонали

грани куба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому EC DC1 , где точка E – середина от-

резка DC1. Также BE DC1, как высота

равностороннего треугольника BC1D.

Следовательно, угол BEC есть линейный

угол двугранного угла BDCC.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Треугольник

BEC

 

 

прямоугольный

(BC DDC ) и

BCE прямой. Пусть

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда BC 1,

ребро

куба

 

равно 1,

EC

DC

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

. Следовательно,

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

BC

1:

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EC

2

 

 

 

 

 

Отсюда arctg

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: arctg

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Метод использования перпендикуляров к плоскостям

На рис.

70 прямые l и l лежат в

плоскости и перпендикулярны плоско-

стям и

соответственно. Тогда угол

между ними равен углу между плоско-

04.12.2012

47

стями и . В общем случае прямые l

и l могут быть скрещивающимися.

l

l

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 70

 

Пример

60.

В кубе

ABCDA1B1C1D1

найти угол между плоскостями AB1C и

BC1D .

 

 

 

 

Решение.

Диагональ

куба A1C пер-

пендикулярна плоскости BC1D (см. рис.

71), так как A1C BC1 и A1C DC1 (по теореме о трех перпендикулярах). Аналогично диагональ куба BD1 перпендику-

лярна плоскости AB1C . Таким образом, задача сводится к нахождению острого угла между диагоналями A1C и BD1

прямоугольника BCD1A1 .

B1

C1

A1

D1

O

C

B

AD

Рис. 71

Пусть O – точка пересечения диагоналей и ребро куба равно 1. Тогда

A C BD

 

 

3

. Из тре-

3, OC OB

 

1

1

2

 

 

 

 

угольника ОВС находим

cos BOC OB2 OC2 BC2 1 , 2 OB OC 3

т.е. BOC arccos1. 3

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

Ответ: arccos1 .

 

 

3

Пример 61.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 .

Найти угол между плоскостями AB1C1

и

A1B1C .

 

 

 

Решение. Каждая из прямых AD1

и

CD1 (см. рис. 72) перпендикулярна плос-

костям A1B1C

и AB1C1 соответственно

(докажите самостоятельно).

 

 

 

C1

 

B1

 

D1

 

 

 

 

 

A1

C

 

B

 

D

 

 

 

 

 

A

 

 

 

Рис. 72

 

Поэтому величина искомого угла рав-

на величине угла между прямыми AD1

и

CD1 . Так как треугольник AD1C – равно-

сторонний, то получаем ответ: . 3

Ответ: . 3

Пример 62. (МИОО, 2010). Дана пря-

мая четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1 , в основании которой лежит прямоугольник ABCD, в котором

AB 5, AD 33 . Через середину ребра CD проведена плоскость перпендикулярно прямой B1D. Найти тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью грани AA1D1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно 3.

Решение. Так как прямая B1D перпендикулярна проведенной плоскости (на рис. 73 эта плоскость изображена условно), а прямая CD AA1D1 (CD D1D так

как призма и CD AD так как

ABCD

прямоугольник), то угол между рассмат-

риваемыми плоскостями равен углу меж-

ду прямыми B1D и CD.

 

04.12.2012

48

Тангенс этого угла найдем из прямоугольного треугольника CB1D

(CD AA1D1, следовательно CD B1C). Так как скрещивающиеся прямые A1C1 и BD лежат в параллельных плоскостях, то расстояние между ними равно расстоянию между этими плоскостями. Значит высота и боковое ребро призмы равны

 

 

 

BC2 BB

2

 

 

3. Тогда BC

6 и ис-

1

1

 

комый тангенс равен

B1C

 

6

 

1,2.

 

 

 

 

 

 

CD 5

 

 

C1

B1D1

A1

C

BD

A

Рис. 73

Ответ: 1,2.

Метод опорных задач

При решении задач этого типа можно

воспользоваться

 

 

опорными

задачами

№ 2, 4, 6 (глава 3 п. 3.4).

 

Применение «теоремы косинусов

для трехгранного угла»

 

Пример 63. В правильной треугольной

призме ABCABC

все рёбра

равны 1.

1

1

1

 

 

Найти косинус угла между плоскостями

ABC и ABC.

 

B1

C1

1

 

1

1

 

Решение.

Рас-

 

A1

смотрим

трехгран-

 

 

ный угол при вер-

 

 

 

шине B1

пирамиды

 

D

AACB . Обозначим

 

B

C

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

через

 

 

плоский

 

A

угол

двугранного

 

угла

ABCA

(см.

 

Рис. 74

 

 

1

1

 

 

 

рис. 74). Найдем значения синусов и косинусов плоских углов при вершине B1.

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

Грань ABB1A1 – квадрат, поэтому

cos AB A

 

2

 

. В треугольнике

 

ABC

2

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

AC 1,

AB1 B1C

 

 

 

 

 

. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ABC

 

AB2

 

BC2 AC

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2 AB1 B1C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 1

 

3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

sin ABC

1

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

треугольнике

 

 

 

 

 

 

B AC

 

 

 

 

 

 

B A 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

AC BC

 

. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos CB1A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2 1 2

 

 

 

1

 

 

 

BC B A1 AC

 

 

 

 

 

 

,

1

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 BC B A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

2

1

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

sin CB A

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя теорему косинусов для трехгранного угла (опорная задача 2) при вершине B1, получим

cos

cos AB1A1 cos AB1C cos CB1A1 5.

sin AB1C sin CB1A1

7

Ответ: 5/7.

Применение теоремы «о трех синусах»

Пусть в одной из граней двугранного угла, величина которого равна , проведена прямая, составляющая с ребром двугранного угла угол (0 /2),

– величина угла между этой прямой и другой гранью. Тогда справедливо следующее соотношение:

sin sin sin .

Доказательство этой формулы приведено в главе 3 п. 3.4, опорная задача №4.

Пример 64. В кубе ABCDA1B1C1D1

найдите угол между плоскостями AB1C и АВС.

Решение. Пусть искомый угол.

Так как B1AC 60 ,

B1AB

04.12.2012

49

45 (см. рис. 75), то по теореме «о трех синусах» имеем:

sin45 sin sin60 ,

sin 2 : 3 2 . 2 2 3

Отсюда arcsin 2 . 3

Ответ: arcsin 2 . 3

B1 C1

A1

D1

B

C

A D

Рис. 75

Пример 65. Диагональ A1C куба

ABCDA1B1C1D1 служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через B1 и D1. Найти величину этого угла.

Решение. Будем считать куб единичным. Пусть Е – середина отрезка A1D, тогда из треугольника A1D1E получаем

sin sin

 

 

2

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( – угол между прямой

A1D1

 

и плоско-

стью A1B1C ) (см. рис. 76).

 

 

 

 

 

Из треугольника A1D1C находим

 

CD1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

2

 

 

2

,

 

 

 

 

 

 

3

 

CA1

3

 

 

 

 

где – угол между прямой

 

A1D1 и реб-

ром A1C двугранного угла. Далее имеем

 

2

sin

 

2

,

A1

2

3

D1

 

 

 

 

 

 

sin

 

3

 

.

 

 

 

E

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как точка

A

Е (проекция точ-

ки D1

на

плос-

D

B1

C1

B

C

кость

A1B1C )

Рис. 76

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

расположена вне искомого двугранного

угла, то 2 . 3

Ответ: 2 . 3

Использование расстояний от точки до плоскости и до прямой

Решение задач этого пункта основано на применении таких понятий, как расстояние от точки до прямой и расстояние от точки до плоскости.

M

Рис. 77

Пусть даны две плоскости и (см. рис. 77), пересекающиеся по прямой l. Если известны расстояния от точки М, лежащей в плоскости , до плоскости и до прямой l, то угол между плоскостями и можно вычислить, используя

формулу

 

sin ( , )

(M, )

,

(7)

 

 

(M,l)

 

где (M, ) – расстояние от точки М до

плоскости , M,l – расстояние от

точки М до прямой l.

Пример 66. В кубе ABCDA1B1C1D1

найти угол между плоскостями AB1C и A1B1C .

B1 C1

A1 D1

B C

A D

Рис. 78

04.12.2012

Решение. Пусть сторона куба равна 1. Плоскости AB1C и A1B1C пересекаются по прямой B1C (см. рис. 78). Расстояние от точки А, принадлежащей плоскости AB1C , до прямой B1C равно длине высо-

ты равностороннего треугольника AB1C

со стороной

 

, т.е.

 

 

3

 

6

. Рас-

2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

стояние от точки А до плоскости A1B1C равно половине диагонали квадрата, т.е.

2 . По формуле (7) имеем

2

sin (ABC, ABC)

2

:

6

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

2

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда искомый угол равен arcsin

 

 

 

1

.

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: arcsin

 

 

 

.

 

 

 

 

1/3

Замечание. В зависимости от способа решения ответ может быть записан в разной

форме: arcsin

1

, arccos

2

или arctg

1

.

 

3

2

3

 

 

 

Использование теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника

При применении этого метода угол между плоскостями и можно вычислить, используя формулу

 

 

cos

Sпр

,

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

где S

– площадь многоугольника, лежа-

 

щего в плоскости , Sпр – площадь его

 

ортогональной проекции на плоскость .

 

Пример

67. В

кубе

ABCDA1B1C1D1

 

найти угол между плоскостью грани

 

AA1B1B и плоскостью BC1D.

 

Решение. Пусть ребро куба равно 1.

 

Ортогональной

 

 

 

B1

C1

проекцией

тре-

A1

D1

 

угольника

BC D

 

 

 

1

 

 

 

 

 

на

плоскость

 

 

 

 

 

AA1B1

является

 

 

 

B

C

треугольник

 

 

 

 

AB1B

(см.

рис.

A

D

 

79), площадь ко-

 

 

 

Рис. 79

 

 

 

 

 

 

 

 

50

www.alexlarin.net

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]