ryaba_diffury / ryaba_diffury / Ряба_ДУ_3

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

Сокращения:

ДУ – дифференциальное уравнение; о/р – общее решение; о/и – общий интеграл; ч/р – частное решение.

ИДЗ-11.1

1.3. Найти о/и ДУ.

y (2x 1)ctgy

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

dy	(2x 1) cos y
dx	sin y

sin ydy (2x 1)dx cos y

d(cos y) (2x 1)dx cos y

Ответ: о/и: ln cos y x2 x C, где C const

2.3. Найти о/и ДУ. y xy 2(1 x2 y )

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

y xy 2 2x2 y 2x2 y xy y 2

(2x2 x) dy							y 2
					dx
	dy				dx
y 2					2x2 x
	dy						dx
	y 2					x(2x 1)

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию правой части в сумму элементарных дробей:

A

B

1

2x 1

x(2x 1)

x

A(2x 1) Bx 1

2A B 0

B 2

A 1

1

2

ln

y

2

dx

x

2x 1

ln y 2 ln x ln 2x 1 ln C

Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

y 2

Cx

ln

ln

2x 1

y 2

Cx

2x 1

Ответ: о/р: y

Cx

2,

где C const

2x 1

3.3. Найти о/и ДУ.

(x 2y)dx xdy 0

Решение: Данное уравнение является однородным, проведем замену: y tx dy xdt tdx

(x 2tx)dx x(xdt tdx) 0 (1 2t)dx (xdt tdx) 0 (1 2t)dx xdt tdx 0

(1 t)dx xdt

	dt			dx
	t 1			x

ln t 1 ln x ln C ln t 1 ln Cx

Обратная замена: t xy xy 1 Cx

xy Cx 1

Ответ: о/р: y Cx2 x, где C const

4.3. Найти ч/р ДУ.

(1 x)( y y) e x ,

y(0) 0

Решение: (1 x) y (1 x) y e x

Данное

уравнение

является

линейным

неоднородным,

замена:

y uv y

u v uv

(1

e

x

x)(u v uv ) (1 x)uv

(1

e

x

x)u v (1 x)uv (1 x)uv

(1

v)

e

x

x)u v (1 x)u (v

v

v 0

x .

Решим систему:

(1

x)u v e

Из первого уравнения найдем v(x) : dvdx v

Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

dvv dx

ln v x

v e x – подставим во второе уравнение:

			x			e	x
(1 x)u e
du	1
dx		1 x
u		dx			C ln1 x
	1 x

Таким образом:

о/р: y uv C ln1 x e x , где C const

Найдем ч/р, соответствующее заданному начальному условию: y(0) C 0 0 C 0

Ответ: ч/р: y ln1 x e x

ИДЗ-11.2

1.3. Найти ч/р ДУ и вычислить значение полученной функции при x x0 с точностью до двух знаков после запятой.

	y			1	,	x0		,	y(0) 1,		3
			cos2 x				3				5
										y (0)

Решение:

Данное уравнение имеет вид y(n) f (x) . Дважды интегрируем правую часть:

y

dx

tgx C1

cos2

x

В соответствии с начальным условием:

y (0) 0 C1 1 C1 1

y

(tgx 1)dx

sin xdx

dx

d(cos x)

x x ln

cos x

C2

cos x

cos x

В соответствии с начальным условием: y(0) 0 0 C2 53 C2 53

Таким образом, искомое ч/р: y x ln cos x 53

					ln	1		3	1,05 0,69 0,6 2,34
y	3			3		2		5

Ответ: ч/р: y x ln		cos x			3				2,34
					5	, y	3

Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

4.3. Найти о/и ДУ.

(2x y 1)dx (2y x 1)dy 0

Решение:

P 2x y 1, Q 2y x 1

P (2x y 1)y 1y

Q (2y x 1)x 1x

P Q , значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах.

y x

dF(x; y) Fx dx Fy dy

F 2x y 1x

F(x; y) (2x y 1)dx x2 xy x ( y)

F (x2 xy x ( y))y 0 x 0 y ( y) 2y x 1y

y ( y) 2y 1 ( y) (2y 1)dy y2 y C

Ответ: о/и: x2 y2 xy x y C, где C const

ИДЗ-11.3

1.3. Найти о/р ДУ.

а) y 4y 0

Решение: Характеристическое уравнение:

2 4 0( 4) 0

1 0 , 2 4 – различные действительные корни

Ответ: о/р: y C1 C2e4 x , где C1,C2 const

б) y 4y 13y 0

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

2 4 13 0

D 16 52 36

Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

	4 6i	2 3i – сопряженные комплексные корни
1,2	2
Ответ: о/р: y e2 x (C sin 3x C			2	cos3x), где	C ,C	2	const
		1			1

в) y 3y 2y 0

Решение: Характеристическое уравнение:

2 3 2 0

D 9 8 1; D 1

1,2 3 1

21 1, 2 2 – различные действительные корни

Ответ: о/р: y C1ex C2e2 x , где C1,C2 const

2.3. Найти о/р ДУ.

y 2y 8y 12sin 2x 36cos 2x

Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 2y 8y 0

Характеристическое уравнение:

2 2 8 0

D 4 32 36;				D	6
	2 6
1,2	2
		– различные действительные корни, поэтому о/р: Y C e 2 x C					e4 x .
2 , 4
1	2		1			2
Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: y Acos 2x Bsin 2x .
			~
~y 2Asin 2x 2B cos 2x
~y 4Acos 2x 4Bsin 2x
Подставим y ,		y	и y в левую часть неоднородного уравнения:
	~	~	~

y 2y 8y 4Acos 2x 4Bsin 2x 4Asin 2x 4B cos 2x 8Acos 2x 8Bsin 2x

( 12A 4B)cos 2x (4A 12B)sin 2x 12sin 2x 36cos 2x

12A 4B 36		12A 4B 36		40B 0 B 0; A 3
	4A 12B 12		12A 36B 36

Таким образом: y 3cos 2x .
~
~	C1e	2 x	C2e	4 x	3cos 2x,	где	C1,C2 const
Ответ: о/р: y Y y

Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

3.3. Найти о/р ДУ

y 7 y 12y 3e4 x

Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 7 y 12y 0

2 7 12 0
D 49 48 1;	D 1

1,2 7 1

2

1 3 , 2 4 – различные действительные корни, поэтому о/р: Y C1e3x C2e4 x .

Контрольное число правой части 4 является корнем характеристического уравнения, поэтому ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: ~y Axe4 x .

~y Ae4 x 4Axe4 x (4Ax A)e4 x

~y 4Ae4 x 4(4Ax A)e4 x (16Ax 8A)e4 x

Подставим ~y , ~y в левую часть неоднородного уравнения: y 7 y 12y (16Ax 8A)e4 x 7(4Ax A)e4x 12Axe4 x

(16Ax 8A 28Ax 7A 12Ax)e4x Ae4 x 3e4x

A 3

Таким образом: ~y 3xe4 x

Ответ: о/р: y Y

~

C1e

3x

C2e

4 x

3xe

4 x

,

где C1,C2 ,C3 const

y

4.3. Найти ч/р ДУ, соответствующее заданным начальным условиям.

y

2y 2 2x

2

8x 6

; y(0) 1;

y (0) 4

Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 2y 2 0

Характеристическое уравнение:

2 2 2 0 D 4 8 4

1,2 2 2i 1 i – сопряженные комплексные корни, поэтому о/р: 2

Y e x (C1 cos x C2 sin x) .

Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: ~y Ax2 Bx C .

~y 2Ax B

~y 2A

Подставим ~y , ~y и ~y в левую часть неоднородного уравнения: y 2y 2 2A 4Ax 2B 2Ax2 2Bx 2C 2x2 8x 6

2A 2

4A 2B 8 A 1; B 2; C 02A 2B 2C 6

Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

		~	x	2	2x .
Таким образом: y
О/р неоднородного уравнения:
~	x	(C1 cos x			C2 sin x) x	2	2x,	где	C1,C2 const
y Y y e

Найдем ч/р, соответствующее заданным начальным условиям: y e x ( C1 cos x C2 sin x) e x ( C1 sin x C2 cos x) 2x 2

y(0) C1 1				C2 3
	C2	2	4
y (0) C1

Ответ: ч/р: y e x (cos x 3sin x) x2 2x

5.3. Определить и записать структуру ч/р y* линейного неоднородного ДУ по виду функции f (x)

2y y y f (x)

а) f (x) (x2 5)e x б)

f (x) xsin x

Решение: Найдем о/р однородного уравнения: 2 2 1 0

D 1 8 9; D 3

1,2 14 3

1 1, 2 12 –различные действительные корни, поэтому о/р:

x

Y C1e x C2e2 , где C1,C2 const

а) Правая часть имеет вид f (x) (x2 5)e x .

Контрольное число правой части 1 является корнем характеристического уравнения, в правую часть входит многочлен второй степени, поэтому ч/р неоднородного

уравнения следует искать в виде ~y (Ax3 Bx2 Cx)e x

б) Если правая часть имеет вид f (x) xsin x , то ч/р неоднородного уравнения следует искать в виде ~y (Ax B)cos x (Cx D)sin x .

ИДЗ-11.4

3.3. Решить ДУ методом вариации произвольных постоянных

						e2 x
	y		4y		5y cos x

Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

Решение: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: y 4y 5y 0

D 16 20 4

4 2i

2 i

– сопряженные комплексные корни, поэтому о/р:

1,2

2

Y e2 x (C cos x C

2

sin x) .

1

Используем метод вариации произвольных постоянных. Общее решение

неоднородного уравнения ищем в виде: y Z (x)e2 x cos x Z

2

(x)e2 x sin x

Функции Z1(x) , Z2 (x)

1

найдем как решение системы:

Z (x) y Z

(x) y

2

0

1

1

2

f (x)

Z

Z1

(x) y1

2

(x) y2

a0

(x)

В данном случае:

y

e2 x cos x

1

y1 2e2 x cos x e2 x sin x e2 x (2cos x sin x)

y2

e2 x sin x

2 x

2 x

2 x

y2

2e

sin x e

cos x e

(2sin x cos x)

f (x)

e2 x

cos x

a0 (x) 1

Таким образом:

2 x

(x) e

2 x

(x) 0

e

cos x Z1

sin x Z2

e2 x

e2 x (2cos x sin x) Z1(x) e2 x (2sin x cos x) Z2 (x)

cos x

Систему решим по формулам Крамера:

W

e2 x cos x

e2 x sin x

e4 x (2cos xsin x cos2 x)

e2 x (2cos x sin x)

e2 x (2sin x cos x)

e4 x (2sin xcos x sin2 x) e4 x (2cos xsin x cos2 x 2sin xcos x sin2 x) e4 x 0 Таким образом, система имеет единственное решение.

W

0

e2 x sin x

0 e

4 x

sin x

e2 x

e2 x (2sin x

cos x)

1

cos x

cos x

W1

e4 x sin x

sin x

cos x

Z1(x) W

cos x

e4 x

Z (x)

sin xdx

d(cos x) ln

cos x

C

1

cos x

cos x

1

e4 x sin x cos x

Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

W

e2 x cos x

0

e4 x

e2 x (2cos x sin x)

e2 x

2

cos x

W

e4 x

Z1(x) W

e4 x 1

2

Z2 (x) dx x C2

В результате:

y ln

cos x

C

e2x cos x (x C

)e2x sin x

1

2

Ответ: общее решение:

y ln

cos x

C

e2 x cos x (x C

)e2 x sin x, где C ,C

2

const

1

2

1

Пройти бесплатный курс обучения, а также найти исследования других функций можно на странице http://mathprofi.ru/polnoe_issledovanie_funkcii_i_postroenie_grafika.html