ЛАБ MAPLE ИС / лаб 11-1 интересные геом тела
.docЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8-3
Интересные геометрические тела
1. >
>
>
2. Звёздчатый икосаэдр, форма 22
> with(geom3d):
Warning, the name polar has been redefined
Зададим 22-ю звёздчатую форму икосаэдра с центром в точке (1,1,1), радиуса 2.
> stellate(i1,icosahedron(i,point(o,1,1,1),2),22);
> coordinates(center(i1));
> form(i1);
> schlafli(i1);
Plotting:
> draw(i1,style=patch,orientation=[-90,145],lightmodel=light4,
title=`stellated icosahedron - 22`);
3. Звёздчатый икосаэдр, форма 46 (пересечение пяти тетраэдров)
> stellate(sico,icosahedron(ico,point(o,0,0,0),1),46);
> IsStellated(sico);
Plotting:
> draw(sico,style=patch,lightmodel=light4,shading=XY,orientation=[-142,-127],
title=`stellated icosahedron - 46`);
Найдите все 5 тетраэдров, которые пересекаются в пространстве.
4. ОРИЕНТИРУЕМЫЕ И НЕОРИЕНТИРУЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
-
Пример ориентирумой поверхности: тор (построить)
-
Неориентирумая поверхность – лента Мёбиуса.
-
Неориентирумая поверхность – бутылка Клейна.
2. Лента Мёбиуса.
>
> >
>
>
>
>
>
Построим касательные векторы к ленте Мёбиуса:
>
>
Найдём их векторное произведение, это будет нормаль:
>
Найдём длину этого вектора с помощью скалярного произведения:
Вычислим единичный вектор нормали:
>
>
Составляем последовательность нормалей к поверхности:
Отображаем все нормали:
Рисуем ленту Мёбиуса вместе с нормалями:
3. Бутылка Клейна - это интересная поверхность, которая не имеет ни внутренности, ни внешности. Это означает, что она не ориентируема. Можно изобразить различные "иммерсии" (погружения) в бутылку Клейна. Хотя эта поверхность не имеет самопересечений, в трёхмерном Эвклидовом пространстве заметить это невозможно. Двумерные сечения бутылки Клейна в 3-мерном Эвклидовом пространстве называются иммерсиями (immersions). "Обычная" иммерсия бутылки Клейна имеет параметризацию r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k, где
,
,
.
>
>
>
>
>
На этом рисунке невозможно увидеть, что бутылка Клейна не имеет ни внутренней, ни внешней поверхности. Построим другую иммерсию (Figure-8 immersion). Её параметризация имеет вид:
Построим эту поверхность при с=3.
Найдём нормали к поверхности по формуле . Reversing path– меняющий направление путь. Зададим путь формулой
.
Он начинается и заканчивается при .
Компоненты r и n вычисляются в Maple.
Ещё один способ построения бутылки Клейна: