ЛАБ MAPLE ИС / ЛАБ 7-2 исследование функций

5

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7-2

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ

С помощью первой и второй производных можно определить характер изменения и поведения исходной функции. В точках равенства нулю первой производной функция может иметь локальный экстремум (оптимум). Интервалы её знакопостоянства определяют диапазоны возрастания и убывания исходной функции. Знак второй производной в точке, подозрительной на локальный экстремум (стационарной точке), определяет, будет ли это максимум (значение отрицательно) и минимум (значение положительно). Точки равенства нулю второй производной определяют точки перегиба функции, т.е. точки, в которых функция изменяет направление выпуклости. Все это можно наблюдать, если на одном рисунке отобразить графики функции и её первых двух производных:

> plot([y(x),diff(y(x),x),diff(y(x),x$2)],x=-Pi..Pi,

thickness=2, color=black, linestyle=[1,4,7]);

На этом рисунке график функции отображается сплошной линией, первой производной штриховой, а второй производной точечной линией. В точке x=0 первая производная равна нулю, и в этой же точке функция имеет локальный максимум, тогда как в точках x=, в которых опять-таки первая производная принимает нулевое значение, функция достигает локальных минимумов. В точках x-0.788 и x0.788 вторая производная обращается в нуль, а функция в этих точках меняет направление выпуклости.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график. Зададим функцию:

> y:= x -> (2*x-1)/(x-1)^2;

Решение. Будем исследовать функцию в соответствии с общепринятой в математике схемой:

1. Область определения функции и её характерные точки (граничные, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат).

2. Определение чётности, нечётности или периодичности функции.

3. Промежутки знакопостоянства.

4. Промежутки возрастания/убывания функции и локальные экстремумы.

5. Промежутки выпуклости функции вверх и вниз и точки перегиба.

6. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

7. График. Мы ещё будем строить совместные графики самой функции, её первой и второй производных.

1. Функция определена на всей числовой оси за исключением точки x=1, в которой её знаменатель обращается нуль. В этой точке функция имеет разрыв второго рода, так как

> Limit(y(x),x=1,left)=limit(y(x),x=1,left);

> Limit(y(x),x=1,right)=limit(y(x),x=1,right);

Найдём корни функции. Для этого решим уравнение y(x)=0 относительно х:

> solve(y(x)=0,x);

Функция имеет единственный корень в точке x=1/2.

2. Проверим чётность/нечётность функции. Для этого необходимо вычислить её значение при -x и сравнить с помощью команды evalb со значением при x. Если они равны, то функция чётная, если не равны – нечётная:

> evalb(y(x)=y(-x));

> evalb(y(x)=-y(-x));

Функция является функцией общего вида, так как тест на чётность/нечётность не прошёл.

3. Для определения промежутков знакопостоянства следует решить два неравенства y(x)>0 и y(x)<0:

> solve(y(x)>0,x);

> solve(y(x)<0,x);

Записывая результаты решения неравенств в привычной математической нотации, получаем, что функция положительна в области (1/2, 1)  (1, ) и отрицательна на интервале (-, 1/2).

4. Для нахождения участков монотонности функции следует вычислить её первую производную и определить промежутки, где она положительна (на них функция возрастает) и отрицательна (на них функция убывает):

> solve(diff(y(x),x)>0,x);

> solve(diff(y(x),x)<0,x);

Результаты определения участков монотонности таковы: на промежутке (0,1) функция возрастает, а на интервалах (-, 0) и (1, ) функция убывает.

Чтобы определить подозрительные на экстремум точки, следует приравнять нулю первую производную и найти корни полученного уравнения:

> solve(diff(y(x),x)=0,x);

Единственная подозрительная на экстремум точка x=0. Для определения, является ли эта точка минимумом или максимумом, можно вычислить в ней значение второй производной функции. Если результат будет положительным, то в этой точке минимум, если отрицательным, то максимум, если равен нулю, то следует использовать информацию о промежутках монотонности функции:

> eval(diff(y(x),x$2),x=0);

Полученное положительное значение говорит о том, что в точке x=0 наша функция имеет локальный минимум со значением:

> eval(y(x),x=0);

5. Участки выпуклости определяются по знаку второй производной. Если она положительна, то функция на этом участке выпукла вниз, если отрицательна, то выпукла вверх:

> solve(diff(y(x),x$2)>0,x);

> solve(diff(y(x),x$2)<0,x);

На интервале (-, -1/2) функция выпукла вверх, а на интервалах (-1/2,1) и (1, ) выпукла вниз.

Чтобы определить точки перегиба, необходимо знать корни уравнения y^’’(x)=0 и проверить, меняет ли вторая производная знак при переходе через них:

> solve(diff(y(x),x$2)=0,x);

С учётом найденных участков выпуклости вверх и вниз можно утверждать, что точка x=-1/2 является точкой перегиба.

6. Коэффициенты a, b уравнения наклонной асимптоты y=ax+b определяются через вычисление пределов:

или ,

или .

Если указанные пределы существуют, то существуют и наклонные асимптоты для соответствующих бесконечный ветвей графика функции (при стремлении x к плюс или минус бесконечности). Вычислим эти пределы для исследуемой нами функции:

> alpha[1]:=limit(y(x)/x, x=+infinity);

> alpha[2]:=limit(y(x)/x, x=-infinity);

> a:=alpha[1];

> beta[1]:=limit(y(x)-a*x, x=+infinity);

> beta[2]:=limit(y(x)-a*x, x=-infinity);

> b:=beta[1];

Анализ значений пределов показывает, что у графика исследуемой функции одна горизонтальная асимптота ось абсцисс:

Замечание. При присваивании коэффициентам а и b значений  и  следует выбирать вещественное значение, если оно существует.

Вертикальными асимптотами для графика функции могут быть только прямые вида x=x₀, где x₀ является точкой разрыва второго рода, причем следует проверять пределы при стремлении независимой переменной к точке разрыва второго рода справа и слева. Для нашей функции вертикальной асимптотой будет прямая x=1 (см. нахождение области определения функции).

7. Построим график с помощью команды plot(). Вертикальную асимптоту x=1 построим с помощью параметрического задания.

> plot([y(x),[1,t,t=-2..9]],x=-3..6,-2..9,

color=black, thickness=2, linestyle=[1,7]);

Этот же график можно построить с помощью команды implicitplot пакета plots:

> with(plots):

> implicitplot([y=(2*x-1)/(x-1)^2,x=1],x=-3..6,y=-2..9,

> color=[red,black], thickness=2, linestyle=[1,7], numpoints=1500);

ЗАДАНИЯ. 1. Исследуйте по заданной схеме функцию .

2. Исследуйте функции своего варианта.

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.