11. Дифференциальные уравнения
11.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида
,
где - независимая переменная,- искомая функция,- ее производная называется обыкновеннымдифференциальным уравнением первого порядка.
Если это уравнение можно разрешить относительно , то оно принимает вид
(11.1)
и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция ,, которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Условия
при , (11.2)
при которых функция принимает заданное значениев заданной точке, называютначальным условием.
Общим решением уравнения(11.1) в некоторой областиплоскостиназывается функция, зависящая оти произвольной постояннойи обладающая следующими свойствами:
она является решением уравнения (11.1) при любом значении постоянной ;
при любых начальных условиях (11.2) таких, что , существует единственное значение постояннойтакое, что функцияудовлетворяет данному начальному условию.
Частным решением уравнения(11.1) в областиназывается функция, которая получается из общего решенияпри определенном значении постоянной.
Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения (11.1), удовлетворяющее начальному условию (11.2), называется задачей Коши.
Пример 1. Показать, что функцияудовлетворяет уравнению.
Решение. Имеем
.
Подставим ив левую часть уравнения:
.
Получили тождество . Следовательно, функцияявляется решением данного уравнения.
Пример 2. Показать, что функцияслужит решением дифференциального уравнения второго порядка.
Решение. Находим,.подставив выражение дляив данное уравнение, получим
,
т.е. функция действительно является решением данного дифференциального уравнения.
Пример 3. Проверить, что функция, определяемая уравнением, является решением дифференциального уравнения.
Решение. Продифференцируем обе части равенствапо переменнойс учетом того, что; тогда получим
, или , откуда.
Пример 4. Составить дифференциальное уравнение семейства окружностей.
Решение. Дифференцируя данное выражение, получаем, откуда. Исключаем теперь произвольную постоянную. Для этого из последнего уравнения находим, подставляя его в данное уравнение, получим
.
Это и есть дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.
Дифференциальное уравнение вида
, (11.3)
где ,,,- непрерывные функции, называетсядифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Если ни одна из функций ,,,тождественно не равна нулю, то в результате деления уравнения (11.3) наоно приводится к виду
.
Почленное интегрирование этого уравнения приводит к соотношению
,
которое и определяет (в неявной форме) решение уравнения (11.3).
Пример 5. Найти общее решение уравнения
и выделить интегральную кривую, проходящую через точку .
Решение. Данное уравнение можно переписать в виде
или .
Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (коэффициент при - функция только от, коэффициент при- функция только от).
Интегрируя, получим общее решение
.
Полагая в нем ,, находим. Таким образом, частное решение, проходящее через точку-.
Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Вынося общие множители за скобки, данное уравнение можно записать так:
,
откуда видно, что это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего уравнения на произведение , получим
.
Интегрируя это уравнение, находим
или
,
откуда получаем общее решение:
.
Уравнение вида
.
называется однородным.
С помощью подстановки , где- новая неизвестная функция, оно преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными.
Уравнение
, (11.4)
для которого
преобразованием
где постоянные инаходятся из системы уравнений
сводится к однородному уравнению.
При преобразованиемуравнение (11.4) сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Разделим числитель и знаменатель правой части данного уравнения на, получим:
.
Делаем подстановку , где- новая неизвестная функция. Тогдаи уравнение приводится к виду
или .
Разделяем переменные:
.
Интегрируя, получаем
2 arctg z - 3 ln(1+ z2)= ln+C.
Заменяя на, получим общее решение данного уравнения:
или .
Пример 8. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Это уравнение вида (11.4):
,
при этом .
Вводим новые переменные ,,
где идолжны удовлетворять системе уравнений
Решая эти уравнения, находим ,.
Таким образом, ,;,.
Исходное уравнение преобразуется к виду
или
.
В полученном однородном уравнении положим , откуда; приходим к уравнению с разделяющимися переменными:
.
Преобразуем последнее уравнение:
.
Разделяя переменные, получим
.
Пользуясь формулой
,
из последнего уравнения находим
или .
Отсюда
.
Подставляя сюда , получим
или .
Перейдем к переменным ипо формулам,:
.
Раскрыв скобки и заменив полученную в уравнении константу на , получим общее решение исходного уравнения:
.
Уравнение вида
, (11.5)
где и- непрерывные функции, называетсялинейным дифференциальным уравнением первого порядка(ивходят в первых степенях, не перемножаясь между собой).
Если , то уравнение (11.5) называется линейнымоднороднымуравнением. Если, то уравнение (11.5) называется линейнымнеоднороднымуравнением.
Общее решение линейного однородного уравнения (11.4) легко получается разделением переменных:
; ;,
или, наконец,
,
где - произвольная постоянная.
Решение линейного неоднородного уравнения ищется методом Бернуллив виде
.
Подстановка выражений для ив уравнение (11.5) приводит его к виду
.
В качестве выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению
,
тогда функция определяется из уравнения
.
Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа или методом вариации постоянных, полагая
,
где - некоторая дифференцируемая функция от.
Для нахождения нужно подставитьв исходное уравнение (11.5), что приводит к уравнению
.
Отсюда
,
где - произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид
.
Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида
, (11.6)
где - действительное число. В случае,уравнение (11.6) является линейным. Во всех других случаях оно сводится к линейному с помощью подстановки
.
Пример 9. Найти общее решение уравнения
.
Выделить решение, удовлетворяющее условию .
Решение. Разделим переменные в данном уравнении:
.
Интегрируя, получим
или .
Решение, удовлетворяющее поставленному начальному условию, имеет вид
; ;.
Пример 10. Решить уравнение
.
Решение. Разделив левую и правую части данного уравнения на, приходим к линейному неоднородному уравнению:
.
Применим метод Бернулли. Пусть , тогдаи уравнение примет вид
.
Положим
или .
Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при
и .
При этом данное уравнение обратится в уравнение
или .
Решая это уравнение, получим
.
Таким образом, окончательно имеем
.
Пример 11. Решить уравнение
при начальном условии .
Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
.
Разделив переменные, получим
, ,.
Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде
,
где - неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнениеи, придем к уравнению
или
откуда
.
Интегрируя по частям при ,и,, получим
.
Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения
.
Используя начальное условие , получим, откуда. Следовательно, искомое решение задачи Коши.
Пример 12. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Преобразовав уравнение к виду
,
убеждаемся, что это уравнение Бернулли с . С помощью подстановки
, ,
данное уравнение приводится к линейному
.
Решая однородное уравнение
, ,,
получаем .
Ищем решение неоднородного уравнения в виде
, .
Подставляем в уравнение
или .
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
, .
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид
,
или, после замены ,
.
Уравнение вида
, (11.7)
где левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции в некоторой области, называетсяуравнением в полных дифференциалах.
Его можно записать в виде
,
где - такая функция, что. Отсюда следует, что общее решение уравнения (11.7) имеет вид. Решение сводится к отысканию функции.
Для того чтобы уравнение (11.7) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области , в которой функциииопределены, непрерывны и имеют непрерывные частные производныеи, было выполнено условие
. (11.8)
В том случае, когда условие (11.8) выполнено, общий интеграл уравнения (11.7) можно записать в виде
или
, (11.9)
где - произвольная фиксированная точка области.
Если условие (11.8) не выполнено, то уравнение (11.7) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на функцию , которая называетсяинтегрирующим множителем.
Интегрирующий множитель легко находится, когда он зависит только от , т.е., или только от, т.е.. Первый из этих случаев имеет место, если соотношение
является функцией только от ; тогда интегрирующий множитель находится по формуле
(11.10)
Второй случай имеет место, если соотношение
является функцией только от ; тогда интегрирующий множитель находится по формуле
. (11.11)
Пример 13. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Здесь,,,; таким образом, условие (11.8) выполнено, т.е. данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем общее решение по формуле (11.9), взяв ,:
или .
Подставляя пределы, находим
или ,
где .
Пример 14. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Здесь ,, так что,, т.е. условие (11.8) не выполняется. Проверим, существует ли дляданного уравнения интегрирующий множитель. Поскольку
,
то интегрирующий множитель вычисляется по формуле (11.10):
.
Умножив обе части исходного уравнения на , получаем уравнение
,
которое, как нетрудно проверить, является уравнением в полных дифференциалах.
Решим это уравнение. Полагая ,и используя формулу (11.9), имеем
,
т.е.
или .
Это и есть общее решение данного уравнения.