Высшая математика

в этом случае называют общими уравнениями прямой L в пространстве.

Замечание. Очевидно, что для одной и той же прямой можно записать много общих уравнений вида (40).

Ранг совместной системы (40) будет равен 2. Число неизвестных в системе равно 3, поэтому система имеет бесконечное множество решений, число свободных неизвестных равно 3 – 2 = 1.

Систему (40) можно записать, например, в следующем виде:

Если A1

A2

A1 x + B1 y = −C1z − D1A2 x + B2 y = −C2 z − D2 .

B1 ≠ 0 , то переменную z можно задать произвольно, а величины

B2

x и y определить решением последней системы, например, методом Крамера.

Задача 3. Положение прямой линии L в пространстве можно задать также точ-

кой M1 ( x1 ,y1 ,z1 ) L и ненулевым на-

правляющим вектором r

uS ={sx ,sy ,sz } || L (рисунок 26). Записать уравнение такой прямой.

Рисунок 26

• Для произвольной точки M(x, y, z) в пространстве справедливо:

uuuuur	uuuuuur ur	uuuuuur	ur
M L M1 M || L M1 M || S		M1 M	= t S , где t – параметр.

В координатной форме последнее векторное равенство равносильно трём скалярным равенствам:

x − x1 = sx t
	= sy t .
y − y1		(41)
	= sz t
z − z1

(параметрические уравнения прямой).

Исключая параметр t из этих уравнений, можно уравнения прямой записать в виде канонических уравнений прямой:

x − x1	=	y − y1	=	z − z1	.	•	(42)
		sy
sx				sz

110

z = 1 , то

M1 ( 0, 1, 0 ).

Задача 4.	Записать канонические уравнения прямой, проходящей через две
заданные точки M1( x1 , y1 , z1 ) и M2( x2 , y2 , z2 ).
• Эта задача может быть сведена к задаче 3. В самом деле, за направляющий
ur		uuuuuuur			={x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1} . В качест-
вектор S можно принять вектор M1 M2
ве фиксированной точки можно взять любую из заданных точек, например M1.
Тогда канонические уравнения прямой имеют вид:
		x − x1	=		y − y1	=		z − z1	.	•	(43)
		x2 − x 1			y2 − y1			z2 − z1

Замечание. Одна или две координаты направляющего вектора могут быть равны нулю, что означает перпендикулярность прямой соответствующей координатной оси.

Например,

прямая

L :

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

перпендикулярна оси OX, а

1

0

sy

sz

прямая L :

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

перпендикулярна оси OY и оси OZ.

2

sx

0

0

Пример 21.

Привести к каноническому виду общие уравнения прямой

2 x + 3 y + 5z − 3 = 0

.

+ y + 2z −1 = 0

x

• Систему запишем в виде:

2 x + 3 y = 3 −5z

.

2z

x + y = 1 −

Данная система имеет бесконечное множество решений. Нам достаточно найти два решения.

Вначале положим, например, z = 0 , тогда

2 x + 3 y = 3

x + y = 1

Если взять

x = 0

y = 1

2 x + y = −2x = y = −1

x = −1	M2 ( −1, 0, 1 ) .
y = 0

Применяя формулы (43), получаем канонические уравнения:

x − 0	=	y − 1	=	z − 0		x	=	y − 1	=	z	. •
						−1		−1
−1 −0 0 − 1 1 − 0									1

Пример 22. Записать канонические, параметрические и общие уравнения прямой, проходящей через точки М1(1; 1; 0) и М2(2; 1; 3).

• Согласно формулам (43) получим канонические уравнения прямой:

111

x 1− 1 = y 0− 1 = 3z .

Канонические уравнения представляют пропорциональность координат направ-
r	={1; 0; 3}	uuuuur	={x −1, y −1, z} .
ляющего вектора S		и текущего вектора M1 M

Обозначим коэффициент пропорциональности буквой t, он изменяется с изменением координат текущей точки M(x, y, z). Параметрические уравнения прямой получаются, если приравнять каждую дробь параметру t в канонических уравнениях:

x −1					= t
	1					x = 1 + t
y −1
					= t , отсюда	y = 1 .
	0
		z		= t		z = 3t
	3

Общие уравнения прямой можно записать в виде системы:

y = 1

y = 1

z или

. •

x −1

=

3x − z − 3

= 0

1

3

2.3.2

Взаимное расположение прямых

Исследуем взаимное расположение двух прямых L1 и L2 , которые заданы

своими каноническими уравнениями:

L :

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

,

L :

x − x2

=

y − y2

=

z − z2

.

1

s1x

s1 y

s1z

2

s2 x

s2 y

s2z

Взаимное расположение L1

и L2 вполне определяется их направляющими векто-

uur

={s1x , s1 y , s1z

ur

={s2 x , s2 y , s2z } . Рассмотрим возможные случаи.

рами S1

} и S2

Случай 1. Прямые L1 и L2 лежат в

одной плоскости Р (рисунок 27).

Критерий этого можно сформулиро-

вать в таком виде:

L1 , L2 P

ur

uur uuuuuuuur

S1 , S2 , M1 M2 –

компланарные векторы.

Рисунок 27

Здесь точка M1(x1, y1, z1) L1, а M2(x2, y2, z2) L2.

Согласно критерию компланарности векторов (равенство нулю смешанного произведения) получаем:

112

	s1x	s1 y	s1z
L1 ,L2 P	s2 x	s2 y	s2z	= 0 .	(44)
	x2 − x1	y2 − y1	z2 − z1

Отметим, что если прямые L1 и L2 параллельны, то они лежат в одной плоскости. Критерий параллельности прямых L1 и L2 можно записать так:

uur

uur

s

s1 y

s

L || L

S

1

|| S

2

1x

=

=

1z

.

1

2

s2 x

s2 y

s2z

Для совпадения прямых нужно ещё, чтобы координаты какой-либо точки одной прямой удовлетворяли уравнениям другой. Например,

	x2 − x1	=	y2 − y1		=	z2 − z1	.
	s
			s			s
	1x		1 y			1z
Если L1 не параллельна L2, но L1, L2				P, то важными задачами являются
следующие задачи:
а) найти угол между прямыми L1 и L2;
б) найти точку пересечения этих прямых.								uur	uur
		uur uur
								S1	S2
• а) Очевидно, ( L1 ,L2 ) = ( S1 , S2 )				cos ( L1 ,L2 ) =				uur	uur	.
								| S1 |	| S2 |

б) Точку пересечения M0(x0, y0, z0) = L1 ∩ L2 можно определить из совместного решения канонических уравнений прямых L1 и L2. •

Случай 2. Прямые L1 и L2 не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.

Угол между скрещивающимися прямыми L1 и L2 определяется аналогично случаю 1.

Более сложной задачей является задача о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми. Решим эту задачу на конкретном примере.

Пример 23. Убедиться, что прямые

L :

x

=

y −1

=

z + 2

и

L :

x +1

=

y + 1

=

z − 2

−2

0

1

2

−1

1

1

2

– скрещивающиеся и найти расстояние между ними.

• Возьмём точку M1(0; 1; –2) L1 , точку M2(–1; –1; 2) L2 и вычислим

смешанное произведение векторов ur uur uuuuuuuur

S1 ={−2;0;1} , S2 ={1;2; −1} , M1M2 ={−1; −2;4} :

−2	0	1		2	−1		1	2
1	2 −1		= −2			+ 1			= −12 ≠ 0 .
−1	−2	4		−2	4		−1	−2

113

Согласно (44) делаем вывод, что L1 и L2 – скрещивающиеся прямые. Расстояние r(L1, L2) между L1 и L2 рав-

но расстоянию любой точки прямой L2,

например, точки М2(–1; –1; 2) до плоско-

сти P, проходящей через прямую L1 парал-

лельно прямой L2 (рисунок 28). Получим

уравнение такой плоскости P.

Пусть M(x, y, z) – текущая точка плоско-

uuuuur uuur uuur

сти P. Тогда векторы M1 M , S1 , S2 –

Рисунок 28

компланарные, поэтому смешанное произве-

дение этих векторов равно нулю:

x − 0

y − 1

z + 2

−2

0

1

= 0 −2x − ( y − 1 ) − 4( z + 2 ) = 0 2x + y + 4z +7 = 0

1

2

− 1

– уравнение плоскости P.

Таким образом, воспользовавшись формулой (38), получим

r( L ,L ) = r( M

2

,P ) =

| 2 ( −1 ) + 1 ( −1 ) + 4 2 +7 |

=

12

. •

1

2

2

2 + 12 + 42

21

2.3.3

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть прямая L задана каноническими уравнениями, а плоскость P – общим

уравнением:

L :

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

,

P : Ax + By +Cz + D = 0 .

sx

sy

sz

Взаимное расположение прямой L и плоскости P в основном определяется

ur

{sx , sy , sz

} || L и вектором nr ={A,B,C} P .

вектором S =

Рассмотрим воз-

можные случаи.

Случай 1. Прямая L параллельна плоскости P (рисунок 29).

r

r

r

ur

+Csz = 0 .

Запишем критерий: L || P n S

n

S = 0 Asx + Bsy

Случай 2. Прямая L лежит в плоскости P (рисунок 30).

К условию параллельности L и P нужно добавить дополнительное условие нали-

чия хотя бы одной общей точки у L и P, например, если M1(x1, y1, z1) L, то M1

Р.

114

Рисунок 29

Рисунок 30

Случай 3. Прямая L не параллельна плоскости P (рисунок 31).

r

r

≠ 0 . Важными здесь являются две задачи:

В этом случае n

S

Задача 5. Найти угол α между пря-

мой L и плоскостью Р (угол между L и

ее ортогональной проекцией на плос-

кость Р).

Задача 6. Найти точку пересечения

M0(x0, y0, z0) прямой L и плоскости Р.

Рисунок 31

r

r

Решение задачи 5.

Из рисунка 31 видно, что ( n, S ) = 900 ±α в зависимости

r

от того, тупой или острый угол между векторами n и S . В любом случае

r ur

| nr

r

| Asx

+ Bsy +Csz |

S |

sinα =| cos ( n, S )|=

r

ur

=

.

| n |

| S |

A2 + B2 +C 2 sx2 + s2y + sz2

ur

Замечание. Если прямая L перпендикулярна

r

плоскости Р, то векторы n и

S

коллинеарные:

ur

A

B

C

r

t – параметр.

L P

n || S

=

=

= t ,

sx

sy

sz

Решение задачи 6.

Точка M0(x0, y0, z0) – общая точка прямой L и плоскости Р,

поэтому для нахождения величин x0, y0, z0

необходимо решить систему уравне-

ний:

xo − x1

= y0 − y1 = z0 − z1

sx

sy

sz .

Ax

+ By +Cz

+ D = 0

0

0

0

115

Проще всего решить эту систему, если от канонических уравнений прямой перейти к параметрическим. Тогда система примет вид:

x		= x		+ s	t
y0		= y1		+ sxt
0			1		y		.
	= z1 + sz t
z0
Ax		0	+ By		+Cz	0	+ D = 0
				0

Подставляя из первых трёх уравнений x0, y0, z0 в четвёртое уравнение, получим линейное уравнение для параметра t:

A(x1 + sxt) + B(y1 + syt) + C(z1 + szt) + D = 0, отсюда t = − Ax1 + By1 + Cz1 + D . Asx + Bsy + Csz

Зная параметр t, легко определить точку М0.

Пример 24. Найти угол между прямой L : x 0−1 = 2y = z +1 1 и плоскостью

	P : x + y – z – 1 = 0. В случае не параллельности найти их точку пересечения.
			r
	• Выпишем направляющий вектор S ={0; 2; 1} прямой L и нормальный век-
	r		α между L и Р, согласно решению задачи 5,
	тор n ={1; 1; − 1}плоскости Р. Угол
	определится из равенства: sinα =		| 1 0 + 1 2 + ( −1 ) 1 |	=	1	.
		12 + 12 + ( −1 )2 02 + 22 + 12			15

Для нахождения точки M0( x0 , y0 , z0 ) пересечения прямой L и плоскости Р

x = 1

L y = 2t

запишем параметрические уравнения прямой : .

z = t −1

Подставим эти соотношения в уравнения плоскости: 1 + 2t – (t –1) – 1 = 0 . Отсюда t = –1. По найденному значению параметра t определим координаты искомой точки пересечения: x0 = 1, y0 = –2, z0 = –2 . •

Пример 25. Выяснить взаимное расположение прямой L : 1x = 1y = z +0 2 и

плоскости P : x – y + 2z + 4 = 0.

r	={1; 1; 0}		прямой L и нормальный век-
• Выпишем направляющий вектор S
	r	= 1 1	+( −1 ) 1 + 2 0 = 0 , то L P .
тор nr ={1; −1; 2} плоскости Р. Так как s n

Заметим, что точка M(0; 0; –2) общая точка прямой L и плоскости Р (почему?). Итак, прямая L лежит в плоскости Р. •

116

2.4 Поверхности второго порядка

Перейдем к изучению поверхностей второго порядка. Напомним, что уравнение таких поверхностей в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Kz + N = 0.

При рассмотрении вопроса о поверхностях могут быть поставлены задачи двух типов:

1)зная геометрические свойства поверхности, составить её уравнение;

2)имея уравнение поверхности, определить её геометрические свойства.

Рассмотрим основные задачи первого типа.

2.4.1 Цилиндрические поверхности

Поверхность, образованная прямыми линиями, параллельными фиксированной прямой L, называется цилиндрической поверхностью.

Упомянутые прямые называются образующими этой поверхности.

Цилиндрическая поверхность может быть получена так: через каждую точку некоторой линии K проводится прямая, параллельная прямой L, тогда полученные прямые и образуют цилиндрическую поверхность. Линия K называется направляющей этой поверхности. Очевидно, что всякая линия на цилиндрической поверхности, пересекающая все образующие этой поверхности, является её направляющей.

Рассмотрим случай, когда направляющая K лежит в плоскости OXY и имеет уравнение:

F( x,y ) = 0	.	(45)
z = 0

а образующие параллельны оси OZ (рисунок 32). Составим уравнение полученной

цилиндрической поверхности ∑.

Рисунок 32

Для этого возьмём произвольную (текущую) точку M(x, y, z) ∑ . Эта точка лежит на какой-то образующей. Если N – точка пересечения этой образующей с плоскостью OXY, то N K и координаты точки N должны удовлетворять уравнениям (45). Так как у точки N такие же абсцисса x и ордината y, что и у точки M, то эти абсцисса и ордината (точки M !) удовлетворяют первому уравнению системы

(45).

117

в плос-

Поскольку M – любая точка поверхности ∑ , то F(x, y) = 0 и будет уравнением этой поверхности.

Таким образом, уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси OZ, не содержит координаты z и совпадает с уравнением направляющей в плоскости OXY.

Аналогично,

уравнение вида F(y, z) = 0 будет уравнением цилиндрической поверхности с

F( y,z ) = 0

образующими, параллельными оси OX и направляющей K :

x = 0

кости OYZ;

уравнение вида F(x, z) = 0 – уравнение цилиндрической поверхности с обра-

F( x, z ) = 0

зующими параллельными оси OY и направляющей K : в плоскости

y = 0

OXZ.

Замечание. Уравнение F(x, y) = 0 на плоскости OXY определяет линию, но эта же линия в пространственной системе координат OXYZ задается двумя уравнениями:

F( x,y ) = 0		,
	= 0
z
так как одно уравнение F(x, y) = 0	в этом случае определяет цилиндрическую

поверхность.

Обычно цилиндрические поверхности называются по названию направляющей. При построении цилиндрической поверхности по ее уравнению полезно использо-

вать правило:

1)вначале построить по заданному уравнению направляющую в той плоскости, которая определяется переменными уравнения;

2)через каждую точку направляющей провести прямые (образующие), параллельные оси, название которой отсутствует в заданном уравнении.

Пример 26. Построить поверхности, заданные в пространстве следующими уравнениями: а) 2x – y + 4 = 0; б) y2 + z2 = 4; в) z = x2.

• а) Направляющей служит прямая линия в плоскости OXY, образующие параллельны оси OZ. Поверхностью является плоскость (рисунок 33 а)).

118

Рисунок 33, а) Рисунок 33, б)

б) Направляющей является окружность радиуса 2 в плоскости OYZ, а образующие параллельны оси OX. Поверхность – круговой цилиндр (рисунок 33, б)).

в) Направляющая – парабола в плоскости OXZ, образующие параллельны оси OY. Поверхность – параболический цилиндр (рисунок

33, в)). •

Рисунок 33, в)

Беря за направляющие цилиндрических поверхностей различные линии второго порядка, лежащие, например, в плоскости OXY, и принимая направление оси OZ за направление образующих этих цилиндров, мы получим цилиндрические поверх-

ности второго порядка (рисунок 34).

	x2	+		y2	= 1		x2	−	y2	= 1	y2 = 2 px
							a2
	a2			b2					b2
эллиптический цилиндр						гиперболический цилиндр					параболический цилиндр
						Рисунок 34
2.4.2			Поверхности вращения

Ряд поверхностей второго порядка принадлежит к числу так называемых поверхностей вращения. Остановимся на этом понятии.

Пусть некоторая линия K лежит в плоскости OYZ. Представим себе, что эта линия вращается вокруг, например, оси OZ, благодаря чему образуется некоторая поверхность, называемая поверхностью вращения.

Поставим вопрос о том, каким будет уравнение этой поверхности вращения.

Уравнение линии K можно в этом случае записать в виде

F( y,z ) = 0	.	(46)
x = 0
119