ryaba_diffury / ryaba_diffury / Ряба_ДУ_8
.pdfДругие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
Сокращения:
ДУ – дифференциальное уравнение; о/р – общее решение; о/и – общий интеграл; ч/р – частное решение.
ИДЗ-11.1
1.8. Найти о/и ДУ
y (2y 1)tgx
Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
dy |
(2y 1) sin x |
||
dx |
|
cos x |
|
dy |
sin xdx |
|
|
(2y 1) |
cos x |
|
|
1 |
d(2y 1) |
d(cos x) |
|
2 |
(2y 1) |
cos x |
12 ln 2y 1 ln cos x ln C ln 2y 1 ln cosC x
Ответ: о/и: 2y 1 cosC x , где C const
2.8. Найти о/и ДУ.
(x xy2 )dy ydx y2dx 0
Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
(x xy2 )dy ( y2 y)dx x(1 y2 )dy y( y 1)dx
( y2 1)dy |
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||
y2 |
y |
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
y y 1 |
|
dx |
|||||||||||
|
y |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y |
y |
|
|
dy |
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
dy ln |
x |
C |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y |
2 |
y |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей:
A |
|
B |
|
y 1 |
|
y |
|
y 1 |
|
|
y( y 1) |
A( y 1) By y 1
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
A B 1 |
A 1; B 2 |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
y |
|
y 1 |
dy ln |
|
|
x |
|
|
C |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
y |
|
y 1 |
dy ln |
|
x |
|
C |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
y ln y 2ln y 1 ln x C
Ответ: о/и: |
y |
( y 1) |
2 |
ln |
|
x |
|
C, |
где C const |
||
|
|
|
|||||||||
|
y |
|
|
|
|
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.8. Найти о/и ДУ.
y
xy y xe x
Решение: Данное уравнение является однородным, проведем замену: y tx dy t x t
tx
x(t x t) tx xe x t x t t et
x dxdt et
e t dt dxx e t ln x ln C
Обратная замена: t xy
y
Ответ: о/и: e x ln Cx , где C const
4.8. Найти ч/р ДУ.
cos ydx (x 2cos y)sin ydy , y(0)
4
Решение: cos y x (x 2cos y)sin y cos y x xsin y 2cos ysin y
cos y x xsin y sin 2y
Данное уравнение является линейным неоднородным относительно x , проведем замену: x uv x u v uv
cos y (u v uv ) uvsin y sin 2y u vcos y uv cos y uvsin y sin 2y u vcos y u(v cos y vsin y) sin 2y
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
v cos y vsin y 0 |
. |
Решим систему: |
|
u vcos y sin 2y |
|
Из первого уравнения найдем v( y) : cos y dydv vsin y
dv sin ydy
vcos y
dv d(cos y)
vcos y
ln v ln cos y
ln |
|
v |
|
ln |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
cos y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
v |
|
|
– подставим во второе уравнение: |
||||||||||||||
cos y |
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u |
|
|
cos y sin 2y |
|
|
|
|
||||||||||
cos y |
|
|
|
|
|||||||||||||
du sin 2y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
u sin 2ydy C |
1 cos 2y |
|
|
||||||||||||||
Таким образом: |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||
о/р: x uv C |
|
|
cos 2y |
|
|
|
, где C const |
||||||||||
2 |
cos y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем ч/р, соответствующее начальному условию y(0) 4 :
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
C |
|
cos |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
cos |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 (C 0) 2 C 0
Ответ: ч/р: x cos2y
2cos y
ИДЗ-11.2
1.8. Найти ч/р ДУ и вычислить значение полученной функции при x x0 с
точностью до двух знаков после запятой.
y e2 x , x0 12 , y(0) 98 , y (0) 14 , y (0) 12
Решение:
Данное уравнение имеет вид y(n) f (x) . Трижды интегрируем правую часть:
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
y e2 xdx 12 e2 x C1
В соответствии с начальным условием: y (0) 12 C1 12 C1 1
y |
|
|
1 |
e |
2 x |
|
1 |
e |
2 x |
x C2 |
|
2 |
|
1 dx |
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с начальным условием: y (0) 14 0 C2 14 C2 0
y1 e2x x dx 1 e2x x2 C
4 8 2 3
Всоответствии с начальным условием:
y(0) 81 0 C3 89 C3 1
Таким образом, искомое ч/р: y |
1 |
e |
2 x |
|
x2 |
1 |
|||||||
8 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
y |
1 |
e |
1 |
1 0,33 0,125 |
1 1,22 |
|||||
y |
2 |
|
8 |
8 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ч/р: y |
1 |
e |
2 x |
|
x2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1, |
y |
|
|
1,22 |
||
8 |
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.8. x2 y xy 1
Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная y , првоедем замену: y z y z
x2 z xz 1
Полученное уравнение является линейным неоднородным, проведем замену: z uv z u v uv
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u v uv ) xuv 1 |
|
|||||||||
x |
2 |
|
2 |
uv |
|
xuv 1 |
|
||||
|
u v |
x |
|
|
|||||||
x |
2 |
|
xu(xv |
|
v) 1 |
|
|||||
|
u v |
|
|
||||||||
Решим систему: |
xv v 0 |
. |
|||||||||
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
u v 1 |
|
Из первого уравнения найдем v(x) : x dvdx v
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
dvv dxx
ln v ln x ln v ln 1x
v 1x – подставим во второе уравнение:
2 |
u |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
du |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dx |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u dx |
ln |
|
|
x |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом: |
|
|
|
|
ln |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z uv |
ln |
|
x |
|
C |
1 |
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Обратная замена: z y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
dy |
|
ln |
|
x |
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
dx |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y ln |
|
x |
|
d(ln x) C1 |
|
dx |
|
ln2 |
|
x |
|
|
|
|
C1 ln |
|
x |
|
C2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: общее решение: y |
|
ln2 |
|
x |
|
C ln |
|
x |
|
C |
, где C ,C |
2 |
const |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
||||||
4.8. Найти о/и ДУ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(1 e y )dx e y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
dy |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P (1 e y ) , |
Q e y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
xe |
y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
(1 e |
|
|
) |
|
|
|
0 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Q |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
x |
/ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
e y |
1 |
|
|
|
|
|
e y |
1 |
|
e y 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
xe |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
e y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
/ |
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
e y 1 |
|||||
|
|
||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
e |
y |
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
P |
Q , значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах. |
||||||||||||||||||||||||||
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dF(x; y) |
F |
|
dx |
|
F |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
F |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(1 e |
y |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F(x; y) (1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y |
)dx x ye |
y |
|
( y) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
x |
y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
F |
x ye |
|
( y) |
0 e |
|
xe |
|
y ( y) e |
|
xe |
|
|
|||||||||||||||
y |
y |
|
y |
|
|
||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y ( y) 0 y ( y) C const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: о/и: x ye |
y |
C, |
где C const |
|
|
ИДЗ-11.3
1.8. Найти о/р ДУ.
а) y 49 y 0
Решение: Характеристическое уравнение:
2 49 0
1 7 , 2 7 – различные действительные корни
Ответ: о/р: y C1e 7 x C2e7 x , где C1,C2 const
б) y 4y 5y 0
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
2 4 5 0
D 16 20 4
|
4 2i |
2 i – сопряженные комплексные корни |
|||||
1,2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: о/р: y e2 x (C sin x C |
2 |
cos x), где |
C ,C |
2 |
const |
||
|
|
1 |
|
1 |
|
в) y 2y 3y 0
Решение: Характеристическое уравнение:
2 2 3 0
D 4 12 16; |
D |
4 |
|
|
|
|
|
||
|
2 4 |
|
3 , |
1 – различные действительные корни |
|||||
1,2 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: о/р: y C e 3x C |
ex , где |
C ,C |
2 |
const |
|||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
2.8. Найти о/р ДУ. y 6y 10y 74e3x
Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 6y 10y 0
Характеристическое уравнение:
2 6 10 0
D 36 40 4
6 2i
1,2 2
1,2 3 i – сопряженные комплексные корни, поэтому о/р: Y e 3x C1 cos x C2 sin x .
Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: ~y Ae3x .
~y 3Ae3x ~y 9Ae3x
Подставим y |
, y , |
y |
в левую часть неоднородного уравнения: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 6y 10y 9Ae3x 18Ae3x 10Ae3x 37e3x 74e3x |
|
|
||||||||||||||||||||
A 2 |
|
|
|
|
~ |
2e |
3x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом: y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
e |
3x |
C1 cos x C2 sin x 2e |
3x |
, |
где C1,C2 const |
|
|
||||||||
Ответ: о/р: y Y y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3.8. Найти о/р ДУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y 4y 8 16x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: |
|
|
||||||||||||||||||||
y 4y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Характеристическое уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( 4) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 , |
4 |
– различные действительные корни, поэтому о/р: Y C C |
e4 x |
|||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
Ax |
2 |
Bx . |
|
|
||
Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: y |
|
|
|
|||||||||||||||||||
~y 2Ax B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2A |
|
|
|
, y |
в левую часть неоднородного уравнения: |
|
|
|||||||||||||||
Подставим y |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 4y 2A 4(2Ax B) 2A 8Ax 4B 8 16x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8A 16 |
|
A 2; B 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4B |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2A |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом: y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
C1 C2e |
4 x |
2x |
2 |
x, где |
C1,C2 ,C3 const |
|
|
||||||||
Ответ: о/р: y Y y |
|
|
|
|
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
4.8. Найти ч/р ДУ, соответствующее заданным начальным условиям.
y |
|
12y |
|
36y 32cos 2x 24sin 2x ; |
y(0) 2 ; |
|
|
|
y (0) 4 |
Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 12y 36y 0
2 12 36 0 ( 6)2 0
1,2 6 – кратные действительные корни о/р: Y C1e6 x C2 xe6 x , где C1,C2 const
Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: ~y Acos 2x B sin 2x .
~y 2Asin 2x 2B cos 2x ~y 4Acos 2x 4Bsin 2x
Подставим ~y и ~y в левую часть неоднородного уравнения:
y 12y 36y 4Acos 2x 4Bsin 2x 24Asin 2x 24B cos 2x 36Acos 2x 36Bsin 2x
32A 24B cos 2x 24A 32B sin 2x 32cos 2x 24sin 2x
32A 24B 32 |
12A 9B 12 |
25B 0 B 0; A 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
24A 32B 24 |
12A 16B |
|
|||||
Таким образом: y cos 2x . |
|
|
|||||
|
|
|
~ |
|
|
|
|
О/р неоднородного уравнения: |
|
|
|||||
~ |
C1e |
6 x |
C2 xe |
6 x |
cos 2x, |
где C1,C2 const |
|
y Y y |
|
|
Найдем ч/р, соответствующее заданным начальным условиям: y 6C1e6 x C2e6 x 6C2 xe6 x sin 2x
y(0) C1 1 2 |
C1 |
1;C2 |
2 |
|
|
C2 4 |
|||
y (0) 6C1 |
|
|
|
|
Ответ: ч/р: |
y e6 x 2xe6 x cos 2x |
5.8. Определить и записать структуру ч/р y* линейного неоднородного ДУ по виду функции f (x)
y 4y 4y f (x) |
|
а) f (x) sin 2x 2ex |
б) f (x) x2 4 |
Решение: Найдем о/р однородного уравнения: y 4y 4y 0
2 4 4 0 ( 2)2 0
1,2 2 – кратные действительные корни, поэтому о/р:
Y C1e2 x C2 xe2 x , где C1,C2 const
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
а) Правая часть имеет вид |
f (x) sin 2x 2ex . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
Acos2x Bsin 2x Ce |
x |
||
Ч/р неоднородного уравнения следует искать в виде y |
|
||||||||||||
б) Правая часть имеет вид |
f (x) x2 4 . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
Ax |
2 |
Bx C . |
|
Ч/р неоднородного уравнения следует искать в виде y |
|
|
|||||||||||
ИДЗ-11.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.8. Решить ДУ методом вариации произвольных постоянных |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
y |
2y |
2y sin2 x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: |
|
||||||||||||
y 2y 2y 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
D 4 8 4 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 2i |
1 i – сопряженные комплексные корни, поэтому о/р: |
|
||||||||
1,2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y ex (C1 cos x C2 sin x) .
Используем метод вариации произвольных постоянных. Общее решение
неоднородного уравнения ищем в виде: y Z (x)ex cos x Z |
2 |
(x)ex sin x |
|||||||||||||||||||||||
Функции Z1(x) , Z2 (x) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
найдем как решение системы: |
|
||||||||||||||||||||||||
Z (x) y Z |
|
(x) y |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Z1 |
(x) y1 |
2 |
(x) y2 |
a0 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В данном случае: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y |
ex cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 ex cos x ex sin x ex (cos x sin x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
y2 |
ex sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
e |
sin x |
e |
cos x e |
(sin x cos x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f (x) |
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a0 (x) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e |
|
Z1(x) e |
|
sin x Z2 (x) 0 |
ex |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
(cos x sin x) Z1(x) |
|
|
|
x |
(sin x cos x) Z2 (x) |
|
|
|
|
||||||||||||||
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
sin |
2 |
x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Систему решим по формулам Крамера:
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
W |
ex cos x |
ex sin x |
e2 x (cos xsin x cos2 |
x) |
|
ex (cos x sin x) |
ex (sin x cos x) |
||||
|
|
|
|||
e2 x (sin xcos x sin2 |
x) e2 x (cos xsin x cos2 x sin xcos x sin2 x) e2 x 0 |
Таким образом, система имеет единственное решение.
W |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex sin x |
|
|
|
||||||||||
ex |
|
|
|
|
|
|
|
ex (sin x cos x) |
0 |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
sin2 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
W1 |
|
|
|
|
|
e2 x |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Z1(x) W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
e2 x |
|
|
|
sin x |
|
|
|
|||||||||||||||||
Z (x) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
|
cos |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
ctg |
C1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 x sin x |
|
e2 x |
|
sin2 x |
sin x |
|||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||
|
|
x |
|
cos |
x |
|
|
2sin |
2 |
|
x |
ctg |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2sin |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||
|
|
2 |
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
ex cos x |
|
|
|
|
0 |
|
|
e |
2 x |
cos x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
e |
x |
(cos x sin x) |
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
W2 |
|
|
|
|
e2 x cos x |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Z1(x) |
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
W |
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Z2 (x) |
cos x |
|
dx |
|
|
d(sin x) dx C2 |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
sin2 x |
|
sin x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
В результате: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y ln |
ctg |
|
|
|
C1 |
|
e |
|
cos x |
|
C2 |
|
|
|
e |
|
sin x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: общее решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y ln |
ctg |
|
|
|
|
C1 |
|
e |
|
cos x |
|
C2 |
|
|
|
|
e |
|
sin x, |
где C1,C2 const |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты