Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Рязанский государственный медицинский университет

имени академика И.П.Павлова

Федерального агентства по здравоохранению

и социальному развитию»

Кафедра математики и информатики

Практикум

Рязань 2009

УДК 517.2/.3 + 519.2 (075.8)

ББК 22.161.1+22.17

М 34

Авторы – составители: М.П. Булаев, М.Н. Дмитриева, Н.В. Дорошина, И.С. Маркова, О.А. Назарова, Е.В. Прохорова

Рецензенты: С.П. Вихров, д.ф.-м.н., профессор Рязанского

государственного радиотехнического

университета;

А.Н. Пылькин, д.т.н., профессор Рязанского государственного радиотехнического университета;

М

М34

атематика: Практикум /Авт.-сост. М.П.Булаев [и др.]; под ред. М.П. Булаева; Ряз. гос. мед. ун-т им. акад И.П.Павлова. Рязань: РИО РГМУ, 2009. –223с.

Предназначен для первоначального изучения дифференциального и интегрального исчисления, теории вероятностей и математической статистики. Практикум рассчитан на студентов специальностей 060101, 060104, 060105, 060108, 030302 дневной, вечерней и заочной форм образования.

Он также может быть полезен студентам других гуманитарных специальностей.

УДК 517.2/.3+519.2 (075.8)

ББК 22.161.1+22.17

Табл.: 60 Ил.: 38 Библиогр.: 10 назв.

Печатается по решению Учебно-методического Совета Рязанского государственного медицинского университета.

ГОУ ВПО «РязГМУросздрава», 2009

Глава 1. Предел функции

1.1. Определение предела

Рис. 1.1

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x – a <  верно неравенство f(x) – A<  (рис. 1.1).

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а –  < x < a + , x  a, то верно неравенство А –  < f(x) < A + .

Запись предела функции в точке: .

Если f(x)  A₁ при х  а только при x < a, то называетсяпределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x)  A₂ при х  а только при x > a, то называетсяпределом функции f(x) в точке х = а справа (рис. 1.2).

П

Рис. 1.2

риведенное выше определение относится к случаю, когда функцияf(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними

пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

1.2. Операции над пределами

1. Предел постоянной есть сама постоянная: , гдеС = const.

Следующие свойства справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха;

2. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов:

;

3. Предел произведения равен произведению пределов:

;

4. Постоянную можно выносить за знак предела:

;

5. Предел отношения равен отношению пределов:

, при ;

6. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , тоА>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x)  0, f(x)  0;

7. Если g(x)  f(x)  u(x) вблизи точки х = а и , то и;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. Неопределенность вида можно раскрыть, если числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной;

13. Неопределенность вида можно раскрыть, если числитель и знаменатель дроби разложить на множители и сократить.