Для обнаружения ошибок

в циклических кодах принятую кодовую комбинацию делят на образующий многочлен.

Если остаток от деления R(x) = 0, то

принимается решение, что ошибок нет.

Если R(x) ≠ 0, то были ошибки. Вектор

ошибок определяется по виду остатка.

Широко применяется потому что

операции умножения и деления многочленов просто реализуются на регистрах сдвига с обратными связями.

Циклический код

Математическое введение

Разрешенную кодовую комбинацию Ц.К. можно рассматривать как

элемент подмножества множества многочленов степени не выше (n – 1).

Для анализа Ц.К. используется аппарат теории колец.

Коммутативным кольцом называется множество, в котором определены две операции: сложение и умножение.

Обе коммутативны

Обе коммутативны

ассоциативны, то есть;

и связаны законом дистрибутивности:

Правила выполнения операций

Нужно чтобы замкнутое

множество многочленов (n – 1) степени образовало кольцо

Правило 1. Сложение

В качестве операции сложения выберем сложение по модулю два без переноса в старший разряд

Правило 2. Умножение

Операция умножения по обычным правилам не проходит, так как нарушается условие замкнутости:

Введем операцию символического умножения по следующим правилам:

Умножение выполняется по обычным правилам с

приведением подобных членов путем сложения по модулю два;

если полученный многочлен имеет степень меньше чем (n – 1), то он и принимается за результат умножения, если же степень больше чем (n – 1), то он делится на двучлен c записью в качестве результата умножения остатка от деления.

Пример: Сдвиг с переносом единицы из старшего разряда в младший

Имеем:

После сдвига, соответствующего умножению на x, получим:

Поделим на многочлен

, что недопустимо, так как x7 имеет степень более разрешенной xn–1, в данном случае соответствует x6.

Поделим на многочлен

Поделим на многочлен

Получим в остатке R(x):

В качестве результата умножения принимаем R(x), что соответствует переносу единицы из старшего разряда в младший.