- •Алғашқы функция және анықталмаған интеграл
- •Бөліктеп интегралдау
- •Рационал функцияларды интегралдау
- •Трансценденттік функцияларды интегралдау
- •Функция өсімше
- •Функцияның туындысы және дифференциалы
- •Тейлор формуласы
- •Доға ұзындығын есептеу
- •Көлемді есептеу
- •Қатарлардың жинақтылық белгісі
- •Таңбалары ауыспалы қатарлардың жинақтылық белгісі
- •Функцияналдық қатар
- •Фурье қатары
- •Фурье интегралы
- •Әдебиеттер тізімі
- •Қосымша
-
Алғашқы функция және анықталмаған интеграл
Өзінің дифференциалына қарап функциясын іздеу, яғни дифференциалдауға кері амалын интегралдау деп атаймыз, ал ізделінді функциясын функциясының алғашқы функциясы деп аталынады.
Кез келген үзіліссіз функциясының бір-бірінен тек тұрақты санға ғана ерекшеленетін көптеген әртүрлі алғашқы функциялары бар болады. Егер функциясы функциясының алғашқы функциясы болса, яғни егер болса, онда да алғашқы функция болады, мұнда -кез келген тұрақты сан. Немесе болады.
функциясының барлық алғашқы функцияларының жиыны жалпы өрнегі осы функцияның анықталмаған интегралы деп аталады және белгісімен белгіленеді:
Анықталмаған интегралдардың кейбір қасиеттері.
-
яғни тұрақты көбейткішті интеграл белгісінің алдына шығаруға болады.
-
яғни қосындылардың интегралы барлық қосылғыштардың интегралдарының қосындысына тең.
Интегралдаудың негізгі формулалары:
Мысал.
Шешуі:
=;
Тексеру: туындысын алып, функцияның дұрыс интегралданғанын тексереміз.
Мысал. ;
Шешуі:
10-ші формуланы қолданып шығардық.
Тексеру:
Мысал.
Тексеру:
Тапсырмалар:
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
|
|
-
Бөліктеп интегралдау
осы көбейтудің дифференциалының формуласын екі жағын интегралдап, келесі бөліктеп интегралдау формуласын аламыз:
Бұл формулада интегралын зерттеуде мына интегралды есептеуге келеді. Мұнда бастапқы интегралды есептеу соңғы интегралды есептеуден қиынырақ болғандықтан осы формуланы пайдаланып шығарамыз.
интегралын есептеу үшін интеграл астындағы өрнекті u және dv деп белгілеп алу керек. dv ретінде көбінесе туынды алынбайтын функцияларды аламыз, мысалы үшін .
Мысал.
Тапсырмалар:
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
; |
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
|
|