Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

C22013

.pdf
Скачиваний:
103
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
2.58 Mб
Скачать

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

Тренировочные упражнения

151. (ЕГЭ, 2012). Точка E середина ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1 . Найдите площадь сечения куба плоскостью C1DE, если рёбра куба равны 2.

152. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Через точки A, B1 и середину ребра CC1 проведена секущая плоскость. Найдите площадь полной поверхности куба, если площадь сечения равна 36.

153.Куб, ребро которого равно а, пересекается плоскостью, проходящей через его диагональ. Какую наименьшую площадь может иметь сечение и при каком угле наклона плоскости сечения к плоскости основания это достигается?

154.Прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны a, b, c, пересекается плоскостью, проходящей через его диагональ. Какую наименьшую площадь может иметь сечение, если a b c?

155.В прямоугольном параллелепипе-

де ABCDA1B1C1D1 AB BC a, BB1 b

(b a). Через вершину A перпендику-

лярно диагонали BD1 проведена плоскость. Найдите площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью.

156.Сечение плоскостью прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием есть ромб с острым углом . Определите, под каким углом пересекает эта плоскость боковые ребра параллелепипеда?

157.Определите объём прямоугольного параллелепипеда, площади граней ко-

торого равны Q1, Q2 и Q3 .

158. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. На его боковых рёб-

рах AA1 и BB1 лежат точки M и P соот-

ветственно так,

что AM :MA1

8:11,

B1P: PB 2:1.

Во сколько раз

объём

данного параллелепипеда больше объёма

пирамиды с вершиной в точке P , основанием которой является сечение данного параллелепипеда плоскостью BMD1?

159. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. На его боковых рёб-

04.12.2012 81

рах AA1 и BB1 лежат точки M и P соот-

ветственно так,

что AM :MA1

7:5,

B1P: PB 4:3.

Во сколько раз

объём

данного параллелепипеда больше объёма пирамиды с вершиной в точке P, основанием которой является сечение данного параллелепипеда плоскостью BMD1?

160. Ребра AB и AD основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 9 и 4. На боковых ребрах AA1 и BB1 , равных 11, лежат точки M и P соответственно так, что AM : MA1 3:4, B1P: PB 8:3.

Найдите объём пирамиды с вершиной в точке P , основанием которой является сечение данного параллелепипеда плоскостью BMD1.

161.Каждое ребро правильной треугольной призмы равно a. Через сторону основания и середину оси (ось – отрезок, соединяющий центры оснований) проведена плоскость. Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью.

162.Основание прямой призмы ABCA1B1C1 – треугольник АВС, в кото-

ром C 90 , BC 6,

AC 8.

Угол

между плоскостями АВС и ABC1

равен

45 . Найдите площадь боковой поверхности призмы.

163.Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб с диагоналями 6 и 8. Найдите площадь полной поверхности призмы, если известно, что диагональ ее боковой грани равна 13.

164.Наклонная призма ABCDA1B1C1D1 имеет своими основаниями трапеции ABCD и A1B1C1D1 . Сумма площадей па-

раллельных боковых граней призмы равна S , а расстояние между этими гранями равно d . Найдите объём многогранника

A1B1C1D1AC .

165. Основание пирамиды ABCD – прямоугольный треугольник с гипотену-

зой AB , равной 230 . CD – высота пирамиды, боковые ребра AD и BD наклонены к плоскости основания под углами

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

30 и 60 соответственно. Найдите объём пирамиды.

166. В основании первой пирамиды DABC лежит треугольник ABC, в кото-

ром C 45 , BC 62 , AC 18. Боковое ребро AD перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра DB параллельно прямым BC и AD, является основанием второй пирамиды. Ее вершина T – основание высоты BT треугольника ABC. Во сколько раз объём первой пирамиды больше объема второй пирамиды?

167. В основании пирамиды DABC лежит треугольник ABC, в котором

C 30 ,

AC 20, BC

8

 

. Боковое

 

 

 

 

 

3

 

 

ребро AD равно 6

 

и перпендикулярно

3

плоскости

ABC.

Сечение

 

пирамиды

плоскостью, проходящей через середину ребра DB параллельно прямым BC и AD, является основанием второй пирамиды. Ее вершина T – основание высоты BT треугольника ABC. Найдите объём

второй пирамиды.

 

 

168. В

основании

пирамиды

DABCлежит треугольник

 

ABC, в кото-

ром C 60 ,

BC 8,

AC 14. Боко-

вые грани DAC и DAB перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а

ребро AD равно 43. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра DB параллельно прямым BC и AD, является основанием второй пирамиды, вершина которой в точке C . Найдите объём второй пирамиды.

169.Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45 , а угол между одним из них и гипотенузой основания равен 60 . Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через гипотенузу основания, если гипотенуза основания пирамиды равна d ?

170.Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Точка F делит ребро

04.12.2012

82

SC в отношении 1:2 (считая от точки S), точка E – середина ребра ВС. Найдите, в каком отношении делит объём пирамиды плоскость DEF .

171. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB ос-

нования равна 6, а боковое ребро AA1

равно 12. Через вершины A и C1 призмы проведена плоскость, пересекающая боковое ребро BB1 в точке K , а боковое ребро DD1 в точке L. Найдите объём пи-

рамиды A1AKC1L.

172. Основание пирамиды MABCD

квадрат, диагональ которого равна 6 . Ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, а угол между плоскостями АВС и AMD равен 60 . Найдите объём пирамиды.

173. В основании пирамиды SABCD лежит ромб ABCD , сторона которого равна 12, а диагональ DB 6. Высота пирамиды SO проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 313 . Точки E и F лежат на рёбрах AD и AB соответственно, причем AE 4, FB 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E ,

Fи параллельной ребру SC .

174.(МИОО, 2012). В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.

175.(МИОО, 2012). В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S . Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6, а сторона основания равна 4.

176.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна a , боковое ребро b. Через середины двух смежных сторон основания проведено сечение параллельно пересекающему их боковому ребру. Найдите площадь сечения.

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

Глава 3. Дополнения

3.1. Методы построения сечения многогранника плоскостью

Следом плоскости на плоскости

называют прямую, по которой плоскостьпересекает плоскость .

Следом прямой l на плоскости на-

зывают точку пересечения прямой с плоскостью .

Опорная задача. Найти точку пересечения данной прямой AB с плоскостью( AB не параллельна ).

Решение. Задача имеет решение в случае, если возможно построить параллельную или центральную проекцию данной прямой AB на плоскость . В первом (см. рис. 124а) и во втором (см. рис. 124б) случае строятся проекции прямой на плоскость. Так как прямая AB и ее проекции лежат в одной плоскости (образованной: в первом случае параллельными прямыми AA1 и BB1 , во втором – пересекающимися прямыми SA и SB ), то точка их пересечения M и есть искомая.

 

 

 

S

 

A

 

A

 

B

M

B

A1

B1

B1

A1

 

 

 

 

аб

Рис. 124

Пример 109. Построить след прямой B1M на грани куба DD1C1C (см. рис. 125а).

Решение. Прямая BM – параллельная проекция (параллельно боковому ребру куба) прямой B1M на плоскость основания (см. рис. 125б). Точка N – точка пересечения прямых BM и DC. Эта точка является проекцией точки пересечения прямой B1M с гранью DD1C1C . Через точку N проводим прямую NP, параллельную боковому ребру. Она принадлежит плоскости грани DD1C1 и пересечет

04.12.2012

прямую B1M в точке Q, поскольку они лежат в одной плоскости BB1M . Следовательно, точка Q – искомая.

Сечение многогранника плоскостью

многоугольник, представляющий собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данному многограннику и плоскости, плоскость при этом называется секущей плоскостью.

 

B1

B1

 

 

A1

C1 A1

D1

P

C1

 

D1

 

 

 

 

 

B

B

Q

 

A

A

 

 

C

 

 

N

 

M

D

M

аб

Рис. 125

Секущая плоскость может быть задана различными способами, например:

а) тремя точками, которые не лежат на одной прямой;

б) прямой и точкой, не лежащей на ней;

в) двумя пересекающимися прямыми; г) некоторыми из указанных выше геометрических элементов в совокупности с различными зависимостями между ними и элементами (гранями, ребрами,

диагоналями и т. д.) многогранника. Построение плоских сечений много-

гранников выполняется на основе соответствующих пространственных аксиом и теорем.

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит построить многоугольник все вершины и стороны, которого – соответственно следы секущей плоскости на ребрах и гранях многогранника.

Наиболее часто применяемыми методами построения сечений многогранников плоскостью являются: метод следов и метод переноса секущей плоскости.

83

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

Метод «следов»

При использовании этого метода сначала строится след секущей плоскости на плоскости одной из граней многогранника (либо на диагональной плоскости или плоскости симметрии), а также следы на прямых, содержащих стороны этой грани. Далее при наличии двух следов на прямых, содержащих стороны соответствующей грани, строятся следы секущей плоскости на других гранях.

Пример 110. Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через три заданные на его ребрах точки M, N, P, две из которых лежат на смежных ребрах (см. рис. 126а).

 

 

 

 

K2

 

A1

M

B1

A1

M

B1

 

C1

 

C1

N

B

D1

N

B

D1

 

C

 

C

A

 

K1

 

 

P

A

 

P

 

 

 

 

DD

аб

Рис. 126

Решение. Точки M и N лежат в плоскости сечения и в плоскости AA1B1 , поэтому отрезок MN след секущей плоскости на грани AA1B1B. Для построения следов на других гранях поступаем следующим образом.

Проводим прямую MN (см. рис. 126б) до пересечения с прямыми AB и BB1 , лежащими с ней в одной плоскости и не параллельными ей. Точки K1 и K2 следы секущей плоскости на указанныхпрямых.

Точки

K1 и P

лежат в

плоскости

 

K2

 

 

K2

 

A1

M B1

1

M B1 M1

 

 

C1

A

 

C1

N

B

D1

N

B

D1 P1

 

C

 

C

K1

 

K1

 

 

 

 

 

A N1

P K3

A N1

P K3

DD

вг

Рис. 126

04.12.2012

84

ABC (см. рис. 126в), следовательно, прямая K1P и точки N1 и K3 – следы се-

кущей плоскости на плоскости ABC, на ребре AD и прямой BC соответственно.

Точки K2 и K3 лежат в плоскости

BB1C1 (см. рис. 126г), следовательно,

прямая K2K3 след секущей плоскости на плоскости BB1C1 , точки P1 и M1 ее следы на ребрах CC1 и B1C1 соответственно. Соединяя в указанном порядке точки M, N, N1, P, P1, M1, получаем искомое сечение – шестиугольник

MNN1PP1M1 .

Пример 111. Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через три заданные точки M, N, P, лежащие на непересекающихся ребрах (см. рис. 127а) при условии, что никакие две из них не лежат в одной грани.

Решение. Найдем точку пересечения прямой MP с плоскостью ABC. Для этого проведем через точку M прямую, параллельную ребру AA1 (см. рис. 127а).

Она пересечет ребро AB в точке K1 . Так как точка P лежит на ребре CC1 , то она соответственно проектируется в точку C . Точка K2 MP K1C принадлежит плоскостям сечения и основания.

A1 M B1

C1

A1

M B1

 

C1

K1 B D1

P

 

B D1

 

P

A N

C

A

C

K3

 

K2 K4 N

N1

K2

DD

аб

Рис. 127

Тогда прямая NK2 – след секущей плоскости на плоскости основания (см. рис. 127б), а точки K3, N1, K4 следы на

прямой BC, ребре CD и прямой AB соответственно.

Далее проводим прямые K4M и K3P

(см. рис. 127в). Искомое сечение – шестиугольник MM1NN1PP1 .

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

M

B1

C1

A1

P1

M1

B D1

P

A

 

CK3 K2

K4 N

N1

 

 

D

 

 

Рис. 127в

 

Пример 112. Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через три заданные точки M, N, P, лежащие на ее ребрах

(см. рис. 128а).

Решение. Прямые MN и AD лежат в плоскости SAD и не параллельны, Следовательно, они пересекаются в некоторой точке K1 (см. рис. 128б). Точки K1 и P принадлежат плоскости основания пирамиды и плоскости сечения, следова-

тельно,

прямая

K1P

след секущей

S

 

S

 

M

 

M

 

A

B

A

P1B

N

P

N

PK2

D

C

D

N1 C

а

K1

б

 

 

Рис. 128

 

плоскости на плоскости основания. Аналогично, прямые K1P и AB пере-

секаются в некоторой точке K2 . Точки

N1 и P1 – следы секущей плоскости на ребрах DC и SB соответственно.

Соединяя последовательно точки M, N, N1, P, P1, M , получаем сечение – пятиугольник MNN1PP1 .

Пример 113. Даны точки M и N, лежащие на боковых гранях четырехугольной пирамиды, и точка P – на ее боковом ребре (см. рис. 129а). Построить сечение пирамиды плоскостью

MNP .

04.12.2012

85

Решение. Находим на плоскости основания пирамиды следы прямых MN и MP – точки K1 и K2 , как точки пересечения указанных прямых и их центральных проекций M0N0 и M0B из центра S на плоскость основания (см. рис. 129а).

Прямая K1K2 , являющаяся следом секущей плоскости на плоскости основания, пересекает ребра DC и BC в точках N1 и N2 соответственно (см. рис. 129б).

Точки P и N2 лежат в плоскости грани

SBC , N1 и N – в плоскости грани SDC

и M1 SD N1N , M1 и M – в плоскости грани SAD и P1 SA M1M .

Соединяя последовательно полученные точки, получаем искомое сечение

M1N1N2PP1 .

S

 

 

S

 

M

 

P1

 

 

 

M

 

 

 

P

 

P

A

K2 A M1

 

N

 

B

N

B K2

M0

 

 

N2

 

 

 

D

C

D

 

N1 C

N0K1

 

 

 

K1

а

 

Рис. 129

 

б

 

 

 

 

Метод вспомогательных плоскостей, метод переноса секущей плоскости

При использовании этого метода вместо секущей плоскости строится параллельная ей вспомогательная плоскость, которая пересекает все грани некоторого трехгранного (или многогранного в общем случае) угла данного многогранника. Далее путем параллельного переноса строятся некоторые линейные элементы искомого сечения, соответствующие легко строящимся элементам вспомогательной плоскости.

Свойства параллельных плоскостей.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

Пример 114. Даны точки M, N и P, лежащие соответственно на боковых ребрах SA, SD и SB четырехугольной пирамиды SABCD . Построить сечение пирамиды плоскостью MNP (см. рис. 130).

S

 

Решение.

Прово-

 

 

дим через вершину D

M

 

прямую,

параллель-

K1

P

ную

MN , до

пересе-

чения с ребром SA.

N

A

B

Через

 

полученную

K2

Q

точку K1

параллельно

K3

MP

проводим

пря-

C

D

 

мую до пересечения с

Рис. 130

 

ребром

AB

в

точке

 

 

K2 .

 

 

 

 

Плоскость треугольника DK1K2 параллельна плоскости MNP . Плоскость ASC пересекает их по параллельным прямым. Прямая пересечения плоскостей ASC и DK1K2 K1K3 , где K3 – точка пересечения диагонали AC четырехугольника ABCD и отрезка DK2 . Через точку M проводим прямую, параллельную K1K3 , до пересечения с ребром SC .

Получаем точку Q. Сечение MPQN является искомым.

Пример 115. В основании пирамиды SABCD лежит ромб ABCD, сторона которого равна 12, а диагональ BD 6. Высота пирамиды SO проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 313 . Точки E и F лежат на ребрах AD и AB соответственно, причем AE 4, FB 8. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной ребру SC и проходящей через точки E и F .

Решение. Так как AF AB FB 4 и

AE 4, то треугольник AFE равнобедренный и подобен треугольнику ABD

с коэффициентом подобия AF 1 (см.

AB 3

рис. 131). Значит FE 1BD 2. 3

Пусть L точка пересечения FE с диагональю ромба AC . Так как секущая плоскость параллельна SC , то через точку L в этой плоскости будет проходить

04.12.2012

86

прямая, параллельная SC , которая пере-

сечет ребро SA в точке K (KL|| SC,

KL

лежит в плоскости ASC ).

Треугольник

KFE искомое сечение.

 

 

 

 

 

 

 

BD ASC , поскольку

BD SO

 

и

BD AC . Следовательно,

FE ASC , а

значит FE KL, то есть

KL высота

треугольника KFE . Тогда, зная KL, най-

дем площадь сечения.

 

 

 

 

 

 

 

Треугольники AKL и ASC подобны с

коэффициентом подобия

AL

 

AL

 

1

.

 

 

 

 

AC

2AO

6

 

Из прямоугольных треугольников BOC

иSOC по теореме Пифагора получаем

OC BC2 BO2 122 32 315 ,

SC SO2 OC2 117 135 67 .

S

K F B

L

A O C

E

D

Рис. 131

Так как

KL

 

AL

 

 

1

,

то KL

 

 

.

 

7

 

 

AC

 

 

SC

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, S

 

 

 

 

1

KL FE

 

.

 

 

 

 

KFE

 

7

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

Метод дополнения n-угольной призмы (пирамиды) до треугольной призмы (пирамиды)

Если данную призму (пирамиду) достроить до треугольной призмы (пирамиды), затем построить сечение полученной треугольной призмы (пирамиды), то искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы (пирамиды).

Пример 116. Построить сечение пирамиды DAEGHF плоскостью AMN, где точки M и N лежат на ребрах DE и DF соответственно.

Решение. 1. Достраиваем данную пятиугольную пирамиду до треугольной.

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

Для этого получим точки AE HG C и AF GH B, и затем проведем отрезки

DC и DB (см. рис. 132).

2. Строим сечение полученной треугольной пирамиды ABCD плоскостью AMN . Для этого последовательно полу-

 

 

D

 

P

R S Q

C

M

N

 

 

G

H

 

E

B

 

 

 

A

F

 

 

 

Рис. 132

чаем

точки

AM DC P и

AN DB Q, и соединяем точки P и Q. Треугольник APQ – есть сечение пирамиды ABCD плоскостью AMN .

3. Осталось получить точки

PQ DG R и PQ DH S . Тогда пя-

тиугольник AMRSN – искомое сечение данной пятиугольной пирамиды.

Метод разбиения n-угольной призмы (пирамиды) на треугольные призмы (пирамиды)

При использовании данного метода порядок действий следующий:

из данной n-угольной призмы (пирамиды) выделяют основную треугольную призму (пирамиду), на боковых ребрах которой лежат точки, определяющие искомое сечение;

строят сечение этой треугольной призмы (пирамиды);

строят сечения тех треугольных призм (пирамид), которые имеют общие части с основной.

Пример 117. Построить сечение четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью PQR, где точки P и Q лежат на ребрах AA1 и DD1 соответственно,

точка R принадлежит плоскости

AA1B1B.

Решение. 1. Точка R лежит на отрезке

EE1 , где E AB, E1 A1B1, EE1 AA1

(см. рис. 133). Треугольник PQR является сечением треугольной призмы

ADEA1D1E1 . Призмы ADCA1D1C1 и

ABCA1B1C1 имеют общую часть с приз-

мой ADEA1D1E1 .

A1

E1 M2

B1

C1

 

 

 

 

K

T

 

 

M1

D1

P

R

 

E

M

B

 

A

Q

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

Рис. 133

 

2.

Получим

точки AС DE M ,

A1С1 D1E1 M2 .

Плоскости ACС1 и

EDD1

пересекаются по прямой ММ2 .

Прямые ММ2

и QR пересекаются в точке

М1 .

3.Точки Р и М1 принадлежат плоско-

сти ACС1 , поэтому прямые 1 и CC1 пересекаются в точке T, принадлежащей секущей плоскости PQR.

4. Имеем точку PR BB1 K . Прямые PR и PQ лежат в одной плоскости PQR, поэтому точка K принадлежит плоскости

PQR.

5. Точки Q и T лежат в плоскости сечения, значит, прямая QT принадлежит секущей плоскости. Четырехугольник PKTQ

– искомое сечение.

Среди методов построения сечений многогранников выделяют также метод внутреннего проектирования, который используется на практике крайне редко.

04.12.2012

87

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

3.2. Векторный метод

попарно

перпендикулярны и

| a |

|b |

Векторный метод может быть исполь-

|c | 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зован при решении широкого класса гео-

Для векторов декартова базиса обычно

метрических задач. Для решения задач,

используют обозначения i,

j, k .

 

 

 

касающихся:

взаимного

расположения

 

 

 

Если два вектора n

 

и заданы своими

двух прямых, принадлежности трех точек

 

координатами

в некоторой декартовой

одной прямой, вычисления отношения

системе

координат

 

 

 

n {x1, y1, z1},

отрезков параллельных прямых, требу-

 

 

 

ются лишь операции сложения и вычита-

m {x2 , y2 , z2}, то их скалярное произ-

ния векторов, умножения вектора на чис-

ведение в этой системе координат выра-

ло. Операция скалярного умножения

жается следующим образом:

 

 

 

 

 

 

двух векторов (в сочетании с предыду-

 

 

 

 

n m x1x2

y1y2

z1z2 .

 

 

(2)

щими операциями) позволяет вычислять

 

 

 

 

 

 

длины отрезков и величины углов, а зна-

Обычно при решении задач, в которых

чит, находить расстояния, площади и

рассматриваются призма или пирамида, в

объемы геометрических фигур.

качестве

базисных

векторов

 

выбирают

Если необходимо найти длину отрезка,

какую либо тройку векторов, выходящих

то в качестве базисных векторов выби-

из одной вершины и направленных вдоль

рают такие векторы, для которых извест-

ребер многогранника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ны их длины и углы между ними. Если в

Пример

118.

 

В

 

 

параллелепипеде

задаче требуется найти величину угла

 

 

 

ABCDA1B1C1D1

точка M – центр грани

между прямыми, то в качестве базисных

выбирают векторы с известными отно-

CC1D1D. Найти координаты вектора

шениями их длин и известными углами

B1M в базисе AA1 ,

AB и AD.

 

 

 

 

 

 

между ними.

 

 

 

Решение.

Для

треугольника

BC M

Базис и координаты вектора

запишем равенство (см. рис. 134)

1

1

 

 

 

Упорядоченная тройка

некомпланар-

 

 

 

 

 

 

 

B1M B1C1

C1M.

 

 

 

 

 

 

ных, векторов a, b, c называется бази-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сом.

 

 

 

Воспользуемся тем,

 

что

B1C1 AD, а

Всякий вектор d может

быть пред-

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ставлен единственным образом в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C M

 

 

 

(C D C C).

 

 

 

Так

 

 

как

2

 

 

 

 

 

 

d x a y b z c

(1)

1

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1D1 AB,

C1C A1A,

то отсюда по-

где числа x, y,

z называются координа-

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лучаем

 

 

C M

 

(AA AB).

 

 

Следова-

тами вектора d в базисе векторов a, b,

 

 

 

тельно,

1

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разложением

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

Формулу (1) называют

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B1M 2 AA1 2 AB AD.

 

 

 

вектора d по базису a, b,

c и исполь-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зуют также следующую форму записи

 

 

 

 

 

 

 

 

B1

 

 

 

 

 

 

 

C1

 

d {x, y, z}.

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D1

 

 

 

 

 

 

 

Базис a, b,

c называют прямоуголь-

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ным (или ортогональным), если скаляр-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

ные произведения a b, a c,

и b c рав-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ны нулю, т.е. векторы попарно перпенди-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 134

 

 

 

 

 

 

 

 

кулярны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Базис a, b,

c называют декартовым

 

 

 

 

 

Ответ: B1M

 

 

1

 

1

 

(или ортонормированным), если векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

;1 .

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

04.12.2012

 

 

 

88

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

Пример 119. В основании четырехугольной пирамиды MABCD лежит параллелограмм ABCD. Точки N и P – середины ребер BM и DC соответствен-

но. Найти координаты вектора NP в

базисе AD, AB и AM .

Решение. Заметим из треугольника

ANP , что NP AP AN (см. рис. 135).

Так как точка N середина ребра

BM , то AN 1 AB 1 AM . 2 2

Соответственно, AP AD DP или

AP AD 1 AB. 2

Следовательно

 

 

NP AP AN

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

1

 

 

 

 

AD

 

 

AB

 

 

 

 

AB

 

 

 

AM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AD

1

AM .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

D

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 135

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Ответ: NP 1; 0;

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Пример

120.

Дан

параллелепипед

ABCDA1B1C1D1

 

Точки M, N, P центры

граней ABC D ,

CC DD, BBCC соот-

1

1

1

 

1

1

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

ветственно. Пусть

 

a AM ,

b AN ,

c AP .

Найти

координаты

вектора

AC1 в базисе a, b, c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Введем

 

векторы

p AA1 ,

q AB и r AD (см. рис. 136). Тогда

 

a AM AA A M p

1

q

1

r .

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично находим:

b 1 p 1 q r , 2 2

c 1 p q 1 r . 2 2

Заметим, что

AC1 p q r .

Получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

q

 

 

 

 

r

 

 

 

 

p

 

 

q r

 

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p q

 

 

r

2(p q r) .

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда AC

1

 

 

 

a

 

 

b

 

c .

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B1

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

C1

 

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 136

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: AC1

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

;

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

04.12.2012

89

www.alexlarin.net

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения.

3.3. Координатный метод

Координатный метод является естественным продолжением векторного метода, то есть вектор пространства есть упорядоченная тройка действительных чисел (декартовых прямоугольных координат вектора в ортонормированном базисе).

Рациональное расположение фигуры относительно системы координат (некоторые вершины многогранника находятся на координатных осях), позволяет при решении задач упростить вычисления.

Координаты вершин многогранников

вдекартовой системе координат

Вданном пункте представлены в общем виде координаты вершин некоторых видов многогранников, наиболее часто используемых в задачах.

1. Куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a.

Пусть начало координат находится в точке A, направление координатных осей показано на рис. 137. Тогда вершины куба имеют координаты:

A(0;0;0), B(0;a;0), C(a; a;0),

D(a;0;0), A1(0;0; a), B1(0; a;a) ,

C1(a;a; a), D1(a; 0; a) .

z y

B1 C1

A1

D1

a

B

C

 

y

 

 

 

 

 

 

B

 

C

A

D

 

 

 

A

D

x 0

 

a x

Рис. 137

Такое же расположение системы координат удобно использовать для прямоугольного параллелепипеда. Еще один вариант расположения прямоугольного параллелепипеда (куба) относительно декартовой системы координат связан с размещением начала координат в точке пересечения диагоналей основания.

2. Правильная треугольная призма

ABCA1B1C1 , сторона основания которой равна a, а боковое ребро b . Пусть начало координат находится в точке A, ось x направлена вдоль ребра AC , ось y про-

04.12.2012

90

ходит через точку A перпендикулярно AC , ось z направлена вдоль бокового ребра AA1 (см. рис. 138). Тогда вершины призмы имеют координаты:

 

 

a

 

a

3

 

 

 

 

 

A(0;0;0),

B

 

 

 

;

 

 

 

 

;0

 

, C(a;0;0),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

A(0;0;b),

B

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

;b

, C (a;0;b).

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

B1

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

A1

 

 

C1

 

 

 

3a

 

B

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

A

 

C

 

x

 

A

 

x

 

 

 

 

0

 

a a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Рис. 138

 

 

 

Другой вариант расположения правильной треугольной призмы относительно прямоугольной декартовой системы координат показан на рисунке 139.

B1

A1

z

C1 y

B

A

O

C x

Рис. 139

3. Правильная шестиугольная приз-

ма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , сторона основания которой равна a, а боковое ребро b . Пусть начало координат находится в точке A, ось x направлена вдоль ребра AF , ось y проходит через точку A перпендикулярно AF, ось z направлена вдоль

бокового ребра

AA1

(см. рис. 140). Тогда

вершины призмы имеют координаты:

 

 

 

a a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, C 0;a

3;0 ,

A(0;0;0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

;0

, B

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.alexlarin.net

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]