ryaba_diffury / ryaba_diffury / Ряба_ДУ_5
.pdfДругие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
Сокращения:
ДУ – дифференциальное уравнение; о/р – общее решение; о/и – общий интеграл; ч/р – частное решение.
ИДЗ-11.1
1.5. Найти о/и ДУ.
(1 ex ) ydy eydx 0
Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
(1 ex ) ydy eydx
ye ydy dx x
1 e
Левую часть интегрируем по частям: u y du dy
dv e ydx v e yudv uv vdu
В интеграле правой части проведем замену:
t 1 ex ; ex t 1 |
|
|
|
dt exdx dx dt |
|
dt |
|
t 1 |
|||
ex |
|
Таким образом: |
|
|
dt |
|
|
|||||||||
ye y e ydy |
|
|
|
|
||||||||||
t(t 1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
|
y |
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||
ye |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
t |
dt |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
e y ( y 1) ln t 1 ln t C
e y ( y 1) ln1 ex 1 ln1 ex
Ответ: о/и: e y ( y 1) ln |
ex |
|
1 ex |
||
|
2.5. Найти о/и ДУ.
(x 4)dy xydx 0
Решение: Данное уравнение переменные и интегрируем:
(x 4)dy xydx
C
C, где C const
допускает разделение переменных. Разделяем
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
dy |
|
xdx |
|
|
y |
|
x 4 |
|
|
dy |
|
|
(x 4 4)dx |
|
y |
|
|
|
|
|
x 4 |
dy (x 4 4)dx y x 4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ln |
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ln |
|
y |
|
x 4ln |
|
x 4 |
|
C |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y ex ln(x 4) 4 C |
|
|
|
|
Cex |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 4)4 |
|
|
|||
Ответ: о/р: y |
|
|
|
|
Cex |
C, |
где C const |
||||||||||||||
|
(x 4)4 |
3.5. Найти о/и ДУ.
( y2 2xy)dx x2dy 0
Решение: Данное уравнение является однородным, проведем замену: y tx dy xdt tdx
(t2 x2 2x tx)dx x2 (xdt tdx) 0 (t2 2t)dx xdt tdx 0
(t2 2t t)dx xdt 0 xdt (t2 t)dx
|
dt |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||
t t2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dt |
|
|
|
dx |
||||||
t(1 t) |
x |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt ln |
x |
ln |
C |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
t |
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ln t ln t 1 ln Cx
Обратная замена: t |
y |
|
|||||||||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ln |
|
|
|
x |
|
|
|
ln |
|
|
Cx |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ln |
|
|
|
|
y |
|
ln |
|
|
Cx |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||||
Ответ: |
о/и: |
Cx, |
где C const |
||||||||||||||||||
y x |
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
4.5. Найти ч/р ДУ.
y 2x(x2 y) , y(0) 0
Решение:
y 2x3 2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y 2xy 2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Данное |
|
|
уравнение |
|
является |
линейным |
неоднородным, |
замена: |
||||||
y uv y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2xuv 2x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
u v uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2xv) 2x |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
u v u(v |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
v 2xv 0 |
. |
|
|
|
||||
Решим систему: |
|
2x |
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
u v |
|
|
|
|
|
|||
Из первого уравнения найдем v(x) : |
|
|
|
|||||||||||
dv 2xv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
2 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln v x2
v ex2 – подставим во второе уравнение: u ex2 2x3
dudx 2x3e x2
u 2 x3e x2 dx (*)
Интегрируем по частям: u~ x2 du~ 2xdx
~ |
|
x2 |
dx e |
x2 |
d( x |
2 |
~ |
|
x2 |
|
|
dv 2xe |
|
|
|
) v e |
|
|
|
||||
~ ~ |
~~ |
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
udv |
uv |
vdu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) x2e x2 2 xe x2 dx x2e x2 e x2 d( x2 ) x2e x2 |
e x2 C |
||||||||||
о/р: y uv x2e x2 |
e x2 |
C ex2 |
Cex2 |
x2 1, где C |
const |
Найдем ч/р, соответствующее заданному начальному условию: y(0) C 0 1 0 C 1
Ответ: ч/р: y ex2 x2 1
ИДЗ-11.2
1.5. Найти ч/р ДУ и вычислить значение полученной функции при x x0 с точностью до двух знаков после запятой.
y 4cos 2x , x0 4 , y(0) 1, y (0) 3
Решение:
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
Данное уравнение имеет вид y(n) f (x) . Дважды интегрируем правую часть: y 4 cos 2xdx 4 12 sin 2x C1 2sin 2x C1
В соответствии с начальным условием: y (0) 0 C1 3 C1 3
y(2sin 2x 3)dx cos 2x 3x C2
Всоответствии с начальным условием: y(0) 1 0 C2 1 C2 2
Таким образом, искомое ч/р: y cos 2x 3x 2
|
|
|
cos |
|
|
|
3 |
|
2 0 |
|
3 |
|
|
2 4,36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
4 |
|
2 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: ч/р: y cos 2x 3x 2 , |
|
|
|
|
4,36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.5. Найти о/и ДУ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
P |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1, Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x2 y2 |
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
/ |
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x x |
|
|
y |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
2 (x |
|
y |
|
)y |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 |
2y) |
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(x2 y2 )3 |
|
(x2 y2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
/ |
|
y |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
y |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
2 (x |
|
y |
|
)x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
(x2 y2 )3 |
|
|
|
|
|
(x2 y2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P Q , значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах.
y x
dF(x; y) Fx dx Fy dy
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
F |
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
d |
(x |
2 |
y |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
F(x; y) |
|
|
|
|
|
|
|
1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
x |
|
y |
|
x ( y) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
2 |
y |
2 |
2 |
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
F |
|
|
|
x ( y) /y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
0 y ( y) |
|
|
|
y |
||||||||||||||||
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x2 y2 |
|
|
|
x2 y2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ( y) 0 ( y) C const
Ответ: о/и: x2 y2 x C, где C const
ИДЗ-11.3
1.5 Найти о/р ДУ.
а) y 2y 10y 0
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
2 2 10 0
D 4 40 36
|
2 6i |
1 3i – сопряженные комплексные корни |
|||||
1,2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: о/р: y ex (C sin 3x C |
2 |
cos3x), где |
C ,C |
2 |
const |
||
|
|
1 |
|
1 |
|
б) y y 2y 0
Решение: Характеристическое уравнение:
2 2 0
D 1 8 9; D 3
1,2 12 3
1 2 , 2 1 – различные действительные корни
Ответ: о/р: y C1e 2 x C2ex , где C1,C2 const
в) y 2y 0
Решение: Характеристическое уравнение:
2 2 0( 2) 0
1 0 , 2 2 – различные действительные корни
Ответ: о/р: y C1 C2e2 x , где C1,C2 const
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
2.5. Найти о/р ДУ
y 3y 2y (34 12x)e x
Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 3y 2y 0
Характеристическое уравнение:
2 3 2 0
D 9 8 1; |
|
D |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1,2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– различные действительные корни, поэтому о/р: Y C ex C |
e2 x |
|||||||||||||
1, |
|
2 |
||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
1 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
. |
|
|
||
Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: y (Ax B)e |
|
|
|
|||||||||||||||||
y |
Ae |
|
(Ax B)e |
|
( Ax A B)e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
~ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
Ae |
|
( Ax A B)e |
|
(Ax 2A B)e |
|
|
|
|
|
||||||||||
~ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
Подставим y |
, y , |
y в левую часть неоднородного уравнения: |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3y 2y (Ax 2A B)e x 3( Ax A B)e x 2(Ax B)e x
(Ax 2A B 3Ax 3A 3B 2Ax 2B)ex (6Ax 5A 6B)e x (34 12x)e x
6A 12 |
|
|
A 2; B 4 |
|
|
|
|
|
||||
|
6B 34 |
|
|
|
|
|
||||||
5A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ |
2x)e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: о/р: y |
|
~ |
C1e |
x |
C2e |
2 x |
(4 2x)e |
x |
, |
где C1,C2 ,C3 const |
||
Y y |
|
|
|
3.5. Найти о/р ДУ.
y 6y 34y 18cos5x 60sin 5x
Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 6y 34y 0
Характеристическое уравнение:
2 6 34 0
D 36 136 100
|
6 10i |
|
|
1,2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1,2 |
3 5i – сопряженные комплексные корни, поэтому о/р: |
||
Y e3x C cos5x C |
2 |
sin 5x . |
|
1 |
|
|
Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: ~y Acos5x Bsin 5x .
~y 5Asin 5x 5B cos5x ~y 25Acos5x 25Bsin 5x
Подставим ~y , ~y и ~y в левую часть неоднородного уравнения:
y 6y 34y 25Acos5x 25Bsin 5x 6( 5Asin 5x 5Bcos5x) 34(Acos5x Bsin 5x)
25Acos5x 25Bsin 5x 30Asin 5x 30Bcos5x 34Acos5x 34Bsin 5x
(9A 30B)cos5x (30A 9B)sin 5x 18cos5x 60sin 5x
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
|
|
9A 30B 18 |
90A 300B 180 |
327B 0 B 0; A 2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
30A 9B |
90A 27B 180 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Таким образом: y 2cos5x . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
e |
3x |
C1 cos5x C2 sin 5x 2cos5x, |
где C1 |
,C2 |
const |
|||
|
|
Ответ: о/р: y Y y |
|
||||||||||||||
|
|
4.5. Найти ч/р ДУ, соответствующее заданным начальным условиям. |
|||||||||||||||
y |
|
14y |
|
53y 53x |
3 |
42x |
2 |
59x 14 ; y(0) 0 ; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y (0) 7 |
|
|
|
Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 14y 53y 0
Характеристическое уравнение:
2 14 53 0
D 196 212 16
|
14 4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1,2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
7 2i |
– сопряженные комплексные корни, поэтому о/р: |
|||||||||||||||||
Y e7 x C cos 2x C |
2 |
sin 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Bx |
2 |
Cx D . |
|
Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: y Ax |
|
|
|||||||||||||||||
~ |
|
2 |
2Bx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y 3Ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
~y 6Ax 2B |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставим |
~ |
, |
|
в левую часть неоднородного уравнения: |
|||||||||||||||
y |
y |
и y |
|||||||||||||||||
y 14y 53y 6Ax 2B 14(3Ax2 2Bx C) 53(Ax3 Bx2 Cx D) |
|||||||||||||||||||
53x3 42x2 59x 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
53A 53 |
|
|
|
|
|
|
|
A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
42A 53B 42 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
B |
|
C |
1; D 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
53C 59 |
|
|
53 |
|
|||||||||||
6A 28B |
|
|
53C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
53D 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2B 14C |
|
14C 53D 14 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
x |
3 |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом: y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
О/р неоднородного уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
~ |
|
|
7 x |
C1 cos 2x |
C2 sin 2x x |
3 |
x, где |
C1,C2 const |
||||||||||
y Y y e |
|
|
|
Найдем ч/р, соответствующее заданным начальным условиям:
y 7e7 x C1 cos 2x C2 sin 2x e7 x 2C1 sin 2x 2C2 cos 2x 3x2 1
y(0) C1 0 |
|
C2 |
3 |
|
|
2C2 1 |
7 |
||
y (0) 7C1 |
|
|
||
Ответ: ч/р: |
y 3e7 x sin 2x x3 |
x |
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
5.5 Определить и записать структуру ч/р y* линейного неоднородного ДУ по виду функции f (x)
y 49 y f (x) |
|
а) f (x) x3 4x |
б) f (x) 3sin 7x |
Решение: Найдем о/р однородного уравнения:
2 49 0
1,2 7i – сопряженные комплексные корни, поэтому о/р:
Y C1 cos7x C2 sin 7x, где C1,C2 const
а) Если правая часть имеет вид f (x) x3 4x , то ч/р неоднородного уравнения следует искать в виде ~y Ax3 Bx2 Cx D
б) Правая часть имеет вид f (x) 3sin 7x .
Контрольное число правой части 7i совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому ч/р неоднородного уравнения следует искать в виде ~y Axsin 7x Bx cos7x
ИДЗ-11.4
3.5. Решить ДУ методом вариации произвольных постоянных
|
|
|
1 |
|
y |
9y sin 3x |
|||
|
Решение: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: y 9y 0
1,2 3i – сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
Y C* cos3x C* sin 3x где |
C*,C* const . |
||
1 |
2 |
1 |
2 |
Используем метод вариации произвольных постоянных. Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: y Z1(x)cos3x Z2 (x)sin 3x
Функции Z1 (x) , Z2 (x) |
найдем как решение системы: |
|
||||||||||
Z (x) y Z |
|
(x) y |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
f (x) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z1 |
(x) y1 Z |
2 |
(x) y2 |
a0 |
(x) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В данном случае: y1 cos3x , |
y1 3sin 3x , |
y2 sin 3x , |
y2 3cos3x , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) 1 sin 3x
a0 (x) 1 Таким образом:
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
cos3x Z (x) sin 3x Z |
|
(x) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin 3x Z1(x) y1 3cos3x Z2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Систему решим по формулам Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
W |
|
|
cos3x |
|
|
|
sin 3x |
|
3cos2 3x 3sin2 3x 3 0 , |
значит, |
система |
имеет |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3sin 3x |
3cos3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
единственное решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
0 sin 3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
W1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3cos3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Z1(x) |
W1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z (x) 1 |
|
|
dx 1 C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
cos3x |
|
0 |
|
|
|
|
cos3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
W2 |
|
3sin 3x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Z1(x) |
W2 |
|
|
cos3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Z2 (x) |
1 |
|
cos3xdx |
1 |
|
|
dx(sin 3x) |
|
1 ln |
|
sin 3x |
|
C2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
sin 3x |
|
|
|
9 |
|
|
sin 3x |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
В результате: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
1 |
ln |
|
sin 3x |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
y |
|
|
cos3x |
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: общее решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ln |
|
sin 3x |
|
C |
|
|
|
где |
C ,C |
|
const |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
cos3x |
|
|
|
|
|
sin 3x, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html