colloquium

1 Процедура коллоквиума

Пример билета:

Обязательная часть:

1.(2 балла) Число с плавающей точкой. Привести примеры сложения двух чисел с плавающей точкой, (а) когда есть округление и (б) когда его нет.

2.(2 балла) Приближение функции многочленом. Произвольно задать табличную функцию в трёх точках. Построить многочлен Ньютона.

3.(2 балла) Определение многочлена Чебышёва. Найти экстремумы многочлена 32x6 48x4 + 18x2 1 (варианты: T5(x), 8x4 8x2 + 1).

4.(2 балла) Получение формулы численной производной с помощью разложения в ряд Тейлора. Использую разложение в ряд Тейлора, получить формулы для y0 и y00.

5.(2 балла) Вывод оценки погрешности формулы средних прямоугольников (варианты: правых прямоугольников, левых прямоугольников, трапеций).

6.(2 балла) Перечислить приёмы вычисления несобственных интегралов. Построить квадра-

турную формулу для вычисления с точностью " = 10 3 интеграла: 1R e x2 dx.

0

Дополнительная часть:

7.(4 балла) Доказать, что среди всех многочленов со старшим коэффициентом 1 многочлены Чебышёва наименее отклоняются от нуля на отрезке [a; b].

8.(4 балла) Вывод оценки погрешности формулы Симпсона.

1.Коллоквиум считается сданным, если набрано не менее 9 баллов.

2.К дополнительной части можно переходит только в случае, когда даны ответы на все вопросы основной части. В противном случае дополнительная часть не засчитывается.

3.Студент может попросить экзаменатора дать дополнительную задачу для повышения балла. При этом экзаменатор вправе отказать.

4.Вопросы, отмеченные * относятся только к дополнительной части.

2Список вопросов к коллоквиуму по численным методам 2016 г.

1.Число с плавающей запятой. Привести примеры сложения двух чисел с плавающей запятой, (а)когда есть округление и (б)когда его нет.

2.Устойчивость задачи. Привести примеры устойчивой и неустойчивой задач.

3.Перечислить рекомендации, которых следует придерживаться при выполнении последовательности арифметических операций, чтобы минимизировать погрешность округления. Привести пример.

4.Описать принцип работы метода Ньютона. Скорость сходимости метода Ньютона. Для чего нужен модифицированный метод Ньютона?

5.Придумать уравнение и построить для него итерационный процесс метода Ньютона, указать начальное приближение x0.

6.Привести геометрическую интерпретацию работы метода Ньютона. Сформулировать условия сходимости метода Ньютона. Привести пример функции и начального приближения, (а)когда метод Ньютона сходится, и (б)когда не сходится.

7.Сравнить достоинства и недостатки метода дихотомии, метода простой итерации и метода Ньютона. Привести примеры, (а)когда применим метод дихотомии и (б)когда неприменим.

8.Привести пошаговую инструкцию для поиска всех действительных корней заданного уравнения. Привести пример уравнения, локализовать его действительные корни и, используя любой известный метод, найти начальные приближения одного из этих корней.

9.Получение корней уравнения с помощью интерполяции. Применение кусочно-линейной интерполяции для составления таблиц значений функций.

10.* Теорема о достаточном условии сходимости метода простых итераций. Следствия из теоремы.

11.* Доказать квадратичную скорость сходимости метода Ньютона

12.Приближение функции многочленом. Произвольно задать табличную функцию в трёх точках. Построить многочлен Лагранжа.

13.Приближение функции многочленом. Произвольно задать табличную функцию в трёх точках. Построить многочлен Ньютона.

14.Погрешность интерполяционного многочлена. Интерполировать любую элементарную функцию по трём точкам. Оценить погрешность в каждой точке отрезка интерполяции.

15.* Вывод формулы погрешности многочлена Лагранжа.

16.Многочлены Чебышёва. Вывод тригонометрической формы записи многочлена через рекуррентную. Корни многочлена Чебышёва.

17.Многочлены Чебышёва. Вывод радикальной формы записи через рекуррентную. Экстремумы многочлена Чебышёва.

18.* Доказать, что среди всех многочленов со старшим коэффициентом 1 многочлены Чебышёва наименее отклоняются от нуля на отрезке [a; b].

19.Описать применение многочленов Чебышева при интерполяции многочленами. Выбрать произвольно элементарную функцию, задать некоторый отрезок [a; b] и построить интерполяционный многочлен Лагранжа по трём чебышёвским узлам.

20.Погрешность интерполяции многочлена Лагранжа при использовании чебышёвских узлов. Выбрать произвольно элементарную функцию, задать некоторый отрезок [a; b] и оценить погрешность интерполяционного многочлена Лагранжа построенного по 4 чебышёвским узлам.

21.Многочлены Эрмита. Интерполировать любую элементарную функцию по двум точкам и значению производной в одной из этих точек.

22.Погрешность многочлена Эрмита. Интерполировать любую элементарную функцию по двум точкам и значению производной в одной из этих точек. Оценить погрешность в каждой точке отрезка интерполяции.

23.Интерполяция сплайнами. Произвольно задать табличную функцию в трёх точках и построить систему линейных уравнений для определения параметров сплайнов.

24.Кусочная интерполяция. Причины использования, типы. Придумать негладкую функцию и кусочно её интерполировать (получить многочлены), используя 2 или 3 куска.

25.Получение формул численного дифференцирования с помощью интерполяционного многочлена. Придумать произвольную функцию, интерполировать её по трём узлам и найти численную производную.

26.Получение формул численного дифференцирования с помощью разложения в ряд Тейлора. Получить формулу численной производной 1-го и 2-го порядков погрешности.

27.Получение формул численного дифференцирования с помощью метода неопределённых коэффициентов. Продемонстрировать работу метода для получения формулы численной производной по трём узлам.

28.Метод Рунге. Применение метода для увеличения порядка точности формул. Рассмотреть любую формулу численной производной и применить к ней метод Рунге.

29.Метод Рунге. Применение метода для апостериорной оценки качества ответа. Рассмотреть любую формулу с шагом h и затем с шагом h=2 и применить к ней метод Рунге.

30.Неустойчивость формул численного дифференцирования к погрешностям внешних данных. Ответ обосновать на примере любой формулы численного дифференцирования.

31.Формула центральных прямоугольников. Вывод погрешности.

32.Формула левых прямоугольников. Вывод погрешности.

33.Формула правых прямоугольников. Вывод погрешности.

34.Формула трапеций. Вывод погрешности.

35.* Формула Симпсона. Вывод погрешности.

36.Типы несобственных интегралов и способы их вычисления на компьютере. Придумать несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования и предложить способ его вычисления на компьютере.

37.Типы несобственных интегралов и способы их вычисления на компьютере. Придумать несобственный интеграл с неограниченной подынтегральной функцией и предложить способ его вычисления на компьютере.

38.* С помощью метода Рунге уточнить формулу трапеций (должна получиться формула Симпсона).

39.Какие квадратурные формулы относятся к формулам Ньютона-Котеса? Почему выгоднее выбирать чётное число разбиений отрезка интегрирования? Для каких функций формула Ньютона-Котеса с n разбиениями отрезка интегрирования всегда точна?

40.* Доказать, что при чётном числе n разбиений отрезка интегрирования формула Ньюнота-Котеса точна для многочленов степени n + 1.

41.Что такое устойчивость квадратурной формулы к погрешностям внешних данных? Что можно сказать об устойчивости формулы Симпсона (ответ обосновать).

42.(new) Какие квадратурные формулы относятся к формулам Ньютона-Котеса? Получение формул Ньюнота-Котеса.

43.* (new) Теорема о достаточном условии сходимости метода Ньютона.

3Примеры задач

1.Найти коэффициенты многочлена Чебышёва 6-й степени.

2.Построить многочлен 3-й степени со старшим коэффициентом 1, который наименее отклоняется от нуля на отрезке [2; 5].

3.Для каких функций точна следующая формула численного дифференцирования? Ответ обосновать.

4. Для каких функций точна следующая формула численного дифференцирования? Ответ обосновать.

5. Для каких функций точна следующая формула численного дифференцирования? Ответ обосновать.

6.Нужно получить формулу для численной производной y(IV)(x). В скольких точках xi, 0 6 i 6 n

можно взять значение функции y(x) для получения формулы?

7.Для каких функций точна следующая квадратурная формула? Ответ обосновать.

n

1 X

h

f(xn):

i=1

8. Определить, служит ли следующая формула для численного интегрирования или дифференцирова-

ния? Ответ обосновать.

3h

8 (y0 + 3y1 + 3y2 + y3):

9. Определить, служит ли следующая формула для численного интегрирования или дифференцирова-

ния? Ответ обосновать.

1

h3 ( y0 + 3y1 3y2 + y3):

10.На прямой y = ax + b заданы четыре точки. По этим точкам построен многочлен Лагранжа P3(x). Доказать, что P3(x) = ax + b.

11.Дана краевая задача y00 3y +2 = 0, y(0) = 3x, y0(l) = 4. а) построить систему разностных уравнений; б) обосновать, применим ли метод прогонки для решения полученной системы.

12.Дана формула y0(x) = 21h (y(x + h) y(x h)). Входные данные y(x) 102 получены с помощью цифрового мультиметра, имеющего 4 десятичных разряда. Найти hопт для вычисления на компьютере, т.е. шаг, когда точность формулы максимальна, а настойчивость численного дифференцирования себя ещё не проявляет.

13.Предложить итерационный процесс на основе метода Ньютона для вычисления квадратного корня pa из заданного числа a > 0.

14.В имеющемся компьютере предусмотрена арифметика с плавающей точкой, но неизвестно, сколько двоичных разрядов в мантиссе. Написать программу, проверяющую длину мантиссы.

15.(a) Представить слагаемые и результат в виде нормализованного числа с плавающей точкой двойной точности: ( 1)s 21023 e 1:f, где 1:f записано в двоичном виде. (б) Если результат неточный (не умещается целиком в мантиссе), то указать относительную погрешность ошибки. Исходные данные в десятичной системе счисления. 68; 25 212 + 17; 125 217

16.(а) Локализовать корни уравнения (для каждого корня zi указать отрезок [ai; bi], содержащий только один этот корень zi). Для каждого корня (б) построить итерационный процесс xn+1 = '(xn), сходящийся к корню и (в) указать начальное значение x0. 3x4 2x3 + 3x 1 = 0

17.Известно, что интервалу [a; b] принадлежит только корень x уравнения (другие корни интервалу не

принадлежат). (а) Построить итерационный процесс Ньютона xn+1 = xn f(xn)=f0(xn) и (б) обосновать какую из границ интервала [a; b] можно принять за x0. x cos x = 0; x 2 [1; 2]

18. (а) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции f(x) по узлам xi. (б) Оценить сверху погрешность jRn(x)j приближения функции многочленом. ex sin x x0 = 8; 5; x1 = 8; 75; x2 = 9

20.(а) Методом неопределённых коэффициентов составить формулу для вычисления указанной производной по значениям функции в указанных узлах. (б) Раскладывая y(xi) в ряд Тейлора, определить порядок p погрешности O(hp) полученной формулы.

y00(x0) = c0y(x0) + c1y(x1) + c2y(x2) + c3y(x3) + O(hp):

x0 ————— x1 ————— x2 ————— x3

21.Даны формула численного дифференцирования и таблично заданная функция y(x) (данные в таблице могут содержать погрешность не более ). Определить оптимальное значение шага hопт, когда достигается максимально возможная точность данной формулы, а неустойчивость численного дифференцирования ещё себя не проявляет.