аналитическая геометрия

		ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,																								[e-mail], [phone]
			( x −3)2 + y2 − 4 y + 4 = 3y2 −6 y + 3,
			( x −3)2 − 2 y2 + 2 y +1 = 0,
					2											2											1									3
			( x −3)			− 2 y											− y +															+						= 0,
																																				2
																											4
			( x −3)2 − 2( y −																		1				)2 = −												3	,
																		2																		2
																							1				2
				( x −			3)						2			y −
																							2
															−																	= −1,
						3													3
				2															4
										1					2
				y −														( x −3)												2
										2
																−																	=1 .
							3																	3
									4											2
Если в последнем уравнении сделать замену переменных
															x = Y									,
															y = X
то получится уравнение
							−			1					2
				X															(Y −									3)			2
										2
																−																		=1,
							3																	3
									4												2
задающее гиперболу с центром в точке																																	1		;3				, действительной полуосью
																												2
	3
a =			, мнимой полуосью b =				3								и фокусами,																								расположенными на прямой
2							2

X= 1 .

2

5.ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

∙Общее уравнение плоскости L в пространстве имеет вид

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 21

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

Ax + By +Cz + D = 0

·Вектор N = ( A; B;C) перпендикулярен плоскости L . Этот вектор так-

же называют нормальным вектором плоскости.
·	Две плоскости A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 параллель-
ны тогда и только тогда, когда векторы N1 = ( A1; B1;C1 )					и N2 = ( A2 ; B2 ;C2 ) колли-
неарны.
∙	Две плоскости		A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 перпенди-
кулярны тогда и только тогда,				когда векторы N1 = ( A1; B1;C1 ) и N2 = ( A2 ; B2 ;C2 )
перпендикулярны. В этом случае A1 A2 + B1B2 +C1C2 = 0 .
·	Угол	ϕ	между	плоскостями	A1x + B1 y +C1z + D1 = 0	и
A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 находится с помощью соотношения

cosϕ =		(N1			× N2 )						.
			N1		×		N2

·Расстояние от точки M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) до плоскости Ax + By +Cz + D = 0 вы-

числяется по формуле

d (M 0 ; L) =		Ax0	+ By0 +Cz0	+ D			.
			A2 + B2 +C 2

·Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) и пер-

пендикулярной вектору l = (a;b;c) , имеет вид

a (x − x0 )+ b (y − y0 )+ c (z − z0 ) = 0 .

·Уравнение плоскости, проходящей через три точки M1 (x1; y1; z1 ),

M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) и M 3 (x3; y3; z3 ), имеет вид

x − x1 x2 − x1 x3 − x1

y − y1 y2 − y1 y3 − y1

z − z1

z2 − z1 = 0 . z3 − z1

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 22

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

∙ Уравнение плоскости, пересекающей оси координат OX, OY и OZ в точках с координатами (a;0;0), (0;b;0) и (0;0;c) , имеет вид

x + y + z =1 . a b c

Это уравнение называют уравнением плоскости в отрезках.

∙Неравенства

Ax + By +Cz + D > 0 и Ax + By +Cz + D < 0

задают полупространства.

∙Уравнение прямой линии в пространстве, проходящей через точку

M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) и параллельной вектору l = (a;b;c) , имеет вид

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

a

b

c

∙ Уравнение прямой линии в пространстве, проходящей через две

точки

M1 (x1; y1; z1 ) и M 2 (x2 ; y2 ; z2 ), имеет вид

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

.

x

2

− x

y

2

− y

z

2

− z

1

1

1

∙

Прямая линия в пространстве, проходящая через точку M 0 (x0 ; y0 ; z0 )

и параллельная вектору l = (a;b;c) ,

может быть задана при помощи парамет-

рических уравнений

x = at + x0

,

y = bt + y0

z = ct + z0

где параметр t принимает все значения −∞ < t < +∞ .

Пример 5.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

M1 (1; −2; 3), M 2 (0; 1; 5) и M 3

(4; −1; 2).

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через 3 точки:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 23

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

	x −1	y + 2 z −3				x −1 y + 2 z −3
0 =	0 −1	1+ 2 5 −3		=		−1	3	2		.
	4 −1	−1+ 2 2 −3				3	1	−1

Раскрывая этот определитель, например, по первой строке, получим

0 = −5(x −1)−5(y + 2)−10 (z −3).

Производя упрощения, находим уравнение плоскости:

x + y + 2z −5 = 0 .

Пример 5.2. Составить канонические уравнения прямой, заданной пересечением плоскостей П1: x − 2у + 3z = 0 и П2: 4х − у + 2z − 7 = 0.

Решение. Найдем координаты (x0 ; y0 ; z0 ) какой-нибудь точки М0, лежа-

щей на прямой. Для этого положим, например, что z0 = 0 . Тогда из уравнений плоскостей получаем:

x0 − 2 y0 = 0			x0	= 2
	− y0	= 7		.
4x0			y0	=1

Следовательно, M 0 = (2; 1; 0). Найдем направляющий вектор прямой, вычис-

лив векторное произведение векторов N1 = (1; − 2; 3), N2 = (4; −1; 2), перпен-

дикулярных плоскостям П1 и П2:

				r	r	r
ur	uur	uur		i	j	k
							= (−1; 10; 7).
l	= N1	× N2	=	1	−2	3
				4	−1	2

Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через точку и параллельной заданному вектору, получаем:

x − 2 = y −1 = z .

−1 10 7

Пример 5.3. Даны точки А(2;1;−1), В(3;4;1), С(5;0;3) и D(−1;2;2).

Требуется:

а) убедиться в том, что эти точки не лежат в одной плоскости;

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 24

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

б) найти проекцию D1 точки D на плоскость АВС; в) найти расстояние от точки D до плоскости АВС; г) найти площадь ∆АВС;

д) составить уравнение плоскости П, проходящей через прямую АD и

перпендикулярной плоскости АВС.

Решение.

а) Рассмотрим векторы AB = (1; 3; 2),

AC = (3; −1; 4), AD = (− 3;1; 3) и най-

дем их смешанное произведение:

uuuur uuur uuur

1

3

2

= -70 ¹ 0 .

=

-1 4

( AB, AC, AD)

3

-3

1

3

Отсюда следует, что точки А, В,

С и D не лежат в одной плоскости.

б) Составим уравнение плоскости

АВС. Для этого сначала найдем нор-

мальный вектор плоскости АВС:

r

s

r

i

j

k

= (14; 2; −10).

N = AB × AC =

1 3

2

3 −1

4

Так как точка A(2;1;−1)

лежит на плоскости, то уравнение плоскости можно

представить в виде

14(x − 2)+2( y − 1) − 10(

z + 1) = 0,

или, произведя упрощение, – в виде

7x + y − 5 z − 20 = 0.

N

Прямая DD1 проходит через точку D и пер-

D

d

пендикулярна

плоскости

АВС. Отсюда

можно

C

найти

параметрические

уравнения

прямой:

D1

x = 7t −1,

A

B

+ 2,

y = t

z = −5t + 2.

Подставив эти выражения в уравнение плоскости

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 25

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

АВС, найдем значение параметра t:

7(7t − 1) + ( t + 2) − 5(−5 t + 2) − 20 = 0,

75t = 35, t = 7 .

15

Следовательно,

	49					34
x =					-1 =			,
	15					15
	7					37				34		37			1
y =					+ 2 =			, D1		=		;		; -		.
	15					15									3
										15		15
			7				1
z = -					+ 2 = -				.
			3
							3

в) Воспользовавшись формулой для расстояния от точки до плоскости, получим:

d (D; ABC ) =

7(-1) + 2 - 5× 2 - 20

=

35

=

7

.

49 +1+ 25

75

3

г) Найдем площадь ∆АВС:

1

1

1

S ABC =

AB × AC

=

N

=

142 + 22 + (−10)2 =

49 +1 + 25

=

75

= 5

3 .

2

2

2

д)

Найдем нормальный вектор N1 плоскости

П:

N

D

r

r

r

uur

uuur uur

i

j

k

= (-16;12; -20).

П

N1

= АD ´ N

=

-3

1

3

14

2

-10

СПоскольку плоскость П проходит через точку А

А

и перпендикулярна к вектору N1 , получаем:

N1

В

−16( х − 2) +12( у −1) − 20( z +1) = 0 ,

4x −3y +5z = 0.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 26

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

6. ПОНЯТИЕ О ПОВЕРХНОСТЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. СФЕРА И ЭЛЛИПСОИД

∙ Поверхностью второго порядка в трехмерном пространстве OXYZ называется множество точек, координаты (x; y; z) которых удовлетворяют ал-

гебраическому уравнению второго порядка относительно переменных

(x; y; z).

∙Простейшими из поверхностей второго порядка являются сфера и эллипсоид.

∙Сферой радиуса R в трехмерном пространстве называется множество всех точек трехмерного пространства, находящихся на расстоянии R от некоторой точки M1 (x0; y0 ; z0 ) , которая называется центром сферы.

∙Уравнение сферы радиуса R с центром в точке M1 (x0; y0 ; z0 ) имеет

вид

(x − x )2	+(y − y	)2 + (z − z	)2 = R2 ,	(6.1)
0	0	0

которое можно переписать в форме

(x − x	)2	+	(y − y	)2		(z − z	)2	(6.2)
0			0		+	0	−1 = 0
R2			R2			R2

∙Если точка M (x; y; z) лежит вне сферы, то ее координаты удовле-

творяют неравенству

(x − x	)2	+	(y − y	)2		(z − z	)2	(6.3)
0			0		+	0	−1 > 0 .
R2			R2			R2

∙Если точка M (x; y; z) лежит внутри сферы, то ее координаты удов-

летворяют неравенству

(x − x	)2	+	(y − y	)2		(z − z	)2	(6.4)
0			0		+	0	−1 < 0 .
R2			R2			R2

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 27

ООО «Резольвента»,	www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]
∙ Эллипсоидом	в трехмерном пространстве называется множество

всех точек трехмерного пространства M (x; y; z), координаты которых удов-

летворяют уравнению

(x − x	)2	+	(y − y	)2		(z − z	)2	(6.5)
0			0		+	0	−1 = 0
a2			b2			c2

∙Положительные числа a, b, c называются полуосями эллипсоида.

∙Точка M 0 (x0; y0 ; z0 ) является центром симметрии эллипсоида и на-

зывается центром эллипсоида.

∙Если точка M (x; y; z) лежит вне эллипсоида, то ее координаты удов-

летворяют неравенству

(x − x	)2	+	(y − y	)2		(z − z	)2	(6.6)
0			0		+	0	−1 > 0 .
a2			b2			c2

∙Если точка M (x; y; z) лежит внутри эллипсоида, то ее координаты

удовлетворяют неравенству

(x − x	)2	+	(y − y	)2		(z − z	)2	(6.7)
0			0		+	0	−1 < 0 .
a2			b2			c2

∙Если у эллипсоида все три полуоси равны, то эллипсоид представляет собой сферу.

∙Если у эллипсоида две из трех полуосей равны, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения.

Пример 6.1. Составить уравнение сферы с центром в точке M1 (−1;2;−4)

ирадиусом 5 .

Решение. Воспользовавшись формулой (6.1), получаем

(x +1)2 +(y −2)2 + (z +4)2 = 5.

Пример 6.2. Определить тип и геометрические свойства поверхности второго порядка, заданной уравнением

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 28

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail],	[phone]
x2 +2 y2 +3z2 +2x +8 y +12z = 0 .	(6.8)

Решение. Выделим в соотношении (6.8) полные квадраты по каждой из переменных x , y и z :

x2 +2 y2 +3z2 +2x +8 y +12z =

=(x2 +2x)+(2 y2 +8 y)+(3z2 +12z)=

=(x2 +2x)+2(y2 +4 y)+3(z2 +4z)=

=(x2 +2x +1−1)+2(y2 +4 y +4 −4)+3(z2 +4z +4 −4)=

=(x2 +2x +1)−1+2(y2 +4 y +4)−8 +3(z2 +4z +4)−12 =

=(x +1)2 +2(y +2)2 +3(z +2)2 −21 = 0.

Далее получаем:

(x +1)2 +2(y +2)2 + 3(z +2)2 = 21,

(x +1)2

+

2(y +2)2

+

3(z +2)2

=1,

21

21

21

(x +1)2

+

(y +2)2

+

(z +2)2

=1.

21

21

7

2

Таким образом, уравнение (6.8) задает эллипсоид с полуосями

	a =		b =	21	, c =		,
		21,
						7
	2

центр которого находится в точке M1 (−1;−2;−2) .

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 29

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Что называется скалярным произведением векторов?

2.Что называется смешанным произведением векторов?

3.Что называется векторным произведением векторов?

4.Каким свойством обладают два вектора, если их скалярное произведение равно нулю?

5.Каким свойством обладают два вектора, если их векторное произведение равно нулю?

6.Каким свойством обладают три вектора, если их смешанное произведение равно нулю?

7.Что называется уравнением прямой на плоскости в отрезках?

8.Что называется параметрическими уравнениями прямой на плоскости?

9.Как найти координаты нормального вектора к прямой на плоскости по ее уравнению?

10.Какова формула расстояния от точки до прямой на плоскости? 11.Что называется уравнением плоскости в отрезках?

12.Как составить уравнение плоскости, проходящей через три точки? 13.Как составить уравнение плоскости, перпендикулярной к данной пря-

мой и проходящей через заданную точку?

14.Как найти координаты нормального вектора к плоскости по ее уравнению?

15.Как найти угол между плоскостями?

16.Какими способами можно задать прямую в пространстве?

17.Что такое эллипс?

18.Что такое парабола?

19.Что такое гипербола?

20.Что такое эксцентриситет эллипса?

21.Что такое эксцентриситет параболы?

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 30