ryaba_diffury / ryaba_diffury / Ряба_ДУ_2 / Дополнительно

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

Сокращения:

ДУ – дифференциальное уравнение; о/р – общее решение; о/и – общий интеграл; ч/р – частное решение.

ИДЗ-11.2

1.2. Найти ч/р ДУ и вычислить значение полученной функции при x x0 с

точностью до двух знаков после запятой.

y 1x , x0 2 , y(1) 14 , y (1) y (1) 0

Решение:

Данное уравнение имеет вид y(n) f (x) . Трижды интегрируем правую часть: y dxx ln x C1

В соответствии с начальным условием: y (1) 0 C1 0 C1 0

y ln xdx (*)

Интегрируем по частям: u ln x du dxx

dv dx v xudv uv vdu

(*)x ln x dx x ln x x C2

Всоответствии с начальным условием: y (1) 0 1 C2 0 C2 1

y (xln x x 1)dx x x22 xln xdx (*)

Интегрируем по частям: u ln x du dxx

dv xdx v x2

2

udv uv vdu

(*) x	x2		x2	ln x	1	xdx x	x2		x2	ln x	x2
					2
2		2				2		2		4

В соответствии с начальным условием: y(1) 1 34 0 C3 14 C3 0

C3 x 3x2 x2 ln x C3

4 2

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

	Таким образом, искомое ч/р: y x							3x2		x2	ln x
								4		2
	y(2) 2 3 2ln 2 0,38
	Ответ: ч/р: y x		3x	2	x2	ln x ,	y(2) 0,38
			4		2
	ИДЗ-11.3
	3.2. Найти о/р ДУ

y y 6y (6x 1)e3x

Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y y 6 y 0

2 6 0

D 1 24 25; D 5

1,2 12 5

3 ,

2

– различные действительные корни, поэтому о/р: Y C e 3x C

e2 x .

1

2

1

2

~

(Ax

B)e

3x

.

Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: y

y

Ae

3(Ax B)e

(3Ax A 3B)e

~

3x

3x

3x

y

3Ae

3(3Ax A 3B)e

(9Ax 6A 9B)e

~

3x

y ,

y

3x

3x

Подставим y ,

в левую часть неоднородного уравнения:

~

~

~

y y 6y (9Ax 6A 9B)e3x (3Ax A 3B)e3x 6(Ax B)e3x

(9Ax 6A 9B 3Ax A 3B 6Ax 6B)e3x (6Ax 7A 6B)e3x (6x 1)e3x

6A 6

A 1;

B 1

1

7A 6B

~

1)e

3x

Таким образом: y (x

~

C1e

3x

C2e

2 x

(x 1)e

3x

, где

C1,C2 ,C3 const

Ответ: о/р: y Y y

5.2. Определить и записать структуру ч/р y* линейного неоднородного ДУ по виду функции f (x)

3y 7 y 2y f (x)

а) f (x) 3xe2 x

б) f (x) sin 2x 3cos 2x

Решение: Найдем о/р однородного уравнения: 3 2 7 2 0

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

D 49 24 25; D 5

1,2 7 5

61 13 , 2 2 – различные действительные корни, поэтому о/р:

Y C1e 3x C2e2 x , где C1,C2 const

а) Правая часть имеет вид f (x) 3xe2 x .

Контрольное число правой части 2 является корнем характеристического уравнения, в произведение правой части входит многочлен первой степени, поэтому ч/р

неоднородного уравнения следует искать в виде ~y (Ax2 Bx)e2 x

б) Если правая часть имеет вид f (x) sin 2x 3cos 2x , то ч/р неоднородного уравнения следует искать в виде ~y Acos 2x Bsin 2x .

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты