Собственные значения и собственные векторы матрицы
I. Теоретическая часть
Основные вопросы:
Характеристическая матрица и характеристический многочлен
Собственные значения и собственные векторы матрицы
Нахождение собственных векторов
1. Характеристическая матрица и характеристический многочлен
Рассмотрим квадратную матрицу п-го порядка:
. (1)
Умножим единичную матрицу того же порядка на число и вычтем её из матрицы А.
Определение. Матрица вида
, (2)
где λ − независимая переменная, называется характеристической матрицей для матрицы А.
Определение. Определитель характеристической матрицы (2)
(3)
называется характеристическим многочленом матрицы А.
Действительно, выражение (3) является многочленом относительно λ, в чём легко убедиться, вычислив определитель любым способом, например, разложением по первой строке. Степень характеристического многочлена матрицы равна порядку этой матрицы, в данном случае эта степень равна n.
Определение. Следом матрицы А называется сумма её диагональных элементов:
. (4)
Найдём характеристические многочлены для квадратных матриц 2-го и 3-го порядков.
1. Для матрицы 2-го порядка
,
. (5)
где , или− величина определителя матрицыА.
2. Для матрицы 3-го порядка
,
. (6)
Доказательство. Разложим определитель по первой строке:
=
=
, ч.т.д.
В общем виде характеристический многочлен можно записать в виде:
. (7)
Если положить λ = 0, то есть свободный член многочлена, равный определителю матрицыА. Это видно и из формулы (2).
Пример 1. Найти характеристический многочлен матрицы .
Решение.
.
Пример 2. Найти характеристический многочлен матрицы .
Решение. Характеристический многочлен найдём, разложив определитель по первой строке:
.
Проверим правильность вычисления коэффициентов по формуле (6):
.
;
.
2. Собственные значения и собственные векторы матрицы
Определение. Рассмотрим квадратную матрицу . Пусть для некоторого ненулевого вектораи числа выполняется равенство
АХ = λХ. (8)
Тогда вектор называетсясобственным вектором матрицы А, а число называется собственным значением этой матрицы.
Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением.
Определение. Корнем многочлена называется значение переменной, обращающее этот многочлен в нуль. Корнем матричного многочлена будет матрица, обращающая этот многочлен в нулевую матрицу.
Теорема 1. Собственные значения матрицы А являются корнями характеристического многочлена.
Верно и обратное: каждый корень характеристического многочлена матрицы А будет её собственным значением.
Теорема 2. Если – собственные значения матрицыА, то:
1)
2)
Эти равенства можно использовать в качестве проверки вычисленных собственных значений.
Теорема 3. (Теорема Гамильтона – Кэли).
Любая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена, т. е. , где под нулём понимается нулевая матрица, а под свободным членом характеристического многочлена – этот свободный член, умноженный на единичную матрицу.
Пример 1. Найти собственные значения матрицы и проверить правильность решения по теореме 3. Проиллюстрировать теорему Гамильтона – Кэли.
Решение. Чтобы найти собственные значения, приравняем к нулю характеристический многочлен:
=0.
Корни квадратного уравнения: .
Сумма корней ; произведение корней.
Подставим матрицу А в характеристический многочлен:
.
В результате получили нулевую матрицу. Это и означает, что матрица является корнем своего характеристического многочлена.
Пример 2. Показать, что матрица является корнем своего характеристического многочлена.
Решение. ;
(.
Найдём характеристический многочлен матрицы:
.
Вычислим , для этого нужно найти
, и.
Тогда
.