Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции,матан, 3сем мехмат(математика механика).pdf
Скачиваний:
219
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
1.13 Mб
Скачать

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Т. И. Коршикова, Л. И. Калиниченко, Ю. А. Кирютенко

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

II КУРС, 3-Й СЕМЕСТР

Ростов-на-Дону 2007 год

Т. И. Коршикова, Л. И. Калиниченко, Ю. А. Кирютенко.

Курс лекций по математическому анализу, II курс, 3-й семестр. — ЮФУ, Ростов-на-Дону, 2007 год

Изложен лекционный материал курса «Математический анализ», традиционно читаемый сотрудниками кафедры математического анализа ЮФУ (РГУ) в третьем семестре второго курса на отделениях «Математика» и «Механика». После каждого раздела приведены задачи теоретического характера для самостоятельной работы.

c Т.И. Коршикова, Л.И. Калиниченко, Ю. А. Кирютенко.c ФГОУ ВПО «Южный федеральный университет», 2007

Глава 1

Числовые ряды

1.1Сходимость числового ряда

Определение 1.1. Пусть {an} — последовательность вещественных чисел. Символ

a1 + a2 + · · · + an + · · ·

(1.1)

называется числовым рядом. Слагаемые a1, a2, . . .— членами ряда; an, отвечающее значению индекса n, называется n-ым или общим членом ряда.

Для обозначения ряда (1.1) также используют символ

X

an. (1.2)

n=1

При такой записи индекс n называют индексом суммирования или немым индексом, поскольку от его имени ничего не зависит, важны только начальное и конечное значение индекса.

 

k

Определение 1.2. Сумму k первых членов ряда (1.1) Sk =

nX

an,

k N, называют k-ой частичной суммой этого ряда.

=1

 

Согласно определению 1.2 числовой ряд (1.1) порождает последовательность {Sk} частичных сумм ряда:

S1 = a1, S2 = a1 + a2,

S3 = a1 + a2 + a3,

. . . . . . . .

Sk = a1 + a2 + · · · + ak,

. . . . . . . . . . .

Заметим, что если задана числовая последовательность {xk}, то, полагая a1 = x1, a2 = x2 − x1, a3 = x3 − x2, . . . , an = xn − xn−1, . . . ,

3

X

получим ряд an, для которого k-ая частичная сумма равна xk:

n=1

Sk = a1 + a2 + · · · + ak = xk, k N.

Другими словами, для всякой числовой последовательности {xk} всегда можно указать ряд, для которого {xk} является последовательностью его частичных сумм. Это означает, что рассмотрение ряда эквивалентно рассмотрению соответствующей последовательности {Sk}.

Определение 1.3. Числовой ряд (1.1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм {Sk}. Если ряд

 

nX

 

an сходится и S = lim Sk, то число S называют суммой ряда и

=1

 

 

nX

 

пишут S = an.

 

=1

 

Таким образом, символ

nX

an можно употреблять как для обозначе-

 

=1

ния ряда (1.1), так и для обозначения его суммы, если он сходится.

Определение 1.4. Ряд (1.1) называется расходящимся, если соответствующая ему последовательность {Sk} расходится.

Приведем несколько примеров, показывающих взаимоотношение понятий ряда, суммы ряда и предела последовательности.

Пример 1.1. Исследовать поведение ряда, членами которого явля-

ются члены геометрической прогрессии:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + q + q2 + · · · + qn−1 + · · · .

 

 

 

(1.3)

Найдем n-ую частичную сумму ряда (1.3):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − qn

,

если q = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sn =

1 q

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если q = 1, n N.

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как lim q

 

 

= 0 при |q| < 1, lim q = ∞ при |q| > 1 и не существует

предела последовательности {(−1)n}, то:

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a) lim Sn =

 

, если |q| < 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) lim Sn = ∞, если |q| > 1 или q = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

c) предела последовательности {Sn} не существует, если q = −1.

Следовательно, ряд (1.3) сходится и его сумма равна

1

 

, если |q| < 1,

1 − q

и расходится, если |q| ≥ 1.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Пример 1.2. Исследовать на сходимость числовой ряд

nX

 

.

 

 

=1

n

4

Так как для данного ряда

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

 

 

 

Sn = 1 +

 

+

 

+ · · · +

 

> n ·

 

= n, n > 1,

2

3

n

n

то lim Sn = +∞, а поэтому рассматриваемый ряд расходится.

В приведённых примерах последовательность частичных сумм {Sn} соответствующего ряда выражалась достаточно просто, что позволяло, пользуясь определением, установить сходимость или расходимость ряда. Однако, часто непосредственный анализ последовательности {Sn} не представляется возможным, поэтому основной задачей в теории рядов является установление необходимых и достаточных условий сходимости ряда.

Наличие критерия Коши сходимости числовой последовательности позволяет установить соответствующий критерий и для числового ряда.

Теорема 1.1 (критерий Коши сходимости числового ряда). Для

X

сходимости числового ряда an необходимо и достаточно, чтобы

n=1

для любого положительного числа ε нашёлся номер N = N(ε) такой, что для всех k > N и любого p N выполнялось неравенство

 

k+p

an

< ε.

(1.4)

 

 

 

 

 

 

n X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=k+1

 

достаточно

 

Для доказательства этой теоремы

заметить, что величина,

стоящая под знаком модуля в неравенстве (1.4), равна разности частичных сумм Sk+p − Sk.

Простым следствием критерия Коши является следующая важная

Теорема 1.2 (необходимое условие сходимости ряда). Если чис-

 

ловой ряд

nX

an сходится, то lim an = 0.

 

n

 

=1

Для доказательства этой теоремы достаточно в необходимой части критерия Коши положить p = 1 и получить тем самым определение того, что lim an+1 = 0.

Заметим, что стремление к нулю общего члена ряда не является достаточным условием сходимости ряда (см. пример 1.2). Приведем еще один пример такого ряда, часто используемого в приложениях.

Пример 1.3. Доказать, используя критерий Коши, расходимость гар-

монического ряда

1 + 12 + 13 + · · · + n1 + · · · .

Для каждого натурального n

2n

X

k=n+1

1

1

1

+ · · · +

1

n

 

1

 

=

 

+

 

 

 

 

=

 

 

.

k

n + 1

n + 2

2n

2n

2

5

Положим ε0 = 1/2. Тогда для произвольного n N и p = n, будет выполняться неравенство

n+p 1

X

k=n+1 k

≥ ε0.

Следовательно, согласно критерию Коши, гармонический ряд расходится. Поскольку последовательность его частичных сумм Sn является возрас-

X

1

тающей, то lim Sn = +∞, то есть n=1 n = +∞. Однако, заметим, что

lim 1/n = 0 и необходимое условие сходимости для гармонического ряда выполняется.

Замечание. Критерий Коши из-за технических трудностей редко применяется для доказательства сходимости конкретного ряда, чаще он используется для доказательства сходимости одного ряда на основании сходимости другого или для установления расходимости рядов.

1.2 Простейшие свойства сходящихся рядов

 

 

 

 

R\{0}, то ряды

nX

X

 

an и

c an сходятся

 

 

 

=1

n=1

или расходятся одновременно и, в случае сходимости,

 

 

 

 

X

nX

 

(1.5)

 

 

c an = c an.

 

 

n=1

=1

 

 

n

n

 

 

 

kX

X

c ak, n ≥ 1. Тогда σn = c Sn, n ≥ 1. По-

Пусть Sn = ak,

σn =

=1

k=1

 

 

 

скольку c 6= 0, то последовательность {σn} имеет конечный предел тогда и только тогда, когда существует конечный предел последовательности {Sn}, причём, в случае его существования, lim σn = c lim Sn.

X

Cледствие. Если ряд an сходятся, то для любого c R ряд

 

n=1

 

 

X

 

nX

 

X

 

 

c an сходится и

c an = c

an.

 

 

n=1

 

=1

n=1

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 1.4. Пусть ряды

nX

X

bn сходятся и их суммы рав-

an и

 

 

 

 

=1

n=1

 

 

 

 

 

 

ны, соответственно, A и B. Тогда ряд

nX

(an + bn) сходится и его

сумма равна A + B.

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

k

 

k

 

k

 

Пусть Ak =

X

 

X

 

nX

 

an, Bk =

bn, Sk =

(an+bn). Тогда Sk = Ak+Bk. Так

 

n=1

 

n=1

 

=1

 

как lim Ak = A, lim Bk = B, A, B R, то числовая последовательность {Sk} сходится и lim Sk = A + B.

6