Лабораторна робота №3 Побудова довірчих інтервалів для прогнозованих значень, що отримуються при використанні регресивних моделей.

Мета роботи: Засвоїти методику побудови довірчих інтервалів для умовного математичного сподівання та окремих значень залежної змінної.

Теоретичні відомості

Регресійний аналіз знайшов широке використання в прогнозуванні. Прогноз отримують шляхом підстановки в регресій не рівняння з чисельно оціненими параметрами значень пояснюючих змінних. При цьому стверджується, що дане співвідношення між змінними з притаманним йому розкидом фактичних значень має місце і при нових умовах. Прогнозна оцінка може бути отримана при інтерполюванні та при екс прополюванні. Побудовані довірчі інтервали можуть бути використані в прогнозуванні. Розрахунок довірчих інтервалів дозволяє визначити область, в якій сподіваються буде значення величини, що прогнозується.

Надійність оцінки визначається ймовірністю, з якою стверджується, що побудований за результатами вибірки довірчий інтервал містить невідомий параметр називають довірчою і позначають Р. Ризик помилки визначається рівнем значущості α, який також називається довірчим рівнем, що відповідає даному інтервалу: α=1-Р. в економічних дослідженнях частіше за все довірча ймовірність вибирається рівною 0,95 або 95%. Тоді ризик помилки складає 5% (α=0,05).

Довірчий інтервал – це інтервал, який при заданому рівні значущості α покриває істинне значення регресії (умовного математичного сподівання змінної Y). Інтервальна оцінка істинних значень регресії при фіксованих значенням пояснюючих змінних X_i .

1. Довірчий інтервал для умовного математичного сподівання

Значення регресії за своїм характером є усередниними величинами, що розраховуються на основі отриманого емпіричного зв‘язку при кожному фіксованому значенні пояснюючої змінної. Як усі середні, кожне значення регресії є випадковою величиною. Вибіркові середні розташовані навколо середньої генеральної сукупності, яка в даному випадку є вірним значенням середньої залежної змінної, що досліджується (умовного математичного сподівання).

В математичній статистиці під регресією випадкової змінної Y на змінні X_k розуміють умовне математичне сподівання, тобто Y буде мати певне значення, якщо змінні X_k будуть мати визначенні значення.

Позначимо – значення регресії генеральної сукупності в точці і ,

–оцінка значення регресії в точці і, що отримується за методом найменших квадратів

Довірчий інтервал для одного істинного значення регресії при заданому рівні значущості α і фіксованих значеннях пояснюючих зміннихX_i визначається за формулою:

де - квантільt-розподілу при заданому рівні значущості α і кількості ступені рівності f=n-m-1, де n - кількість спостережень, а m – кількість змінних. (Знаходиться за статистичними таблицями);

–оцінка дисперсії простої лінійної регресії,

- дисперсія залишків ()

2. Довірчі інтервали для окремих значень залежної змінної

Часто для досліджень необхідно побудувати довірчий інтервал не для середніх, а для індивідуальних значень залежної змінної. Довірчі інтервали для окремих значень залежної змінної ще називають довірчими інтервалами для прогнозів індивідуальних значень Y_i.

Розглянемо моделі довірчих інтервалів , всередині яких з деяким ступенем достовірності , що обумовлений рівнем значущості α, буде знаходитись окреме значення Y_i залежної змінної, що відповідає значенню Х_і незалежної змінної.

Модель1. ( наближений спосіб побудови довірчих границь)

,

де

Цей спосіб є досить простим, але неможливо вказати ступінь достовірності потрапляння значень в ці межі.

Модель2. (враховується стандартне відхилення залишків)

де λ_α– квантіль нормального розподілу при заданому значенні рівня значущості α (вибирається з статистичних таблиць)

Молодь 3. (враховується стандартне відхилення похибки прогнозу)

де - квантільt-розподілу при заданому рівні значущості α і кількості ступені рівності f=n-m-1, де n - кількість спостережень, а m – кількість змінних. (Знаходиться за статистичними таблицями);

–оцінка дисперсії простої лінійної регресії,

–помилка прогнозу.

Відносно цього інтервалу з ймовірністю Р=1-α можна стверджувати, що він містить фактичне значення залежної змінної Y_i, що відповідають одночасним спостереженням над пояснюючими змінними Х_і , або в середньому (1-α)100% всіх можливих значень Y_i , що відповідають Х_і , потраплять в цей інтервал.

Приклади використання.

Приклад 1.

Рівняння регресії, що виражає залежність експорту зернових культур від рівня урожайності наступне:

Y=7,0356+0,5435*x

t_12;0.05=2.179

Таблиця 1.

Визначення довірчих границь для істинних значень простої лінійної регресії

I	Xi	Yi		ui	ui^2			t12;0.05	-t12;0.05	+ t12;0.05
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	32	20	24,4276	-4,4276	17,9776	388,4841	0,9692	2,1119	22,3157	26,5395
2	30	24	23,3406	0,6594	0,4348	471,3241	1,0360	2,2575	21,0831	25,5981
3	36	28	26,6016	1,3984	1,9555	246,8041	0,8428	1,8364	24,7652	28,4380
4	40	30	28,7756	1,2244	1,4991	137,1241	0,7299	1,5905	27,1850	30,3662
5	41	31	29,3186	1,6814	2,8271	114,7041	0,7047	1,5356	27,7830	30,8542
6	47	33	32,5806	0,4194	0,1759	22,1841	0,5890	1,2835	31,2971	33,8641
7	56	34	37,4716	-3,4716	12,0520	18,4041	0,5838	1,2722	36,994	38,7438
8	54	37	36,3846	0,6154	0,3788	5,2441	0,5653	1,2318	35,1528	37,6164
9	60	38	39,6456	-1,6456	2,7080	68,7241	0,6498	1,4159	38,2297	41,0615
10	55	40	36,9276	3,0724	9,4396	10,8241	0,5732	1,2491	35,6768	38,1767
11	61	41	40,1896	0,8104	0,6567	86,3041	0,6713	1,4628	38,7268	41,6524
12	67	43	43,4496	-0,4496	0,2021	233,7841	0,8302	1,8089	41,6407	45,2585
13	69	45	44,5376	0,4624	0,2138	298,9441	0,8914	1,9424	42,5952	46,4800
14	76	48	48,3416	-0,3416	0,1167	590,0041	1,1249	2,4511	45,8905	50,7927
Σ	724	492	492	0	52,2639	2692,8574
15	51		34,7541			0,5041	05585	1,2169	33,5372	35,9710
16	78		49,4286			691,1641	1,1954	2,6047	46,8239	52,0333

Приклад 2.

Визначимо для залежності експорту зернових культур від рівня урожайності довірчі границі для окремих значень Y, що розраховані за 3-ю моделлю.(таблиця 2)

Таблиця 2.

Визначення довірчих границь для прогнозу індивідуальних значень Y у випадку простої лінійної регресії

i		t12;0.05	-t12;0.05	+t12;0.05
1	2.3010	5,0139	19,4137	29,4415
2	2.3299	5,0768	18,2636	28,4174
3	2.2507	4,9042	11,6974	31,5058
4	2.2109	4,8176	23,9580	33,5932
5	2.2027	4,7997	24,5189	34,1183
6	2.1685	4,7251	27,8555	37,3057
7	2.1671	4,7220	32,7496	42,1936
8	2.1621	4,7113	31,6733	41,0959
9	2.1858	4,7628	34,8828	44,4084
10	2.1642	4,7159	32,2117	41,6435
11	2.1923	4,7769	35,4127	44,9665
12	2.2460	4,8940	38,5556	48,3436
13	2.2693	4,9449	39,5927	49,4825
14	2.3708	5,1659	43,1757	53,5075
15	2.1604	4,7075	30,0466	39,4616
16	2.4050	5,2406	44,1880	54,6692