Electrichestvo / 09-Лабораторная-9

Лабораторная работа № 9

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В СВЯЗАННЫХ КОНТУРАХ

1. Цель работы: Изучение обмена энергии в системе электрических контуров, слабо связанных между собой.

2. Колебательные системы со слабой связью.

Рассмотрим систему двух одинаковых маятников, связанных между собой слабой пружиной, как это показано на рисунке 9.1. Маятники участвуют в коллективных колебаниях, амплитудно-частотная характеристика которых зависит от относительной фазы колебаний маятников друг относительно друга.

Если оба маятника имеют вначале, при t=0, равные смещения, то они будут колебаться как единое целое с постоянной амплитудой и частотой, равной частоте и амплитуде одиночного маятника ₀. Если при t=0 имеются равные и противоположные амплитуды, то маятники будут колебаться с постоянной амплитудой и с частотой ₁, слегка повышенной по отношению к ₀. Эти два вида движения называются нормальными модами колебаний системы связанных осцилляторов, причем вид колебаний с частотой ₀ называют четной модой нормальных колебаний и обозначают ⁺=₀, а вид колебаний с повышенной частотой называют нечетной модой нормальных колебаний и обозначают  ^– =₁. Нормальная мода колебаний – это коллективное колебание, при котором амплитуда колебаний каждой движущейся частицы системы остается неизменной. В более сложных случаях, когда при t=0 имеется относительный сдвиг фаз, результирующее движение можно рассматривать как суперпозицию двух нормальных мод колебаний.

Рисунок 9.1 – Связанные маятники

Чтобы не усложнять без надобности формул, допустим, что начальные фазы нормальных колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний будут иметь следующий вид:

(9.1)

Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получаем

. (9.2)

График функции (9.2) изображен на рисунке 9.2.

Показанные на рисунке 9.2 колебания называются биениями, а величины Т_б и ω_б=Δω – периодом и частотой биений.

Поведение связанных маятников можно объяснить с энергетической точки зрения. Если при t=0 вся энергия сосредоточена в маятнике 1, то в результате связи через пружину энергия постепенно переходит к маятнику 2, затем обратно.

Биения можно наблюдать и в электрической схеме – в двух одинаковых LC-контурах, связанных между собой слабой емкостной связью С_св – аналогом механической связи в виде пружины, как показано на рисунке 9.1.

Рисунок 9.2 – Биения

Рисунок 9.3 – Связанные электрические контуры

Для двух LC-контуров, соединенных по схеме на рисунке 9.3, можно записать уравнения, описывающие колебания зарядов в контурах. В соответствии с правилом Кирхгофа:

(9.3)

Подставляя , получаем:

(9.4)

Упростить систему уравнений (9.4) можно проведя сложение и вычитание уравнений системы. Складывая, получаем

. (9.5)

Вычитая, получим

. (9.6)

Если при t=0 переменная имеет значение , то решение уравнения (9.5) имеет вид

=, (9.7)

где – частота собственных колебаний отдельного контура. Аналогично, решение уравнения (9.6) имеет вид

(9.8)

где .

Два вида закона изменения заряда, описываемые уравнениями (9.7) и (9.8), называются нормальными модами колебаний системы связанных контуров.

Если вывести из положения равновесия один из контуров, то результирующим колебанием будет суперпозиция двух нормальных мод. При из выражений (9.7) и (9.8) получаем

. (9.9)

Используя известные тригонометрические тождества,

,

,

можно записать уравнения (9.9) в виде:

(9.10)

Здесь , . Вид функций (9.10) показан на рисунке 9.4.

Рисунок 9.4 – Изменение зарядов на конденсаторах

Время, необходимое для перехода энергии из контура 1 в контур 2 и обратно, можно получить из уравнения , а частота, с которой контуры обмениваются энергией, определяется из выражения .

Условием слабой связи контуров является близость частот нормальных мод колебаний или . Тогда

(9.11)

Исследование биений, т.е. обмена энергией в связанных контурах, и является практической задачей данной работы.

Экспериментальная установка включает: источник питания; генератор импульсов; осциллограф; блок связанных контуров; магазин емкостей.

3. Порядок выполнения работы.

3.1. Подготовить приборы к работе:

а) с помощью магазина емкостей установить С_св= 4ּ10^-4 мкФ;

б) установить следующие параметры выходного напряжения генератора: частота – 200 Гц, величина напряжения – 2-4 В;

3.2. Включить лабораторный стенд и приборы. Регулировкой ручек управления на панели осциллографа добиться стабильной картины процесса «биений» в контурах.

3.3. Вычислить – период резонансных колебаний одного из контуров. Величины L и C указаны на блоке контуров.

3.4. Изменяя величину емкости конденсатора связи С_св от 4ּ10^-4 мкФ до 4ּ10^-1 мкФ, измерить периоды «биений». Т_б,эксп определяется следующим образом: подсчитывается количество периодов (максимумов), укладывающихся в одно биение – N. Эта величина умножается на Т. Полученные результаты внести в таблицу 9.1.

3.5. Выключить приборы и стенд.

Таблица 9.1 –Экспериментальные данные

Ссвּ10^2,мкФ	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
N, колеб.
Тб эксп, с
Тб теор, с

3.6. По полученным данным построить график зависимости

Т_{б, эксп}=f(C_св).

3.7. Провести расчет Т_{б, теор} по формуле (9.11) и сравнить с экспериментальными данными.

Контрольные вопросы

1. Сложение колебаний с близкими частотами.

2. Практическое использование биений.

3. Какие процессы наблюдаются в системе связанных контуров?

4. Объясните картину биений с энергетической точки зрения.

5. Почему емкость С_св должна быть много больше С?

6. Чему равна частота обмена энергией между двумя связанными осцилляторами?

4