193

Міністерство аграрної політики та продовольства України

Вінницький національний аграрний університет

Кафедра вищої математики,інформатики

та математичних методів в економіці

МЕТОДИЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

Частина-II

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК

для студентів всіх спеціальностей ВНАУ

Вінниця-2013

УДК 517

Методичне забезпечення самостійної роботи студентів з вищої математики. Частина-II. Навчально-методичний посібник для студентів всіх спеціальностей /Дубчак В.М.- Вінниця: ВНАУ,2013.-124 c.

Укладач: Дубчак В.М.,к.т.н.,доцент кафедри

вищої математики,інформатики та

математичних методів в економіці

Рецезенти: Михалевич В.М.,д.т.н.,професор,зав.кафедри

вищої математики ВНТУ,

Любін М.В.,к.т.н.,доцент кафедри ПОПХВ

ВНАУ

Посібник містить теоретичний матеріал, перелік типових стандартних практичних завдань з вищої математики, по кожному з яких пропонується 100 незалежних варіантів,з метою організації самостійної, домашньої, розрахунково-графічної роботи. Матеріали посібника можуть бути використані для організації роботи студентів всіх спеціальностей університету,які вивчають основи вищої математики.

Навчально-МЕТОДИЧНЕ ВИДАННЯ

Рекомендовано науково-методичною комісією

Вінницького національного аграрного університету

Протокол №___від «___»_____________ 2013 р.

ЗМІСТ

Зміст……………………………………………………………………………….3

Вступ …………………………………………………………………………... 4

Короткий теоретичний курс……………………………………………………. 6

Модуль 4

Означений інтеграл

1. Визначення та властивості означеного інтеграла ………………………… 6

2. Означений інтеграл зі змінною границею…………………………………..10

3. Методи обчислення означеного інтеграла………………………………….11

4. Геометричні додатки означених інтегралів………………………………..12

5. Невластиві інтеграли, їх збіжність………………………………………….14

Диференціальні рівняння

6. Визначення диференціальних рівнянь. Диференціальні

рівняння (ДР) 1-го порядку. Класифікація ДР, їх алгоритми розв’язку……15

7. Лінійні неоднорідні ДР 2-го порядку з постійними коефіцієнтами……...19

Модуль 5

Ряди

8. Ряди. Числові ряди………………………………………………………….21

9. Знакозмінні числові ряди…………………………………………………..23

10.Степеневі ряди………………………………………………………………24

11.Ряди Тейлора-Маклорена…………………………………………………..25

12.Поняття про ряди Фур’є……………………………………………………26

13.Варіанти завдань для самостійного розв’язку……………………………27

14. Контрольні питання теоретичного та практичного змісту в

тестовій формі…………………………………………………………………118

Література ……………………………………………………………………..123

ВСТУП

Навчальний посібник призначений для організації самостійної, домашньої, розрахунково-графічної роботи студентів всіх спеціальностей,що вивчають згідно своєї навчальної програми такі розділи вищої математики,такі як означені інтеграли,диференціальні рівняння та ряди. В роботі присутні короткі теоретичні матеріали по даним розділам вищої математики, в кожному із запропонованих завдань приведено по 100 незалежних варіантів для організації самостійної роботи як в межах аудиторної роботи так і за межами аудиторної,тобто самостійної. В кінці роботи запропоновано перелік рекомендованої літератури для виконання приведених самостійних завдань.

Тематичний план роботи

№ п/п	Мо- дуль	Назва теми	Види роботи	Види самостійної роботи,години	Форми контролю (іспит,залік, тести)
1	4	Озна- чений інтег- рал	Лекції, практичні заняття	Розрахунково-графічне завдання(РГЗ)-8 год.	Контрольна робота (КР),іспит
2	4	Дифе- ренці- альні рів- няння	Лекції, практичні заняття	Розрахунково-графічне завдання(РГЗ)-6 год.	Контрольна робота (КР), іспит
3	5	Ряди	Лекції, практичні заняття	Розрахунково-графічне завдання(РГЗ)-8 год.	Контрольна робота (КР),іспит

Означений інтеграл

Нехай задана- неперервна нафункція.

Розглянемо будь-який відрізок _,

, Отже Візьмемо в цій

подвійній нерівності

(площа криволінійної трапеції)

Виберемотоді

Оскільки - довільна точка, то

Тепер нехай ,.

Розглянемо , Тобто_{для будь-якого},

знайдеться _{,що коли ,то} і_.

Це означає, що _існує

Отже, площею криволінійної трапеції називається границя, до якої наближується площа ступінчатої фігури, складеної з елементарних прямокутників, при умові, що найбільша з довжин їх основ наближується до 0.

Задача 2.

Фізичний зміст означеного інтеграла: Нехай потрібно обчислити роботу змінної по величині сили, направленої вздовж осі ox при переміщенні матеріальної точки з деякого початкового положенняa в кінцеве положення_.

Розіб’ємо відрізок начастини,

Тоді (тут можна вважати постійною. Робота силинанаближено дорівнюєпри чому буде точнішим, якщоменшим.

Отже або

Таким чином для 1.2 називається інтегральноюсумою функції . Таких сум– багато, оскільки все залежить від вибору.

Умова, що означає, що існує,тобто, якщо, тоді, а числоназивається границею інтегральної суми.

Саме така гранична називається означеним інтегралом функції на відрізку, а сама функціяназивається інтегрованою на відрізку.

Означення: ,

- відповідно нижня та верхня границі означеного інтеграла, - відрізок інтегрування.

Отже значення дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої зліва і справа прямимизнизу віссю абсцис, зверху графіком функції. Критерій існування означеного інтеграла:

Теорема. Для будь-якої неперервної на відрізкуфункціїіснує і єдина границя відповідних інтегральних сум. Це дуже жорстка умова, наприклад, існування та єдиності .

Властивості означеного інтеграла:

1). .

Доведення:

=.

2) (доведення аналогічне).

3). .

Доведення: .

4..

Доведення:

5. (наслідок попередньої властивості).

6.,.

Доведення:

7.Якщо ,.

Доведення тривіальне,оскільки _.

8.

Доведення:.

9..

Доведення основане на застосуванні відомої в математиці нерівності Коші-Буняковського: .

10. Теорема про середнє значення означеного інтеграла:

, ,_,

,,_.

11.Оцінка означеного інтеграла:

,

Приклад. Оцінити:

, m=2 ,

Знайти середнє значення функції

,

_.

ОЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ ЗІ ЗМІННОЮ ГРАНИЦЕЮ

Означення: Означеним інтегралом із змінною верхньою границею називається інтеграл вигляду:, де-

Теорема. Означений інтеграл із змінною верхньою границею від неперервної на даному відрізку функції є первісною для цієї функції на даному відрізку.

Доведення. Візьмемо довільні.

По теоремі про середнє значення означеного інтеграла

,

Тепер

З другої сторони

Дана теорема є теоремою про існування первісної функції, тобто:

неперервна на відрізку функція має первісну, а отже і неозначений інтеграл.

Геометричний зміст теореми. Похідна від площі криволінійної трапеції по абсцисі х рухомого кінця її основи дорівнює ординаті , що відповідає цьому значенню абсциси.

Формула Ньютона –Лейбніца:

, де - первісна_.

Доведення: Нехай- первісна для неперервної функціїна відрізку.- також первісна для. Тоді.

Якщо

По

Остаточно .

Приклад: .

Методи обчислення означеного інтеграла

1. Інтегрування частинами:

Приклад:=…

2. Заміна змінної під знаком інтеграла.

=…

Якщо -парна функція, то,

- непарна, то.

Наближене обчислення означеного інтеграла:

-формула прямокутників,

, , .

Точність обчислень: , ,.

Формула парабол (формула Сімпсона) (без доведення):

,

,

,,,.

Геометричні додатки означених інтегралів

1). Обчислення площ:

а) в декартових координатах:

Якщо то,

Якщо то,

б) крива задана параметрично:

, , тоді

в) крива, що обмежує площу, задана полярними координатами:

тоді ,

2) Довжина дуги:

а) в заданих координатах:

б) крива задана параметрично:

в) крива задана полярними координатами

3) обчислення об’ємів та площ бічних поверхонь тіл обертання навколо координатних осей:

Об’єм

Площа бічної поверхні

Приклади. Знайти площу обмежену лініями:

.

.

Отже, .

Знайти площу, обмежену кривою (кардіоїда),.

Спочатку встановимо область визначення даної кривої, оскільки , тодля всіх. Враховуючи відповідну періодичність функції, в якості основного періоду обираємо.

Тоді

.

Знайти площу, обмежену замкненою частиною петлі кривої, заданої параметричними рівняннями: якщотоякщотоотже.

Тоді .

Невластиві інтеграли, їх збіжність.

Невластивим інтегралом 1-го роду називають такий означений інтеграл, у якого хоча б одна із границь дорівнює нескінченності. Легко встановити, що будь-який невластивий інтеграл 1-го роду можливо звести до вигляду: .

Геометрично йому відповідає незамкнена справа площа відповідної криволінійної трапеції. Основним для невластивих інтегралів є питання їх збіжності. Невластивий інтеграл називається збіжним, якщо існує і є сталим числове значення відповіді відповідного інтеграла (або його площі).

При встановленні збіжності застосовують такі ознаки:

1). Якщо - первісна для, і- існує, тоді- збіжний.

2). Нехай дві функції та,- еквівалентні на нескінченності, тобтоТоді обидва невластивих інтегралата- збіжні, або розбіжні одночасно.

3). - збіжний, якщоі розбіжний, якщо.

Приклади.

- отже інтеграл збіжний.

. Для такого невластивого інтеграла можливо знайти первісну, але її пошук достатньо громіздкий. Тому для введемо їй еквівалентну функцію. Тоді- збіжний, оскількиб тому ів силу ознаки 2 теж збіжний.

Диференціальні рівняння

Диференціальні рівняння (ДР) 1-го порядку. Класифікація ДР, їх алгоритми розв’язку.

ДР 1-го порядку, вирішеним відносно , називається рівняння вигляду, тут- невідома функція розв’язку даного ДР. Розрізняють загальний розв’язок даного ДР, який задається у вигляді,. Якщо константаприймає одне із своїх можливих числових значень, тоді загальний розв’язок перетвориться в один із багатьох частинних розв’язків вигляду.

Задачею Коші для ДР 1-го порядку називають саме ДР, до якого додається одна початкова умова вигляду .

Теорема Коші (в спрощеній формі). При деяких обмеженнях на функцію та її частинні похідні 1-го порядку, розв’язок задачі Коші завждиіснує і він буде єдиним.

Геометрично теорема Коші інтерпретується існуванням деякої єдиної інтегральної кривої як розв’язку початкового ДР, яка обов’язково пройде через точку з координатами .

Розрізняють такі основні типи ДР 1-го порядку, які підлягають інтегруванню:

1) ДР з відокремлюваними змінними. Це таке ДР, для якого завжди , тоді, оскільки,. В останньому рівнянні виконаємо процедуру відокремлення змінних: принеобхідно записати функцію, залежну від змінної, а при-функцію, залежну від:Тоді, або- загальний інтеграл початкового ДР, при цьому. Зауваження: якщо функції-первіснічизаписані натуральними логарифмами, зручно замістьзаписувати, і подальшим потенціюванням відповідь спрощується.

2) Однорідні ДР, їх характерною рисою є така умова: , тоді, абоотже,- загальний інтеграл розв’язку.

3) Лінійні неоднорідні ДР (ЛНДР) та рівняння Бернулі:

та ,. Якщото рівняння Бернулі перетвориться в ЛНДР, якщо , то рівняння Бернулі стане ДР з відокремленими змінними. Дані рівняння рішаються аналогічно, наведемо алгоритм їх розв’язку на прикладі ЛНДР. Невідомий розв’язок будемо шукати у вигляді добутку двох невідомих функцій, тобто . Тоді, або. Підберемо функціютак, щоб, тоді(длябереться частинний розв’язок, тобто константавідсутня). Для іншої функціїмаємо рівняння, що залишилось: . .

Приклади:

1.Знайти функціональну залежність для опису розпаду деякого

радіоактивного матеріалу в залежності від часу , якщо відомо, що

швидкість розпаду пропорційна масі матеріалу в даний момент часу, а

початкова маса матеріалу - .

Нехай - маса радіоактивного матеріалу в момент часу. Тоді

швидкість розпаду цього матеріалу визначається першою похідною

функції . Тоді в силу умови- коефіцієнт пропорційності,

що характеризує властивості конкретного матеріалу. Знак «-» вказує, що

маса матеріалу з бігом часу зменшується . Тоді

- загальний розв’язок складеного рівняння з

відокремлюваними змінними. Знайдемо :, звідки.

Якщо , тоді- величина часу,що

визначає період піврозпаду даного радіоактивного матеріалу.

2.На тіло маси , що рухається вертикально вниз, діє сила ваги цього тіла. Також на тіло діє сила опору повітря, пропорційна швидкості тіла в даний момент часу, з коефіцієнтом пропорційності. Знайти залежність швидкості тіла від часу.

Згідно 2-го закону Ньютона , абоабо- це ЛНДР. Нехай_, ,, тоді для іншої функціїмаємо таке рівняння:.

Тоді тоі остаточно

3. Знайти рівняння кривої, для якої відрізок, що відтинається дотичною на осі абсцис, дорівнює квадрату ординати точки дотику. В силу умови задачі з використанням геометричного змісту похідної стосовно невідомої функції маємо диференціальне рівняння вигляду:. Це рівняння у даному вигляді жодному з випадків інтегрування не підлягає. Але оскільки, то рівняння може бути переписане у виглядіде, абоз невідомою функцією, для якої, тобто останнє рівняння розв’язуємо як ЛНДР з невідомою функцією. Маємо,,,- загальний розв’язок сімейства кривих (очевидно, це сімейство парабол), що задовольняють умові задачі.

Лінійні неоднорідні ДР 2-го порядку з постійними коефіцієнтами.

Даний тип диференціальних рівнянь визначається у вигляді , тут, якщо, то рівняння перетворюється у відповідне однорідне.Задачею Коші для даного рівняння називається саме ДР і дві початкові умови вигляду . Має місце аналогічна теорема Коші про існування та єдність розв’язку задачі Коші. Нехай- загальний розв’язок однорідного ДР, - загальний розв’язок неоднорідного ДР, для якого справедлива теорема: , де- довільний частинний розв’язок неоднорідного ДР. Для знаходження по однорідному ДР складемо відповіднехарактеристичне рівняння виду: - його дискримінант. Можливі випадки:

а) - дійсні та різні корені характеристичного рівняння, тоді

.

б) - дійсні однакові корені характеристичного рівняння, тоді.

в) корені характеристичного рівняння є комплексними (комплесноспряженими) числами.і нехай- дійсна частина коренів характеристичного рівняння- уявна частина коренів характеристичного рівняння, тоді.можливо знайти, якщо- спеціальна права частина (квазімногочлен) 1-го типу:- многочлен степені. Підберемоу вигляді:- загальний вигляд многочлена степеніз неозначеними коефіцієнтами,- кількість співпадань числаз коренямихарактеристичного рівняння. Квазімногочлен 2-го роду, це вираз вигляду:, тоді,- різні многочлени степенівз неозначеними коефіцієнтами,- приймає значення 0 або 1, і дорівнює 1 тільки тоді, коли комплексне числоспівпаде з одним із комплексних коренів характеристичного рівняння.

Приклади:

1) ,с,. Значеннята його похідних підставимо в початкове неоднорідне ДР:

. Отже . Нехай.. Тодіабо

- розв’язок задачі Коші.

2)Розв’язати:

отже підставимо ці результати в початкове рівняння.

Таким чином .

Зауваження. Якщо в неоднорідності 2-го роду , тоді відповідне ДР відповідає випадкурезонансу, тобто необмеженому збільшенню амплітуди коливань деякої механічної системи зі збільшенням аргументу.

Із вигляду отриманого розв’язку, якщо , видно, що визначальним у ньому є другий доданок, і відповідною змінною амплітудою синусоїди буде значення, якщо, що дійсно відповідає визначенню резонансу.

Ряди

Числові ряди

Якщо задана деяка числова послідовність то нескінченним числовим рядом називається сума членів цієї числової послідовності, тобтоГоловним питанням для таких рядів є питання їхзбіжності. Числовий ряд називається збіжним, якщо існує і є сталою нескінчена сума членів цього ряду, і, відповідно, розбіжним, якщо значення такої суми не існує.

Теорема 1. (необхідна умова збіжності). Для збіжності числового ряду необхідно, щоб . Якщо ця умова не виконується,то числовий ряд завідомо розбіжний.

Приклад. Встановити збіжність тутотже ряд розбіжний.

Теорема 2. Задано два числових ряди для яких,, тобто ці ряди еквівалентні на нескінченності. Тоді такі два ряди збіжні або розбіжні одночасно.

Теорема 3. Задано числовий ряд Такий ряд збіжний, якщоі розбіжний, якщо.

Приклад. Дослідити збіжність ряду Такий ряд буде еквівалентним ряду, для якого, і в силу теорем 2 і 3 обидва ряди будуть збіжними.

Розглянемо достатні ознаки збіжності числових рядів.

Теорема 4. (Ознака Даламбера)

Задано числовий ряд для якого. Тоді нехай. Якщо- ряд збіжний, якщо- ряд збіжний, якщо- дана ознака не дає відповіді на питання про збіжність.

Приклад: встановити збіжність ряду тут,, отже ряд збіжний.

Теорема 5. (Радикальна ознака Коші).

Якщо для числового ряду то при ряд розбіжний, при - ряд збіжний, якщо- дана ознака не працює.

Приклад.

Встановити збіжність .

Для ряду із за теоремою 5 маємо:, отже ряд із- збіжний, тоді в силу теореми 2 початковий ряд теж збіжний.

Теорема 6. (інтегральна ознака Коші).

Задано ряд . За функцієюзапишемо відповідний невластивий інтеграл виглядуТоді початковий числовий ряд та інтеграл збіжні або розбіжні одночасно.

Приклад: Встановити збіжність ряду (тут). МаємоТоді, отже невластивий інтеграл збіжний, і в силу теореми 6 початковий ряд теж збіжний.

Знакозмінні числові ряди

Знакозмінним числовим рядом називається ряд вигляду який в залежності від значення своєї суми теж може бути як збіжним так і розбіжним. Для даного ряду можливо скласти ряд із його абсолютних величин:Якщо такий ряд в силу попередніх теорем збіжний, то знакозмінний ряд буде збіжнимабсолютно. Якщо абсолютна збіжність ряду відсутня (тобто ряд із відповідних модулів розбігається), то знакозмінний ряд все ж таки ще може збігатися і тоді така його збіжність вже буде умовною. Для встановлення умовної збіжності є корисною така умова:

Теорема (Ознака Лейбніца).

Нехай задано знакозмінний числовий ряд, для якого відсутня його абсолютна збіжність. Тоді якщо :

1. 

2. ,

то знакозмінний ряд збігається умовно. Якщо хоча б одна із даних умов не виконується, то даний числовий ряд розбіжний.

Приклад. Встановити збіжність . Ряд із абсолютних величин- розбігається в силу теореми 3. Перевіримо виконання умов ознаки Лейбніца:

1. .

2. ,

отже даний числовий ряд збігається умовно.

Степеневі ряди

Степеневим рядом називається ряд вигляду , де- члени деякої числової послідовності.

Областю збіжності даного ряду називають таку множину значень при підстановці яких у цей степеневий ряд він перетвориться у збіжний числовий ряд.

Для знаходження області збіжності використовують ознаку Даламбера, за якою . Нехай. Тоді, або. Підставляючи замістьзначення кінцевих точокутвореної множини, встановлюють належність цих кінцевих точок області збіжності степеневого ряду.

Приклад. Знайти область збіжності . Маємо,отже, або. Нехай, тоді- розбіжний в силу теореми 3. Якщо, то- збіжний умовно в силу ознаки Лейбніца. Отже область збіжності, це множина.

Ряди Тейлора-Маклорена

Нехай функція нескінченно дифенційована в точці. Тоді для даної функції справедливий розклад у степеневий ряд (ряд Тейлора) вигляду:. Якщо, то маємо ряд Маклорена вигляду.

Для основних елементарних функцій справедливі формули розкладу в ряд Маклорена з указанням їх відповідної області збіжності

1. 

2. 

3. 

4. 

4^*)

4^**)

5. 

6. 

Приклад. Функцію розкласти в ряд Тейлора, якщо.

Маємо . Застосовуючи до останнього запису формулу розкладу 4^*), маємо: . Область збіжності утвореного розкладу встановлюється з умови:,

або , остаточно.

Поняття про ряди Фур’є

Якщо задана періодична з періодом функція,, то дану функцію можливо розкласти в тригонометричний ряд (ряд Фур’є) вигляду, де коефіцієнти розкладу знаходять за формулами:

, ,.

Якщо - функція парна, то всі, а. Якщо- непарна, то всі, а. При цьому завжди в точках неперервностінескінченна сума ряду Фур’є збігається до значення самої функціїв цій точці. У точках розривів 1-го роду функції(коли існують однорідні границі в таких точках розривів) нескінченна сума ряду Фур’є збігається до середнього арифметичного значень односторонніх границь цієї функції у відповідних точках розривів.

Якщо функція задана на деякому проміжку, який будемо вважати півперіодом функції, то продовжуючи її парним чи непарним чином на інший півперіод, отримаємо розклад такої функції у відповідній укороченій формі.

Варіанти завдань для самостійного розв’язку

1)Обчислити означені інтеграли:

1.;

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.;

12.

13.

14.

15..

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.;

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83..

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

2)Знайти середнє значення функції f(x) на інтервалі

1. .

2. 

3. ,

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. ,

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. ,

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. ,

36. 

37. 

38. 

39. 

40. 

41. 

42. 

43. 

44. 

45. 

46. 

47. 

48. 

49. 

50. 

51. 

52. .

53. sin5x,

54. 

55. 

56. 

57. 

58. 

59. 

60. 

61. 

62. 

63. 

64. 

65. 

66. 

67. 

68. 

69. 

70. 

71. 

72. 

73. 

74. 

75. 

76. 

77. ,

78. 

79. 

80. 

81. 

82. 

83. 

84. 

85. 

86. 

87. 

88. 

89. 

90. 

91. 

92. 

93. 

94. 

95. 

96. 

97. 

98. 

99. 

100. 100.

102. 3) Обчислити площу фігури ,обмежену лініями(зробити схематичне креслення).

1. а)

2. 

3. 

4. 

5. a)

6. a)

7. a)б)

8. a)

9. a)

10. a)

11. а)

12. a)

13. a)

14. a)

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

39. 

40. 

41. 

42. 

43. 

44. 

45. 

46. 

47. 

48. 

49. 

50. 

51. 

52. 

53. 

54. 

55. 

56. 

57. 

58. 

59. 

60. 

61. 

62. 

63. 

64. 

65. 

66. 

67. 

68. 

69. 

70. 

71. 

72. 

73. 

74. 

75. 

76. 

77. 

78. 

79. 

80. 

81. 

82. 

83. 

84. 

85. 

86. 

87. 

88. 

89. 

90. 

91. 

92. 

93. 

94. 

95. 

96. 

97. 

98. 

99. 

100. 

105. 4)Знайти об’єм тіла, одержаного обертанням насколо осі Ох фігури,обмеженої лініями(зробити схематичне креслення).

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

39. 

40. 

41. 

42. 

43. 

44. 

45. 

46. 

47. 

48. 

49. 

50. 

51. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями.

52. 

53. 

54. 

55. 

56. 

57. 

58. 

59. 

60. 

61. 

62. 

63. 

64. 

65. 

66. 

67. 

68. 

69. 

70. 

71. 

72. 

73. 

74. 

75. 

76. 

77. 

78. 

79. 

80. 

81. 

82. 

83. 

84. 

85. 

86. 

87. 

88. 

89. 

90. 

91. 

92. 

93. 

94. 

95. 

96. 

97. 

98. 

99. 

100. 

101. 100.

104. 5)Дослідити збіжність невластивих інтегралів:

107. 

108. 2.

109. 3. 4.

110. 5.

111. 6.

112. 7.

113. 8.

114. 9.

115. 10.

116. 11.

117. 12.

118. 14.

119. 15.

120. 16.

121. 17.

122. 18.

123. 19.

124. 20.

125. 21.

126. 22.

127. 23.

128. 24.

129. 25.

130. 26.

131. 27.

132. 28.

133. 29.

134. 30.

135. 31.

136. 32.

137. 33.

138. 34.

139. 35.

140. 36.

141. 37.

142. 38.

143. 39.dx

144. 40.

145. 41.

146. 42.

147. 43.

148. 44.

149. 45.

150. 46.

151. 47.

152. 48.

153. 49.

154. 50.

155. 51.

156. 52.

157. 53.

158. 54.

159. 55.

160. 56.

161. 57.

162. 58.

163. 59.

164. 60.

165. 61.

166. 62.

167. 63.

168. 64.

169. 65.

170. 66.

171. 67.

172. 68.

173. 69.

174. 70.

175. 71.

176. 72.

177. 73.

178. 74.

179. 75.

180. 76.

181. 77.

182. 78.

183. 79.

184. 80.

185. 81.

186. 82.

187. 83.

188. 84.

189. 85.

190. 86.

191. 87.

192. 88.

193. 89.

194. 90.

195. 91.

196. 92.

197. 93.

198. 94.

199. 95.

200. 96.

201. 97.

202. 98.

203. 99.

204. 100.

206. 6)Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь 1-ого порядку різних типів:

1. 1)2)

208. 3)4)

2. 1)2)

210. 3) 4)

212. 3. 1) 2) 3)4)

214. 4. 1) 2)

215. 3)4)

217. 5. 1) 2)

218. 3) 4)

219. 6. 1) 2)

220. 3) 4)

222. 7. 1) 2)

223. 3) 4)

225. 8. 1) 2)

226. 3) 4)

227. 9. 1) 2)

228. 3)4)

230. 10. 1) 2)

231. 3) 4)

233. 11. 1) 2)

234. 3) 4)

236. 12. 1) 2)

237. 3) 4)

239. 13. 1) 2)

240. 3) 4)

242. 14. 1) 2)

243. 3)4)

245. 15. 1) 2)

246. 3) 4)

247. 16. 1) 2)

248. 3) 4)

250. 17. 1) 2)

251. 3) 4)

253. 18. 1) 2)

254. 3) 4)

256. 19. 1) 2)

257. 3) 4)

259. 20. 1) 2)

260. 3) 4)

262. 21. 1) 2)

263. 3) 4)

265. 22. 1) 2)

266. 3) 4)

268. 23. 1) 2)

269. 3) 4)

271. 24. 1) 2)

272. 3) 4)

274. 25. 1) 2)

275. 3) 4)

277. 26. 1) 2)

278. 3) 4)

280. 27. 1) 2)

281. 3)x 4)

283. 28. 1) 2)

284. 3) 4)

287. 29. 1) 2)

288. 3) 4)

290. 30. 1) 2)

291. 3) 4)

293. 31. 1) 2)

294. 3) 4)

296. 32. 1) 2)

297. 3) 4)

299. 33. 1) 2)

300. 3) 4)

302. 34. 1) 2)

303. 3) 4)

305. 35. 1) 2)

306. 3) 4)

308. 36. 1) 2)

309. 3) 4)

311. 37. 1) 2)

312. 3) 4)

314. 38. 1) 2)

315. 3) 4)

317. 39. 1) 2)

318. 3) 4)

320. 40. 1) 2)

321. 3) 4)

323. 41. 1) 2)

324. 3) 4)

325. 42. 1) 2)

326. 3) 4)

328. 43. 1) 2)

329. 3) 4)

331. 44. 1) 2)

332. 3) 4)

334. 45. 1) 2)

335. 3) 4)

337. 46. 1)2)4

338. 3)4)

340. 47. 1)2)

341. 3)4)

342. 48. 1)2)

343. 3)4)

344. 49. 1)2)

345. 3)4)

347. 50. 1)2)=

348. 3)4)

350. 51. 1)2)

351. 3)4)

353. 52. 1)2)

354. 3)4)

356. 53. 1)2) (

357. 3)4)

359. 54. 1)2) (

360. 3)4)

363. 55. 1)2)

364. 3)4)

366. 56. 1)2)

367. 3)4)

369. 57. 1)2))

370. 3)4)

372. 58. 1)2)

373. 3)4)

375. 59. 1)2)

376. 3)4)

378. 60. 1)2)

379. 3)4)

381. 61. 1)2)

382. 3)4)

384. 62. 1)2)

385. 3)4)

387. 63. 1)2)

388. 3)4)

390. 64. 1)2)

391. 3)4)

393. 65. 1)2)

394. 3)4)

396. 66. 1)2)

397. 3)4)

399. 67. 1)2)

400. 3)4)

402. 68. 1)2)

403. 3)4)

405. 69. 1)2)

406. 3)4)

408. 70. 1)2)

409. 3)4)

411. 71. 1)2)

412. 3)4)

414. 72. 1)2)+y

415. 3)4)x

417. 73. 1)2)

418. 3)4)

420. 74. 1)2)

421. 3)4)

423. 75. 1)2)

424. 3)4

426. 76. 1)2)

427. 3)4)x

429. 77. 1)2)

430. 3)4)

432. 78. 1)2)

433. 3)4)y

435. 79. 1)2)

436. 3)4)

437. 80. 1)2)

438. 3)4)

440. 81. 1)2)

441. 3)4)

443. 82. 1)2)

444. 3)4)

446. 83. 1)2)

447. 3)4)

449. 84. 1)2)

450. 3)4)

452. 85. 1)2)

453. 3)4)

455. 86. 1)2)

456. 3)4)

458. 87. 1)2)

459. 3)4)

461. 88. 1)2)

462. 3)4)

464. 89. 1)2)

465. 3)4)

467. 90. 1)2)

468. 3)4)

470. 91. 1)2)

471. 3)4)

473. 92. 1)2)

474. 3)4)

475. 93. 1)2)

476. 3)4)

477. 94. 1)2)

478. 3)4)

480. 95. 1)2)

481. 3)4)

483. 96. 1)2)

484. 3)4)

486. 97. 1)2)

487. 3)4)

489. 98.2)

490. 3)4)

492. 99. 1)2)

493. 3)4)

495. 100. 1)2)

496. 3)4)

499. 7).Знайти рішення диференціальних рівнянь , що задовільняють початковим умовам (знайти розв’язок задачі Коші).

1. 2)

501. 

502. 4)

503. ; .

2. 2)

504. 

505. 4)

506. 

3. 2)

507. 

508. 4)

509. ;

4. 2)

510. ; ;

511. 4)

512. .

5. 2)

513. ; ;

514. 4)

515. .

6. 2)

516. ; ;

517. 4)

518. .

7. 2)

519. 

520. 4)

521. ; .

8. 2)

522. 

523. 4)

524. 

9. 2)

525. 

526. 4)

527. ;

10. 2)

528. ; ;

529. 4)

530. .

11. 2)

531. ; ;

532. 4) 8

533. .

12. 2)

534. ; ;

535. 4)

536. .

13. 2)

537. 

538. 4)

539. ; .

14. 2)

540. 

541. 4)

542. 

15. 2)

543. 

544. 4)

545. ;

16. 2)

546. ; ;

547. 4)

548. .

17. 2)

549. ; ;

550. 4) 2

551. .

18. 2)

552. ; ;

553. 4)

554. .

555. 19. 2)

556. 

557. 4)

558. ; .

20. 2)

559. 

560. 4)

561. 

20. 2)

562. 

563. 4) 3

564. ;

20. 2)

565. ; ;

566. 4)

567. .

20. 2)

568. ; ;

569. 4) 6

570. .

20. 2)

571. ; ;

572. 4)

573. .

20. 2)

574. 

575. 4)

576. ; .

20. 2)

577. 

578. 4)

579. 

20. 2)

580. 

581. 4) 3

582. ;

20. 2)

583. ; ;

584. 4)

585. .

20. 2)

586. ; ;

587. 4)

588. .

20. 2)

589. ; ;

590. 4)

591. .

20. 2)

592. 

593. 4)

594. ; .

20. 2)

595. 

596. 4)

597. 

20. 2)

598. 

599. 4) 3

600. ;

20. 2)

601. ; ;

602. 4)

603. .

20. 2)

604. ; ;

605. 4)

606. .

20. 2)

607. ; ;

608. 4)

609. .

20. 2)

610. 

611. 4)

612. ; .

20. 2)

613. 

614. 4) 6

615. 

20. 2)

616. 

617. 4) 8

618. ;

20. 2) 3

619. ; ;

620. 4)

621. .

20. 2)

622. ; ;

623. 4)

624. .

20. 2)

625. ; ;

626. 4)

627. .

20. 2)

628. 

629. 4)

630. ; .

20. 2)

631. 

632. 4) 3

633. 

20. 2)

634. 

635. 4)

636. ;

20. 2)

637. ; ;

638. 4)

639. .

20. 2)

640. ; ;

641. 4)

642. .

20. 2)

643. ; ;

644. 4)

645. .

20. 2)

646. 

647. 4)

648. ; .

20. 2)

649. 

650. 4)

651. 

20. 2)

652. 

653. 4)

654. ;

20. 2)

655. ; ;

656. 4)

657. .

20. 2)

658. ; ;

659. 4)

660. .

20. 2) 4

661. ; ;

662. 4)

663. .

20. 2)

664. 

665. 4)

666. ; .

20. 2)

667. 

668. 4)

669. 

20. 2)

670. 

671. 4)

672. ;

20. 2)

673. ; ;

674. 4)

675. .

20. 2)

676. ; ;

677. 4)

678. .

20. 2)

679. ; ;

680. 4)

681. .

20. 2)

682. 

683. 4)

684. ; .

20. 2)

685. 

686. 4)

687. 

20. 2)

688. 

689. 4)

690. ;

20. 2)

691. ; ;

692. 4)

693. .

20. 2)

694. ; ;

695. 4)

696. .

20. 2)

697. ; ;

698. 4)

699. .

20. 2)

700. 

701. 4)

702. ; .

20. 2)

703. 

704. 4)

705. 

20. 2)

706. 

707. 4)

708. ;

20. 2)

709. ; ;

710. 4)

711. .

20. 2)

712. ; ;

713. 4)

714. .

20. 2)

715. ; ;

716. 4)

717. .

20. 2)

718. 

719. 4)

720. ; .

20. 2)

721. 

722. 4)

723. 

20. 2)

724. 

725. 4)

726. ;

20. 2)

727. ; ;

728. 4)

729. .

20. 2)

730. ; ;

731. 4)

732. .

20. 2)

733. ; ;

734. 4)

735. .

20. 2)

736. 

737. 4)

738. ; .

20. 2)

739. 

740. 4)

741. 

20. 2)

742. 

743. 4)

744. ;

20. 2)

745. ; ;

746. 4)

747. .

20. 2)

748. ; ;

749. 4)

750. .

20. 2)

751. ; ;

752. 4)

753. .

20. 2)

754. 

755. 4)

756. ; .

20. 2)

757. 

758. 4)

759. 

20. 2)

760. 

761. 4)

762. ;

20. 2)

763. ; ;

764. 4)

765. .

20. 2)

766. ; ;

767. 4)

768. .

20. 2)

769. ; ;

770. 4) .

20. 2)

771. 

772. 4)

773. ; .

20. 2)

774. 

775. 4)

776. 

20. 2)

777. 

778. 4)

779. ;

20. 2)

780. ; ;

781. 4)

782. .

20. 2)

783. ; ;

784. 4)

785. .

20. 2)

786. ; ;

787. 4)

788. .

20. 2)

789. 

790. 4)

791. ;

20. 2)

792. ; ;

793. 4)

794. .

20. 2)

795. ; ;

796. 4)

797. .

798. 100.2)

799. ; ;

800. 4) .

802. 8) Дослідити на збіжність числові ряди:

804. 1.

805. 

806. 

807. 2.

808. 

809. 

810. 3.

811. 

812. 

813. 4.

814. 

815. 

816. 5.

817. 

818. 

819. 6.

820. 

821. 

822. 7.

823. 

824. 

825. 8.

826. 

827. 

828. 9.

829. 

830. 

831. 10.

832. 

833. 

834. 11.

835. 

836. 

837. 12.

838. 

839. 

840. 13.

841. 

842. 

843. 14.

844. 

845. 

846. 15.

847. 

848. 

849. 16.

850. 

851. 

852. 17.

853. 

854. 

855. 18.

856. 

857. 

858. 19.

859. 

860. 

861. 20.

862. 

863. 

864. 21.

865. 

866. 

867. 22.

868. 

869. 

870. 23.

871. 

872. 

873. 24.

874. 

875. 

876. 25.

877. 

878. 

879. 26.

880. 

881. 

882. 27.

883. 

884. 

885. 28.

886. 

887. 

888. 29.

889. 

890. 

891. 30.

892. 

893. 

894. 31.

895. 

896. 

897. 32.

898. 

899. 

900. 33.

901. 

902. 

903. 34.

904. 

905. 

906. 35.

907. 

908. 

909. 36.

910. 

911. 

912. 37.

913. 

914. 

915. 38.

916. 

917. 

918. 39.

919. 

920. 

921. 40.

922. 

923. 

924. 41.

925. 

926. 

927. 42.

928. 

929. 

930. 43.

931. 

932. 

933. 44.

934. 

935. 

936. 45.

937. 

938. 

939. 46.

940. 

941. 

942. 47.

943. 

944. 

945. 48.

946. 

947. 

948. 49.

949. 

950. 

951. 50.

952. 

953. 

954. 51.

955. 

956. 

957. 52.

958. 

959. 

960. 53.

961. 

962. 

963. 54.

964. 

965. 

966. 55.

967. 

968. 

969. 56.

970. 

971. 

972. 57.

973. 

974. 

975. 58.

976. 

977. 

978. 59.

979. 

980. 

981. 60.

982. 

983. 

984. 61.

985. 

986. 

987. 62.

988. 

989. 

990. 63.

991. 

992. 

993. 64.

994. 

995. 

996. 65.

997. 

998. 

999. 66.

1000. 

1001. 

1002. 67.

1003. 

1004. 

1005. 68.

1006. 

1007. 

1010. 69.

1011. 

1012. 

1013. 70.

1014. 

1015. 

1016. 71.

1017. 

1018. 

1019. 72.

1020. 

1021. 

1022. 73.

1023. 

1024. 

1025. 74.

1026. 

1027. 

1028. 75.

1029. 

1030. 

1031. 76.

1032. 

1033. 

1034. 77.

1035. 

1036. 

1037. 78.

1038. 

1039. 

1040. 79.

1041. 

1042. 

1043. 80.

1044. 

1045. 

1046. 81.

1047. 

1048. 

1051. 82.

1052. 

1053. 

1054. 83.

1055. 

1056. 

1057. 84.

1058. 

1059. 

1060. 85.

1061. 

1062. 

1063. 86.

1064. 

1065. 

1066. 87.

1067. 

1068. 

1069. 88.

1070. 

1071. 

1072. 89.

1073. 

1074. 

1075. 90.

1076. 

1077. 

1078. 91.

1079. 

1080. 

1081. 92.

1082. 

1083. 

1084. 93.

1085. 

1086. 

1087. 94.

1088. 

1089. 

1092. 95.

1093. 

1094. 

1095. 96.

1096. 

1097. 

1098. 97.

1099. 

1100. 

1101. 98.

1102. 

1103. 

1104. 99.

1105. 

1106. 

1107. 100.

1108. 

1109. 

1111. 9)Дослідити на абсолютну та умовну збіжність знакозмінні ряди:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

39. 

40. 

41. 

42. 

43. 

44. 

45. 

46. 

47. 

48. 

49. 

50. 

51. 

52. 

53. 

54. 

55. 

56. 

57. 

58. 

59. 

60. 

61. 

62. 

63. 

64. 

65. 

66. 

67. 

68. 

69. 

70. 

71. 

72. 

73. 

74. 

75. 

76. 

77. 

78. 

79. 

80. 

81. 

82. 

83. 

84. 

85. 

86. 

87. 

88. 

89. 

90. 

91. 

92. 

93. 

94. 

95. 

96. 

97. 

98. 

99. 

100. 100.

102. 10)Знайти інтервал збіжності степеневого ряду і дослідити його збіжність на кінцях цього інтервалу:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

39. 

40. 

41. 

42. 

43. 

44. 

45. 

46. 

47. 

48. 

49. 

50. 

51. 

52. 

53. 

54. 

55. 

56. 

57. 

58. 

59. 

60. 

61. 

62. 

63. 

64. 

65. 

66. 

67. 

68. 

69. 

70. 

71. 

72. 

73. 

74. 

75. 

76. 

77. 

78. 

79. 

80. 

81. 

82. 

83. 

84. 

85. 

86. 

87. 

88. 

89. 

90. 

91. 

92. 

93. 

94. 

95. 

96. 

97. 

98. 

99. 

100. 

105. 11)Розкласти в ряд Тейлора по степеням х

1. y=

2. y=;

3. y=

4. y=

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. y=sinx,

36. y=

37. 

38. 

39. 

40. 

41. 

42. 

43. 

44. 

45. Y=

46. 

47. Y=

48. 

49. 

50. 

51. 

52. =

53. 

54. 

55. y=sin(5x-2),

56. y=

57. y=

58. y=cos(3x+8),

59. y=

60. y=

61. y=cos(3x-1),

62. y=

63. y=

64. y=sin(3x-4),

65. y=

66. y=

67. y=

68. y=ln(5x-4),

69. y=

70. y=

71. 

72. 

73. 

74. 

75. 

76. 

77. 

78. 

79. 

80. 

81. 

82. 

83. 

84. 

85. 

86. 

87. y=

88. y=sin(5x-1),

89. y=sin(x-4),

90. y=

91. y=cos5x,

92. y=

93. y=

94. y=

95. y=

96. y=

97. y=sin(3x-12),

98. y=cos(6x-2),

99. y=

100. y=

110. 12)Використовуючи розклад в ряд Тейлора, обчислити перші 4 відмінні від нуля члени рішення диференційного рівняння: