Метод указания по Физике МЕХАНИКА ЗАОЧ

Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупруго взаимодействующих тел. Но эта система не замкнута, так как сумма внешних сил (см.рис.4), действующих на систему (сил тяжести F1 и F2 и силы реакции опоры F3), не равна нулю. Поэтому применить закон сохранения импульса к системе "ящиктележка" нельзя. Но так как проекция суммы указанных сил на ось ОХ инерциальной системы, совпадающей с направлением рельсов, равна нулю, то проекцию импульса системы на это направление можно считать постоянной, т.е.

р1x + р2x = р’1x + р’2x,

где р1x и р2x - проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; р’1x и р’2x - те же величины после падения ящика.

Учитывая, что тележка до взаимодействия с ящиком покоилась (р2x = 0), а после взаимодействия оба тела системы движутся с одной скоростью V’2x, получим:

m1V1cosα = (m1 + m2)V’2x .

Скорость ящика перед падением на тележку V1 определим из закона сохранения механической энергии: m1gh = m1V12/2,

где h = L*sinα.

Решая эти уравнения совместно относительно V’2x , получим:

_______

m1√2gLsinα * cosα V’2x = ------------------------ .

m1 + m2

Проверяем единицу измерения:

_______

кг√м*с-2*м

[V’2x ] = ---------------- = м/с. кг

Производим вычисления:

	______________
20*√2*9,81*2*sin30о *cos30о
V’2x = --------------------------------------- = 0,767 (м/с).
	20 + 80
Ответ: V’2x	= 0,767 м/с.
П р и м е р	6. Платформа в виде сплошного диска радиусом 1,5 м и массой 180 кг вращается по

инерции вокруг вертикальной оси, делая 12 об/мин. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Дано:	| СИ	|	Решение
	|	|
m1 = 180 кг	|	|	Платформа вращается по инерции,
R = 1,5 м	|	|	следовательно, момент внешних сил
m2 = 60 кг	|	|	относительно оси вращения OZ, совпа-
ν1 = 12 об/мин |0,2 об/с|			дающей с геометрической осью плат-
--------------------|			| формы, равен нулю.
V2 - ?	|		|

При этом условии момент импульса (L = Iw) системы "платформа-человек" относительно оси OZ остается постоянным:

(I1 + I2) w = (I’1 + I’2 ) w ,

где I1 и I2 - моменты инерции платформы и человека в начальном состоянии системы;

I’1 и I’2 - моменты инерции платформы и человека в конечном состоянии системы (после перехода на край платформы),

w и w’ - угловая скорость вращения системы в начальном и конечном состоянии.

Найдя проекции всех величин, входящих в векторное уравнение, относительно инерциальной системы отсчета (ось OZ совпадает с геометрической осью вращения платформы), можно закон сохранения момента импульса записать в скалярной форме:

(I1z + I2z)wz = (I’1z + I’2z )w’z .

Момент инерции платформы относительно оси OZ при переходе человека не изменяется:

I1z = I1z = 0,5*m1R2.

Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции в начальном положении (в центре платформы) I2z можно

считать равным нулю. В конечном положении (на краю платформы) момент инерции человека I’2z = m2R2.

Учитывая все это и то, что w’z = V/R (V - линейная скорость человека относительно пола), получим:

(1/2*m1R2 + 0)*2πν1 = (0,5*m1R2 + m2R2)*V/R.

После сокращения на R2 и простых преобразований находим:

2πν1m1R V = -------------- .

m1 + 2m2

Проверяем единицу измерения: с-1*кг*м

[V] = ------------ = м/с. кг

Производим вычисления:

2π*0,2*180*1,5

V = --------------------- = 1,13 (м/с). 180 + 2*60

Ответ: V = 1,13 м/с.

			4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1
			Таблица 1			Таблица вариантов к контрольной работе 1
Вариан			Номера задач
т
	1	2	3		4		5	6
1	1	11	21		31		41	51
2	2	12	22		32		42	52
3	3	13	23		33		43	53
4	4	14	24		34		44	54
5	5	15	25		35		45	55
6	6	16	26		36		46	56
7	7	17	27		37		47	57
8	8	18	28		38		48	58
9	9	19	29		39		49	59
10	10	20	30		40		50	60
11	1	12	23		34		45	56
12	2	13	24		35		46	57
13	3	14	25		36		47	58
14	4	15	26		37		48	59
15	5	16	27		38		49	60
16	6	17	28		39		50	51
17	7	18	29		40		41	52
18	8	19	30		31		42	53
19	9	20	21		32		43	54
20	10	11	22		33		44	55
21	1	13	25		37		49	52
22	2	14	26		38		50	53
23	3	15	27		39		41	54
24	4	16	28		40		42	55
25	5	17	29		31		43	56
26	6	18	30		32		44	57
27	7	19	21		33		45	58
28	8	20	22		34		46	59
29	9	11	23		35		47	60
30	10	12	24		36		48	51
31	1	14	27		40		43	57
32	2	15	28		31		44	58
33	3	16	29		32		45	59
34	4	17	30		33		46	60
35	5	18	21		34		47	51
36	6	19	22		35		48	52
37	7	20	23		36		49	53
38	8	11	24		37		50	54
39	9	12	25		38		41	55
40	10	13	26		39		42	56
41	1	15	29		33		47	53
42	2	16	30		34		48	54
43	3	17	21		35		49	55
44	4	18	22		36		50	56
45	5	19	23		37		41	57
46	6	20	24		38		42	58
47	7	11	25		39		43	59
48	8	12	26		40		44	60
49	9	13	27		31		45	51

50	10	14	28	32	46	52

4.1.Задачи

1.Тело массой 0,1 кг, брошенное вертикально вверх со скоростью 40 м/с, достигло высшей точки подъема через 2,5 с. Определить среднее значение силы сопротивления воздуха.

2.Груз, масса которого равна 1кг, подвешенный на динамометре, поднимается ускоренно, затем

равномерно и, наконец, замедленно, после чего он таким же образом опускается. Абсолютная величина ускорения во всех случаях постоянна и равна 0,5м/с2. Что показывает динамометр в различные моменты движения?

3.На капроновой нити диаметром 0,5мм поднимают груз массой 5кг из состояния покоя вертикально вверх. Считая движение равноускоренным и силу сопротивления равной в среднем 10Н, найти

предельную высоту, на которую можно поднять груз за 1с так, чтобы нить не порвалась. Предел прочности капрона 0,5 кН/мм2.

4.Автомобиль массой 2,5т трогается с места равноускоренно и за 3с достигает скорости 15км/ч. Какую силу тяги развивает при этом мотор автомобиля, если коэффициент трения равен 0,02?

5.На покоящееся тело массой 2 кг подействовали силой, направленной под углом 30о к горизонту. После начала движения по горизонтальной поверхности тело за 5с прошло 25м. Найти значение действующей силы, если коэффициент трения скольжения 0,02.

6.Какую по величине силу нужно приложить под углом 30о вверх к горизонту к центру инерции вагона массой 16 т, стоящему на рельсах, чтобы он стал двигаться равноускоренно и за 30 с прошел путь в 20 м, если коэффициент трения равен 0,05?

7.Тело массой 200 кг равномерно поднимают по наклонной плоскости, образующей угол 30о с горизонтом, прикладывая силу 1500 Н вдоль линии движения. С каким ускорением тело будет соскальзывать вдоль наклонной плоскости, если его отпустить?

8. Мальчик тянет сани массой 50 кг в гору с силой 200 Н. Угол наклона горы 15о. Веревка, за которую он тянет, составляет угол 45о с горизонтом. Коэффициент трения санок о поверхность горки 0,02. Определить ускорение, с которым движутся санки, и силу давления санок на горку.

9.Тело лежит на наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 4о. Найти: 1) при каком предельном значении коэффициента трения тело начнет скользить по наклонной плоскости; 2) с каким ускорением будет скользить тело по плоскости, если коэффициент трения 0,03; 3) сколько времени потребуется для прохождения при этих условиях 100 м пути; 4) какую скорость тело будет иметь

вконце этих 100 м.

10.Автомобиль массой 6,8*103 кг подъехал к подъему дороги с углом наклона 15о, имея скорость 24 м/с. Сила тяги автомобиля 8 кН, коэффициент трения 0,06, длина подъема 100 м. Найти: 1) ускорение автомобиля; 2) скорость в конце подъема; 3) время движения.

11.К ободу колеса, имеющего форму диска, радиусом 0,5 м и массой 50 кг, приложена касательная сила 98 Н. Найти: 1) угловое ускорение колеса; 2) через сколько времени после начала действия силы колесо будет иметь скорость, соответствующую 100 об/с.

12.Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг*м2, вращается, делая 20 об/с. Через минуту после того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найти: 1) момент сил трения; 2) число оборотов, которое колесо сделало до полной остановки после прекращения действия сил.

13.Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило за 1 мин скорость вращения от 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса равен 2 кг*м2. Найти: 1) угловое ускорение колеса; 2) тормозящий момент; 3) число оборотов, которое колесо сделало за эту минуту.

14.Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг*м2, вращается, делая 20 об/с. После того, как на колесо перестал действовать вращающий момент сил, оно остановилось, сделав 1000 об. Найти: 1) момент сил трения; 2) время, прошедшее от момента прекращения действия вращательного момента до полной остановки колеса.

15.Маховик, массу которого, равную 50 кг, можно считать равномерно распределенной по окружности радиусом 70 см, вращается, делая 10 об/с. Вследствие трения скорость вращения его уменьшилась до 5 об/с

втечение 25 с. Определить тормозящий момент сил и число оборотов, сделанных маховиком за это время.

16.Маховик с моментом инерции 49 кг*м2 и радиусом 0,5 м вращается вокруг оси, совпадающей с его осью симметрии, с постоянной угловой скоростью 30рад/с. К ободу маховика прикладывают постоянную касательную силу 196 Н. За какое время угловая скорость маховика увеличится вдвое? Сколько оборотов сделает маховик за это время?

17.Сплошной шар радиусом 10 см и массой 0,5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с

частотой 5 об/с. На шар подействовал постоянный вращающий момент, вследствие чего шар сделал 200 об за 15 с. Найти этот вращающий момент, а также нормальное ускорение точек на поверхности шара спустя 20 с от начала ускоренного вращения.

18. Два колеса, имеющие форму дисков, массами 0,2 и 0,4 кг и радиусами 10 и 20 см начинают вращаться одновременно. Угловое ускорение первого колеса 3,14рад/с2. За время 20 с от начала вращения первое

колесо сделало на 30 об больше второго. На сколько отличаются вращающие моменты, действующие на колеса?

19.Вентилятор вращается с частотой 15 об/с. Под действием тормозящего момента 1,2 Н*м он останавливается за 40 с. Найти момент инерции вентилятора. Какую угловую скорость будет иметь вентилятор спустя 10 с от начала торможения? Сколько оборотов сделает он за это время?

20.Два шара начинают вращаться одновременно. Масса второго шара в три раза меньше, а радиус в два раза больше, чем у первого. На первый шар действует вращающий момент 0,4 Н*м. Какой вращающий момент действует на второй шар, если его угловое ускорение в четыре раза меньше, чем у первого?

Сколько оборотов сделает второй шар за время, в течение которого первый шар сделает 120 об?

21.На наклонной плоскости с углом наклона 30о лежит брусок массой 1,5 кг. Он связан с другим бруском массой 1 кг нитью, перекинутой через блок, укрепленный на вершине наклонной плоскости. Блок имеет форму диска массой 0,4 кг, радиусом 0,1 м. К первому бруску приложена сила 1,5 Н, направленная вверх параллельно наклонной плоскости. На какое расстояние опустится второй брусок за 2 с от начала движения? Сколько оборотов сделает за это время блок? Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость 0,1.

22.На наклонной плоскости с углом наклона 10о лежат два бруска массами 1 и 2 кг, связанные между собой нитью. Ко второму бруску привязана нить, перекинутая через неподвижный блок, укрепленный на вершине наклонной плоскости. Блок имеет форму диска массой 0,8 кг и радиусом 10 см. Найти угловую скорость блока спустя 1 с от начала вращения, если за свободный конец нити потянуть вниз с силой 20 Н. Коэффициенты трения брусков о плоскость стола одинаковы и равны 0,2.

23.На вершине наклонной плоскости с углами наклона 30о и 45о укрепили блок, имеющий форму диска радиусом 0,1 м. Через блок перекинута нить, к концам которой прикрепили грузы массами 0,4 и 0,6 кг.

Коэффициенты трения брусков о плоскость одинаковы и равны 0,2. Найти момент инерции блока, если он вращается с угловым ускорением 0,4 рад/с2.

24.На наклонной плоскости, образующей 15о c горизонтом, лежит брусок массой 1 кг. К нему привязан шнур, перекинутый через блок, укрепленный на вершине наклонной плоскости. К свободному концу шнура привязан груз массой 2 кг. Коэффициент трения бруска о плоскость 0,1. Блок имеет форму плоского диска радиусом 0,1 м массой 200 г. Найти угловое ускорение блока и силы натяжения шнура.

25.Через шкив, насажанный на общую ось с маховым колесом, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами 200 и 400 г. Момент инерции колеса со шкивом равен 0,042 кг*м2. На какое расстояние должен опуститься груз большей массы, чтобы колесо со шкивом получило скорость, соответствующую 60 об/мин. Радиус шкива 10 см.

26.На горизонтальном столе лежит брусок массой 2 кг. К нему привязаны нити, перекинутые через неподвижные блоки в форме дисков, укрепленные на краю стола. Масса первого блока 0,5, второго 0,2 кг.

Ксвободным концам нитей привязаны гири массами 0,2 и 0,6 кг. Коэффициент трения бруска о стол 0,1. Найти ускорение, с которым движутся гири.

27.На горизонтальном столе лежит брусок массой 3кг. К нему привязан шнур, перекинутый через блок в виде диска массой 1кг, укрепленный на краю стола. К свободному концу шнура прикреплена гиря массой 2кг. На блок действует тормозящий момент 1,7Н*м. Коэффициент трения бруска о поверхность стола 0,2. Найти радиус блока, если спустя 1с от начала движения гиря опускается на 0,5м.

28.Тела массами m3=2кг, m2=1кг, связанные нитью, скользят по горизонтальной плоскости с ускорением 2,8м/с2 под действием груза m1, прикрепленного к концу нити, которая привязана к грузу m2 и перекинута через неподвижный блок. Момент инерции блока 0,2кг*м2, радиус 20см. Определить массу

тела m1 и силы натяжения нитей. Коэффициенты трения второго и третьего тел о плоскость одинаковы и равны 0,2.

29.На горизонтальном столе лежит брусок массой 0,1 кг. К нему привязана нить, перекинутая через блок, укрепленный на конце стола. К свободному концу нити привязана гиря массой 0,2 кг, а к ней - гиря массой 0,1 кг. Коэффициент трения бруска о стол 0,15, радиус блока 0,1 м. Найти момент инерции блока и силу натяжения нити, связывающей гири, если за 2 с от начала движения брусок перемещается на 80 см.

30.На горизонтальном столе лежит брусок массой 2 кг. К нему привязан шнур, перекинутый через блок, укрепленный на краю стола. К свободному концу шнура привязана гиря массой 3 кг. Найти момент инерции блока, если за время 2 с гиря опускается на 80 см. Коэффициент трения бруска о стол 0,3. Радиус блока 5 см.

31.Из орудия вылетает снаряд со скоростью 500 м/с под углом 60о к горизонту. Определить скорость отката орудия и расстояние, на которое откатится орудие, если коэффициент трения при откате 0,3. Масса орудия 1500кг, масса снаряда 12кг.

32.Снаряд массой 10 кг, летящий в вертикальном направлении, разрывается в верхней точке полета на три осколка. Первый осколок массой 5 кг стал двигаться в горизонтальном направлении со скоростью 100 м/с, второй - в вертикальном направлении вниз со скоростью 50 м/с. Определить величину и направление скорости третьего осколка, масса которого 3 кг.

33.Человек, стоящий на гладкой поверхности льда, бросает камень массой 2кг в горизонтальном направлении с высоты 1,5 м. Камень падает на лед на расстоянии 10 м от места бросания. Определить, на какое расстояние откатится человек, если коэффициент трения коньков о лед 0,05. Масса человека 70 кг.

34.Конькобежец, стоя на льду, бросает ядро массой 5 кг в горизонтальном направлении со скоростью 15 м/с. Определить, с какой скоростью будет откатываться конькобежец и какая работа им совершена при бросании ядра, если масса конькобежца 70 кг. Трение о лед не принимать в расчет.

35.Снаряд массой 25 кг, летящий горизонтально со скоростью 400 м/с, падает в вагонетку с песком массой 1875 кг и застревает в песке. С какой скоростью стала двигаться вагонетка от толчка, если до падения снаряда вагонетка двигалась со скоростью 2 м/с по направлению движения снаряда? С какой скоростью стала бы двигаться вагонетка, если бы снаряд летел против движения вагонетки?

36.С бронированной платформы массой 20000 кг (вместе с пушкой) произведен выстрел из ствола пушки, направленного под углом 30о к горизонту. Масса снаряда 26 кг, скорость снаряда 700 м/с. Найти скорость движения платформы после выстрела, если перед выстрелом она двигалась в направлении выстрела со скоростью 4,5 км/ч.

37.Тележка массой 120 кг движется по рельсам со скоростью 6 м/с. С тележки соскакивает человек массой 80 кг под углом 30о к направлению ее движения. Скорость тележки уменьшилась при этом до 5 м/с. Какова была скорость человека во время прыжка относительно платформы?

38.В лодке массой 240 кг стоит человек массой 60 кг. Лодка плывет со скоростью 2 м/с. Человек прыгает

слодки в горизонтальном направлении со скоростью 4 м/с (относительно лодки). Найти скорость лодки после прыжка человека: вперед по движению лодки; в сторону, противоположную движению лодки.

39.С высоты 2 м на стальную плиту свободно падает шарик массой 200 г и подпрыгивает на высоту 50 см. Определить импульс, полученный плитой при ударе.

40.Определить импульс, полученный стенкой при абсолютно упругом ударе о нее шарика массой 300 г, если он двигался со скоростью 8 м/с под углом 60о к плоскости стенки.

41.Человек стоит на скамейке Жуковского и держит в руках стержень, расположенный горизонтально. Стержень служит осью вращения шара, расположенного на конце стержня. Шар вращается с частотой 20

об/мин. Скамейка вращается с частотой 5 об/мин. С какой частотой станет вращаться скамейка, если человек расположит стержень вертикально? Момент инерции человека и скамейки 6 кг*м2, масса шара 2 кг, радиус 20 см, расстояние от оси вращения до центра шара 100 см. Моментом инерции стержня пренебречь.

42.Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол повернется платформа, если человек пройдет вдоль ее края, и обойдя, вернется в исходную точку? Масса платформы 240 кг, масса человека 60 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

43.Человек стоит на скамейке Жуковского и держит в руках стержень массой 3 кг и длиной 2 м, на концах которого закреплены шары. Масса каждого шара 1 кг, радиус 15 см. При горизонтальном

расположении стержня скамья вращается с частотой 10 об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья, если человек расположит стержень вертикально? Момент инерции человека и платформы 20кг*м2.

44.На скамейке Жуковского массой 12 кг радиусом 1 м лежит шар массой 5 кг радиусом 10 см. Центр шара находится на расстоянии 60 см от оси вращения платформы. Платформа вращается с частотой 16 об/мин. С какой частотой станет вращаться платформа, если шар перекатится к краю платформы?

45.Человек стоит на скамейке Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамейка с человеком вращается с угловой скоростью 1 рад/с. С какой угловой

скоростью будет вращаться скамейка с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамейки 6кг*м2. Длина стержня 2,4 м, его масса 8 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком находится на оси платформы.

46.На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 1 м, стоит человек. Масса платформы 150 кг, масса человека 70 кг. Если человек будет идти вдоль края платформы, платформа начнет вращаться с частотой 2 об/мин. Какое время потребуется человеку для того, чтобы, обойдя платформу по краю, вернуться в исходное положение?

47.Человек стоит на скамейке Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце

стержня. Скамейка неподвижна, колесо вращается с частотой 10 об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамейка, если человек повернет стержень на угол 180о и колесо окажется на нижнем конце стержня? Суммарный момент инерции человека и скамейки 6кг*м2, радиус колеса 20 см. Массу колеса 3 кг можно считать равномерно распределенной по ободу. Считать, что центр масс стержня с колесом находится на оси платформы.

48. На два взаимно перпендикулярных стержня, образующих крестовину, надеты четыре шара массой 30 г и радиусом 2,5 см. Когда шары находятся на расстоянии 10 см от оси вращения, проходящей через центр крестовины, система вращается с частотой 3об/с. С какой частотой станет вращаться данная система, если во время вращения шары переместятся на края стержней. Длина каждого стержня 30 см, масса 150 г.

49.Горизонтальная платформа в форме диска может вращаться вокруг вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой 75 кг. Масса платформы 180 кг, радиус 1,8 м. С какой угловой скоростью станет вращаться платформа, если человек будет идти по ее краю и вернется в исходное положение спустя 30 с?

50.На верхней поверхности горизонтального диска, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проложены по окружности радиусом 50 см рельсы игрушечной железной дороги. Масса диска 10кг, его радиус 60 см. На рельсы неподвижного диска был поставлен заводной паровозик массой 1 кг и выпущен из рук. Он начал двигаться относительно рельсов со скоростью 0,8 м/с. С какой угловой скоростью будет вращаться диск?

51.Шар радиусом 12 см катится по горизонтальной поверхности со скоростью 2,4 м/с. На какую высоту закатится шар на наклонную плоскость? Потерями механической энергии пренебречь.

52.С наклонной плоскости, составляющей угол 30о с горизонтом, скатываются шар и обруч. Длина наклонной плоскости 4м. Пренебрегая потерями механической энергии, определить время их скатывания и скорости в конце наклонной плоскости.

53.Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой 10 г со скоростью 300 м/с. Затвор пистолета массой 200 г прижимается к стволу пружиной, жесткость которой 25 кН/м. На какое расстояние отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.

54.Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то пружина сожмется на 3 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты 8 см?

55.Паровой молот массой 12 т падает со скоростью 5 м/с на наковальню, масса которой вместе с отковываемым куском железа 250т. Определить производимую молотом работу по расплющиванию железа и энергию, потерянную на сотрясение фундамента. Удар считать неупругим.

56.В цирковом номере на грудь человека ставят наковальню массой 10 кг, по которой ударяют молотом массой 2 кг. С какой скоростью должен двигаться молот перед неупругим ударом, чтобы после удара механическая энергия системы не превышала 16 Дж?

57.С помощью копра массой 200 кг, падающего с высоты 3 м, забивают сваю массой 100 кг. Определить среднюю силу сопротивления грунта, если при одном ударе свая погружается на 2 см. Сопротивлением воздуха пренебречь. Удар считать неупругим.

58.При помощи копра забивают сваю массой 70 кг. Боек копра имеет массу 400 кг. При ударе боек опускается на 1,5 м, включая и движение вместе со сваей, углубляющейся на 4 мм. Определить: 1) какова сила сопротивления грунта движению сваи? 2) каков КПД копра?

59.Пуля массой 10г, летящая горизонтально со скоростью 150 м/с, простреливает лежащий на столе брусок массой 250 г и теряет при этом половину своей кинетической энергии. Какой импульс приобретет брусок? Какое количество тепла выделяется в нем?

60.Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара 0,2 кг, масса второго 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если удар неупругий?

5. ИЗМЕРЕНИЯ И ПОГРЕШНОСТИ

Умение правильно измерять и обрабатывать полученные результаты необходимо не только в научной, но и в практической инженерной деятельности. Любые измерения должны завершаться соответствующей математической обработкой, обязательно включающей в себя оценку погрешностей измерений. Только в этом случае эксперимент считается законченным, а его результаты приобретают ценность и достоверность.

С подробным изложением методики измерения и расчета погрешностей можно ознакомиться в методических указаниях [7]. Здесь рассмотрим лишь основные правила вычисления погрешностей при прямых и косвенных измерениях.

5.1. Расчет погрешностей при прямых измерениях

Прежде чем проводить прямые измерения какой-либо величины, необходимо тщательно проанализировать и по возможности устранить (существенно уменьшить) основные систематические погрешности, связанные с методом измерения, несовершенством или неисправностью приборов и инструментов и т.п. Затем правильно выбрать прибор или инструмент, исходя из величины допустимой погрешности. Для этого необходимо провести хотя бы одно оценочное измерение и при выборе руководствоваться тем, что погрешность измерительного прибора или инструмента (инструментальная погрешность) хин должна быть, по крайней мере, раз в сто меньше самой измеряемой величины.

Выбрав таким образом измерительный прибор или инструмент, приступить к измерениям. Если после 2 - 3 измерений результат останется низменным (что свидетельствует о малых случайных погрешностях), прекратить измерения и записать результат в виде:

х= <х> ± хин ед.изм. с εх = ...%.

Впротивном случае, для уменьшения случайных погрешностей, провести многократные измерения (в физической лаборатории это, как правило, 5 - 10 измерений).

Прежде чем приступить к расчетам погрешностей, необходимо внимательно проанализировать полученные результаты. Если среди них имеется измерение, резко отличающееся по своему значению от остальных, то следует проверить, не является ли оно промахом, и если да, то исключить его.

Основные правила математической обработки результатов многократных прямых измерений могут быть сформулированы следующим образом:

1)вычислить среднеарифметическое (действительное) значение измеряемой величины:

х1 + х2 + ...	+ хn
<x> = ----------------------	;

		n
2)	вычислить абсолютную погрешность прямых многократных измерений:
	|<x> - x1| + |<x> - x2| + ...		+ |<x> - xn|
х = хин + -------------------------------------------------		n	;
3)	вычислить относительную погрешность результата измерений:
	х
	εх = -----	*100%;
	<х>

4) окончательный результат записать (с учетом правила округления) в виде: х = <х> ± х ед.изм. с εх = ...%.

Всегда при записи окончательного результата измерений (и оценки погрешностей) необходимо придерживаться следующего правила: значение абсолютной погрешности результата измерений округляют до двух значащих цифр слева, а среднее значение округляется до того разряда, в котором находится вторая значащая цифра абсолютной погрешности.

П р и м е р. В результате измерений и расчетов получили:

<х> = 17,968 и х= 0,237. Окончательный результат (с учетом правила округления) следует записать в виде:

х= 17,97 ± 0,24.

5.2.Расчет погрешностей при косвенных измерениях

Косвенные измерения включают в себя два различных этапа: прямые измерения и последующие расчеты. Следовательно, и оценка погрешностей таких измерений также должна состоять из двух этапов. Сначала надо оценить погрешности в величинах, которые измеряются непосредственно в прямых измерениях, а затем определить, как эти погрешности при расчетах приводят к погрешностям в конечном результате.

Основные этапы математической обработки результатов косвенных измерений могут быть проведены следующим образом:

1)провести прямые измерения всех величин x, z,..., входящих в функциональную зависимость y = f(x, z,...), и математическую обработку полученных результатов (см.подразд.5.1.);

2)вычислить действительное (среднеарифметическое) значение измеряемой величины <у>, подставив в рабочую формулу среднеарифметические значения переменных <х>, <z>, ...:

<у> = f(<x>, <z>, ...);

3) вычислить абсолютную погрешность результата:

|у|	|у|
у = --- *	х + --- z + ...,
|х|	|z|

|у|	|у|
где --- ,	--- , ... - модули частных производных функции по
|х|	|z|	переменным х, z, ...

(При этом учесть, что вместо переменных x, z, ... необходимо подставлять их среднеарифметические значения <x>, <z>, ...);

4) вычислить относительную погрешность результата: y

εy = ----- * 100%; <y>

5) записать окончательный результат (с учетом правила округления) в виде: у = <у> + у ед. изм. с εу = ...%.

6.ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

6.1.ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ ПРИ ПОМОЩИ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: баллистический маятник со шкалой, пружинный пистолет, пуля, весы, разновесы.

6.1.1. Краткая теория.

Для определения скорости быстро движущегося тела среди других методов используется метод баллистического маятника. В основе этого метода лежат законы сохранения энергии и импульса. Закон сохранения импульса утверждает, что векторная сумма импульсов тел замкнутой системы есть величина постоянная: P1+P2+....= const, где Pi= mi vi – импульсы тел (i=1,2...). Закон сохранения энергии гласит: сумма кинетической и потенциальной энергии замкнутой системы есть величина постоянная: Eкин+Eпот=const.

6.1.2. Описание установки.

Баллистический маятник представляет массивное тело, подвешанное на растяжимых нитях (см. рис.5). В нижней части маятника есть указатель N, позволяющий с помощью шкалы F измерить горизонтальное перемещение маятника.

При выполнении работы производят выстрел в покоящийся маятник (пуля должна лететь горизонтально). Летящая пуля попадает в маятник и застревает в нем, в результате чего они приобретают общую скорость v1. Так как движение пули и маятника в начальный момент времени происходит по горизонтали, то согласно закону сохранения импульса получаем:

		mv=(M+m) v1 (1)
	где m и М - соответственно масса пули и маятника, v- скорость пули, v1- скорость
	маятника с пулей сразу после удара.
		Чтобы определить скорость v1, применим закон сохранения механической
	энергии. В результате приобретенной механической энергии маятник отклонится
	от вертикали на некоторый угол α, а все его точки поднимутся на высоту L
	(рис.5). В момент наибольшего отклонения маятника его кинетическая энергия
	превратится в потенциальную:
	Рис. 5	(М+m) v12/2= (M+m) gh,
		тогда v1=√2gh (2).
	Подставим (2) в (1), найдем выражение для скорости пули:
		v=(M+m) √2gh/m (3).
Из прямоугольного треугольника АКО ( рис. 5) имеем:
		АК2=S2=L2-(L-h)2=2Lh+h2.
Так как L>>h, то	s2~2Lh и h=s2/2L.

Подставив найденное значение h в выражение (3), получим для скорости пули формулу: v=((M+m)s √g/L)/m

(4).

Формула (4) является расчётной. Величины s, L определяют экспериментально.

6.1.3.Порядок выполнения работы:

1.Для опыта берут одну пулю, взвешивают ее один раз.

2.Измерить линейкой расстояние L от точки подвеса до точки крепления нити к маятнику.

3.Привести маятник в состояние равновесия и подвести шкалу под указатель маятника.

4.Произвести 5 выстрелов из пружинного пистолета в маятник и измерить по шкале F перемещение S после каждого выстрела. Результаты измерения записывают в таблицу.

Таблица 2

Номер	Масса	Масса	Длина	Смеще-	Квадрат
опыта	маят. М,	пули, m,	подв.м	ние	случ.
	кг	кг	аят, м	маятник	отклон.
				а Si, м	(Si-<S>)2

1

2

3

5.	Вычислить скорость пули по формуле (4), подставив среднее значение смещения <S>.
6.	Вычислить квадрат абсолютной ошибки измерения смещения маятника:

∆Sслуч2=t2(α,n) Σ(Si-<S>)2/n(n-1).

Здесь t(α,n)- коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности α=0.95 и числа измерений (опытов) n=5.

7. Вычислить относительную ошибку измерения скорости: ε=√(∆M/(M+m))2+(∆m/m)2+(∆S/S)2+0.25(∆L/L)2+0.25(∆g/g)2.

8. Найти абсолютную ошибку:

∆v=ε <v>.

9. Результаты измерения записать в виде:

v= <v>± ∆v.

6.1.4.Контрольные вопросы:

1.Что называется импульсом тела?

2.Какая система называется замкнутой или изолированной?

3.Сформулируйте закон сохранения импульса. Какова связь этого закона с законами Ньютона?

4.Какие виды механической энергии существуют?

5.В каких единицах измеряется энергия?

6.Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

7.Какие силы называются потенциальными и не потенциальными?

8.Как найти изменение механической энергии неизолированной диссипативной системы?

9.Какие превращения энергии происходят в данной работе?

10.Выведите расчетную формулу.

6.2.ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА.

Приборы и принадлежности: маятник, секундомер, устройство для фиксации длины нити маятника.

6.2.1. Краткая теория.

Математическим маятником (Рис. 6) называется материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити. Пусть m – масса точки

l - длина нити. Отклоним нить на некоторый угол α и предоставим маятник самому себе. Под действием составляющей f1 силы тяжести mg маятник будет возвращаться в положение равновесия (α=0).

Если отклонение маятника вправо считать положительным, то силу f1 следует брать со знаком минус, так как она направлена в другую сторону. Рис. 6 Из рис. 6 видно, что

F1 = -mg sin (α)

При малых углах отклонения α < 5-6o,

Sin(α) = α, f1 = mg α

Теория показывает, что под действием этой силы маятник будет совершать гармоническое колебательное движение. Период этих колебаний зависит от длины нити L и ускорения свободного падения g:

T = 2π √L/g (1)

6.2.2. Описание установки и метода измерений