Пересечение поверхнолстей

Рисунок 6

11

3. Опорные точки.

Отметим плоскости, в которых лежат опорные точки линии пересечения. а) α – общая плоскость симметрии заданных поверхностей, в ней лежат самая верхняя (М) и самая нижняя (N) точки линии пересечения (отмечаем их

горизонтальные проекции М1 и N1).

б) β – плоскость главного фронтального меридиана цилиндра. В этой плоскости лежат точки C и D, которые являются соответственно самой левой и самой правой точкой линии пересечения (отмечаем их горизонтальные проекции C1 и D1). Так как плоскость β является границей видимости на π2 цилиндра, следовательно точки С и D будут точками изменения видимости на π2 по цилиндру.

в) γ – плоскость главного профильного меридиана цилиндра. В этой плоскости лежат точки Е и F, которые являются соответственно самой дальней и самой ближней точками линии пересечения.

г) σ – плоскость главного фронтального меридиана сферы. В этой плоскости лежат точки А и В (точки изменения видимости на π2 по сфере).

4. Промежуточные точки.

Для более точного построения проекции линии пересечения зададим промежуточные точки 1 и 2.

Имея достаточное количество проекций точек линии пересечения на π1, определим их фронтальные проекции по принадлежности сфере. Как известно, точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на этой поверхности. В качестве таких линий на поверхности сферы удобно брать окружности, параллельные какой-либо плоскости проекций. Окружности, на которых лежат искомые точки, выберем параллельно π2. Тогда на π1 эти окружности проецируются в отрезки, параллельные оси х12. На плоскость π2 они проецируются в натуральную величину – окружности. Радиус каждой окружности замеряем на π1 (он равен расстоянию от оси до очерка сферы). Строим на плоскости π2 проекции окружностей в натуральную величину. По линиям связи определяем фронтальные проекции искомых точек. На рисунке 6 показано построение фронтальной проекции точки 2.

5. Видимость линии пересечения.

Общей границей видимости линии пересечения на π2 является плоскость главного фронтального меридиана цилиндра (β1), поэтому участок линии пересечения, проходящий через точки C, A, M, E, 1, B, D на π2 не виден и изображается на чертеже штриховой линией.

6. Видимость очерков поверхностей.

Так как главный фронтальный меридиан цилиндра находится перед главным фронтальным меридианом сферы, то на π2 фронтальный очерк цилиндра обводим толстой линией до проекций точек C2 и D2. Фронтальный очерк сферы между проекциями точек А2 и В2 обводим тонкой линией, это означает, что

12

данный участок фронтального меридиана сферы находится внутри цилиндра (растворяется). За точками А2 и В2 часть меридиана сферы, закрытую меридианом цилиндра, изображаем штриховой линией.

3 Способ вспомогательных секущих плоскостей

Способ вспомогательных секущих плоскостей применяют в том слу-

чае, если секущие плоскости пересекают заданные поверхности по графически простым линиям (прямым или окружностям).

Пример. Построить проекции линии пересечения двух поверхностей.

1. Анализ условия.

Пересекаются две поверхности: прямой круговой конус Φ и сфера Ψ (рисунок 7). Обе поверхности занимают общее положение. Ось вращения конуса перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций (i π1).

2. Способ решения задачи.

Для построения линии пересечения данных поверхностей выбираем спо-

соб вспомогательных секущих плоскостей. Секущие плоскости (φ1, β, φ2),

параллельные π1, будут пересекать обе поверхности по окружностям.

3. Опорные точки.

Отмечаем плоскости, в которых лежат опорные точки:

α – фронтальная плоскость уров-

ня. Она является общей плоскостью симметрии данных поверхностей и одновременно – общей границей видимости на π2 и общей плоскостью главных фронтальных меридианов сферы и конуса.

β – горизонтальная плоскость уровня (плоскость экватора сферы) является границей видимости сферы на π1.

Для нахождения опорных точек, лежащих в плоскости α, пересекаем обе поверхности указанной плоскостью. Плоскость α пересекает конус Φ по двум

образующим, которые являются фрон-
тальным очерком конуса. Сферу Ψ
плоскость α пересекает по главному
фронтальному меридиану, то есть по
окружности, которая является фрон-
тальным очерком сферы.	Рисунок 7
13

В пересечении фронтальных очерков сферы и конуса отмечаем проекции точек А2 и В2 (А - самая верхняя, В – самая нижняя точки линии пересечения). Горизонтальные проекции точек А и В определяем по линиям связи в плоскости α.

Для определения точек изменения видимости линии пересечения на π1, пересекаем заданные поверхности плоскостью β. Плоскость β пересекает конус Φ по окружности радиуса R, а сферу Ψ – по окружности, являющейся экватором. В пересечении горизонтальных проекций получившихся линий отмечаем проекции точек С и D. Фронтальные проекции этих точек находим по линиям связи в плоскости β.

4. Промежуточные точки.

Промежуточные точки линии пересечения находятся на участке между

точками А и В. В этом промежутке вводим вспомогательные секущие плоско-

сти φ (φ1, φ2).

На рисунке 8 дан пример построения промежуточных точек 1 и 1'.

Для их нахождения вводим вспомогательную секущую плоскость φ1. Эта плоскость пересекает конус по окружности радиуса r. Эта же плоскость пересекает сферу по окружности радиуса r'. Строим горизонтальные проекции указанных окружностей, которые проецируются на π1 в натуральную величину. Отмечаем точки пересечения окружностей 11 и 1'1. Это и будут горизонтальные проекции искомых точек. Фронтальные проекции 12 и 1'2 находим по линиям связи в плоскости φ1.

Алгоритм построения точек 1 и 1'можно записать следующим образом:

1)вводим φ1║π1;

2)φ1 ∩ Φ = окр. r

3)φ1 ∩ Ψ = окр. r'

4)окр. r ∩ окр. r' = {1; 1'}

5)вводим φ2║φ1 и повторяем пункты 1…4.

Количество секущих плоскостей зависит от расстояния между точками А и В. Расстояние между секущими плоскостями рекомендуется брать в пределах

7…10 мм.

5. Видимость линии пересечения.

Общей границей видимости на π1 является плоскость β – плоскость экватора сферы, поэтому участок линии пересечения ниже точек С и D на π1 не виден и изображается штриховой линией.

Общей границей видимости на π2 является плоскость α. Линия пересечения симметрична относительно плоскости α, поэтому на π2 видимая часть линии пересечения закрывает невидимую. Точки невидимые на π2 взяты в скобки.

6. Видимость очерков.

Очерком конуса на π1 является его основание. Основание конуса находится ниже плоскости β (общей границы видимости на π1), поэтому на π1 изображается штриховой линией.

14

Очерком сферы на π1 является её экватор. Экватор сферы лежит в плоскости β, следовательно, на π1 он будет виден. Часть экватора между точками С и D (справа) обводится тонкой линией, так как растворяется внутри конуса.

Рисунок 8

4 Способ вспомогательных секущих сфер

Как уже отмечалось выше, в качестве вспомогательных секущих поверхностей могут использоваться сферы.

15

Почему именно сферы выбрали в качестве поверхностей-посредников? Чтобы ответить на этот вопрос рассмотрим частный случай пересечения поверхностей вращения - пересечение соосных поверхностей.

4.1 Соосные поверхности и построение линии пересечения соосных поверхностей

Соосными называются две поверхности вращения, имеющие общую ось вращения.

Например, соосными являются цилиндр и конус на рисунке 9.

Рисунок 9

Теорема о пересечении соосных поверхностей:

Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения полумеридианов поверхностей. Плоскости окружностей перпендикулярны к общей оси вращения.

На рисунке 9 цилиндр и конус пересекаются по окружности n (n2). Плоскость этой окружности α перпендикулярна общей оси вращения i и проходит через точку 1 – точку пересечения полумеридианов заданных поверхностей.

Если центр сферы лежит на оси какой-либо поверхности вращения, то сфера соосна с этой поверхностью и пересекает ее по окружности.

На рисунке 10 приведены примеры сфер соосных с разными поверхностями вращения и построены проекции окружностей, по которым сферы пересекают эти поверхности.

Рисунок 10

16

Свойство сфер пересекать соосные с ними поверхности вращения по окружностям и положено в основу способа вспомогательных секущих сфер.

4.2 Способ сфер-посредников

Как уже отмечалось выше, линия пересечения двух поверхностей представляет собой пространственную кривую. Чтобы построить эту кривую нужно построить множество точек, одновременно принадлежащих каждой из пересекающихся поверхностей. Порядок нахождения общих точек с помощью вспомогательной секущей сферы рассмотрим на примере.

Пусть пересекаются две поверхности вращения: прямой круговой конус Φ и прямой круговой цилиндр Ψ (рисунок 11). Оси вращения заданных поверхностей лежат в одной плоскости и пересекаются в точке О (і ∩ j = О).

Рисунок 11

Алгоритм решения задачи на определение общих точек линии пересечения поверхностей.

1.Вводим вспомогательную секущую сферу с центром в точке О. Центр сферы точка О совпадает с точкой пересечения осей вращения (і ∩ j = О). В этом случае сфера будет соосна с каждой из заданных поверхностей.

2.Строим линию пересечения сферы с конусом. Это будет окружность m.

3.Строим линию пересечения сферы с цилиндром. Это будет окружность

n.

4.Находим точки пересечения двух окружностей – точки А и В. Это и будет первая пара искомых точек.

m ∩ n ={ A; B }

17

Если в той же точке О, как в центре, построить еще одну сферу и повторить пункты 2, 3 и 4, то получим другие точки искомой линии пересечения.

Условия выбора способа сфер

Вспомогательные секущие сферы можно применить только при одновременном выполнении следующих условий:

1)пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

2)заданные поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, параллельную какой-либо плоскости проекций;

3)каждая из поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым сферы будут пересекать эти поверхности;

а) если оси заданных поверхностей пересекаются (i ∩ j = O), выбирают способ концентрических сфер

б) если оси заданных поверхностей скрещиваются, выбирают способ эксцентрических сфер

4.3 Способ концентрических сфер

Пример. Построить линию пересечения двух поверхностей (рисунок 12).

1. Анализ условия.

Пересекаются два прямых круговых конуса. Обозначим конус с осью вращения i π1 буквой Ψ, а конус с осью j π3 буквой Φ. Обе поверхности общего вида.

2. Способ решения задачи.

Для построения линии пересечения применяем способ концентрических сфер, так как выполняются все необходимые условия:

•обе поверхности – поверхности вращения;

•имеется общая плоскость симметрии α, параллельная одной из плоскостей проекций (α ║ π2);

•каждая из поверхностей несет на себе семейство окружностей (на поверхности Ψ окружности і, на поверхности Φ окружности ј);

•оси поверхностей пересекаются (i ∩ j = О).

3.Опорные точки.

Прежде всего, отмечаем плоскости, в которых лежат опорные точки кривой пересечения.

α – фронтальная плоскость уровня. Она является общей плоскостью симметрии и общей границей видимости на π2 для заданных поверхностей.

18

β– горизонтальная плоскость уровня (граница видимости на π1 конуса Φ

иодновременно общая граница видимости линии пересечения на π1).

Теперь находим опорные точки, лежащие в этих плоскостях.

Общая плоскость симметрии α пересекает обе поверхности по образующим, которые являются очерковыми данных конусов на π2. В пересечении этих образующих отмечаем проекции точек А2 и В2 (точка А – самая верхняя точка кривой пересечения, точка В – самая нижняя).

Рисунок 12

19

Так как плоскость α является еще и общей границей видимости двух поверхностей на π2, то точки А и В – это еще и точки изменения видимости кривой пересечения на π2.

Точки изменения видимости на π1 найдем с помощью плоскости β.

а) плоскость β пересекает поверхность Ψ по окружности k (r – радиус окружности k)

β ∩ Ψ = окр.k

б) плоскость β пересекает поверхность Φ по двум образующим, которые являются очерковыми конуса Φ на π1

β ∩ Φ = две образующие (а;b);

в) при пересечении окружности k и образующих а и b получаем точки С и D, которые и будут точками изменения видимости кривой пересечения на π1;

k ∩ a = C k ∩ b = D

Для построения остальных точек применяем способ концентрических сфер (рисунок 13). За центр сфер принимаем точку О – точку пересечения осей i и j (i ∩ j = О)

Чтобы избежать лишних построений, необходимо определить размеры радиусов наименьшей и наибольшей сфер, пригодных для решения задачи.

Радиус максимальной сферы (Rmax) определяем как расстояние от точки О до наиболее удаленной точки пересечения фронтальных меридианов (очерковых образующих) заданных поверхностей.

О2А2 < О2В2 => Rmax = О2В2

Радиус минимальной сферы (Rmin) равен наибольшему из расстояний от точки О до очерковых образующих пересекающихся поверхностей.

Для нахождения Rmin из проекции точки О (О2 ) проводим два перпендикуляра к очерковым образующим поверхностей.

O2M2 > O2N2 => Rmin = O2M2

Таким образом, сфера минимального радиуса должна быть вписана в одну поверхность, а другую пересекать.

Нахождение первой пары точек с помощью минимальной сферы

а) вводим сферу радиусом Rmin;

б) сфера Rmin пересекает поверхность Ψ по окружности m (m2); в) сфера Rmin пересекает поверхность Φ по окружности n (n2); г) отмечаем точки пересечения полученных окружностей

m ∩ n = {1;1'}

Точки 1 и 1' будут самыми правыми точками искомой линии пересечения.

20