metodichka

Міністерство аграрної політики України

Вінницький державний аграрний університет

Кафедра вищої математики та фізики

Найко Д.А., Шевчук О.Ф.

ПРАКТИКУМ З ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

ТА МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

для студентів економічних спеціальностей (денної та заочної форм навчання)

Спеціальність 7.050106 облік і аудит 7.050201 менеджмент організацій,

правове забезпечення АПК

Вінниця 2003

УДК 517.

Навчально-методичний посібник для проведення практичних занять з теорії ймовірностей та математичної статистики для студентів економічних спеціальностей денної та заочної форм навчання.

Автори – Завідувач кафедрою вищої математики та фізики ВДАУ, доцент Найко Д.А; асистент кафедри вищої математики та фізики ВДАУ Шевчук О.Ф.

Рецензенти – Завідувач кафедрою математики ВДПУ ім. М.Коцюбинського, доцент Абрамчук В.С.; доцент кафедри вищої математики та фізики ВДАУ Дубчак В.М.

РЕКОМЕНДОВАНО науково-методичною радою

Вінницького державного аграрного університету.

Протокол №__ від ____________ 2003 р.

Навчальне видання

Навчально-методичний посібник “Практикум з теорії ймовірностей та математичної статистики”

Спеціальність 7.050106 облік і аудит 7.050201 менеджмент організацій,

правове забезпечення АПК

Укладачі: Найко Дмитро Антонович

Шевчук Олександр Федорович

Зав. відділом В.І. Задоянний

Редактор ________________

Підписано до друку _______ формат A-5. Папір____ .Друк №___.

Друк офсетний. Ум. Друк аркушів_____. Обл. вид. арк.____.

Тираж 100 пр.

Зам №________

Віддруковано в ОЦ ВДАУ м. Вінниця, вул. Сонячна 13

ЗМІСТ

Вступ…………………………………………………………..

ВИПАДКОВІ ПОДІЇ

Розділ 1 Означення ймовірності

1.1Комбінаторика. Теорія сполук…………..……….

1.2Класичне і статистичне означення ймовірності...

1.3Геометричні ймовірності…………………………

Розділ 2 Основні теореми

2.1Теореми додавання і множення ймовірностей….

2.2Імовірність появи принаймні однієї події……….

2.3Формула повної ймовірності……………………..

2.4Формула Бейєса…………………………………...

Розділ 3 Повторні випробування

3.1Формула Бернуллі.

3.2Локальна та інтегральна теореми Лапласа, формула Пуассона………………………………...

3.3Відхилення відносної частоти від сталої імовірності в незалежних випробуваннях……….

3.4Найімовірніше число появ події в незалежних випробуваннях…………………...………………..

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Розділ 4 Дискретні випадкові величини

4.1Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини. Біноміальний закон та закон Пуассона…………………………………….

4.2Числові характеристики дискретних випадкових величин…………………………………………….

Розділ 5 Неперервні випадкові величини

5.1Інтегральна та диференціальна функції розподілу ймовірностей випадкової величини....………..

5.2Числові характеристики неперервних випадко-

вих величин………………….…………………….

5.3Рівномірний розподіл.……………..……………...

5.4Нормальний розподіл.…………………………….

5.5Показниковий розподіл.…………………………..

5.6Закон великих чисел. Нерівність Чебишева…….

ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

Розділ 6 Вибірковий метод

6.1Статистичний розподіл вибірки………………….

6.2Емпірична функція розподілу……………………

6.3Полігон та гістограма……………………………..

Розділ 7 Статистичні оцінки параметрів розподілу

7.1Точкові оцінки…………………………………….

7.2Інтервальні оцінки………………………………...

Розділ 8 Статистична перевірка статистичних гіпотез

8.1Перевірка гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності за критерієм Пірсона…..

Розділ 9 Елементи теорії кореляції

9.1Лінійна кореляція…………………………………

9.2Криволінійна кореляція…………………………..

Перелік питань до заліку……………………………………..

Додатки………………………………………………………..

Література……………………………………………………..

Вступ

Даний навчально-методичний посібник призначений для проведення практичних занять з теорії ймовірностей та математичної статистики з студентами економічних спеці-

альностей денної та заочної форм навчання. Завдання поділяються на два варіанти і охоплюють такі теми: означення ймовірності, основні теореми теорії ймовірностей, повторні випробування, дискретні та неперервні випадкові величини та елементи математичної статистики. Для кращого сприйняття матеріалу на початку кожної теми подаються короткі теоретичні відомості.

В посібнику подається також перелік питань до заліку,

вказано основну літературу для вивчення теоретичного курсу,

наведено таблиці, необхідні для розв’язування задач.

Розділ 1. ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ

§ 1.1 Комбінаторика. Теорія сполук Теоретичні відомості.

Сполуки (множини), які відрізняються як складом елементів так і їх порядком, називаються розміщенням, а їх число позначається символом А з верхнім та нижнім індексами. Кількість розміщень із n елементів по m елементів обчислюється за формулою:

Am n n 1 n 2 ... n m 1 n! .
n	n m !

Сполуки, які містять в собі m елементів із даних n і відрізняються одна від одної принаймні одним елементом, називаються комбінаціями з n елементів по m. Кількість

комбінацій з n елементів по m позначають Cnm і знаходять за формулою:

m		Am		n n 1 n 2 ... n m 1			n!
		n
Cn								.
		P		m!			m! n m !
		m

Комбінації мають ту властивість, що Cnm Cnn m .

Сполуки, які складені з усіх наявних елементів і відрізняються лише порядком елементів називаються перестановками і позначаються символом Р. Перестановки можна розглядати як окремий випадок розміщень, коли m = n. Це дає можливість вивести формулу для обчислення кількості перестановок з n елементів:

P An		n!			n!	n!
		n n !
n	n			0!

Зауваження. Число n може приймати не тільки натуральні значення, воно може також дорівнювати нулеві. Прийнято вважати, що 0! = 1.

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Скільки можна написати трицифрових чисел з різними цифрами, не використовуючи цифру 0?

2.Чотири особи треба вибрати до ради директорів місцевого акціонерного товариства. Якщо вибиратимуть з десяти кандидатів, то скільки можливих груп буде розглядатися?

3.Ви хочете зателефонувати товаришу, але забули останні дві цифри телефону. Скільки варіантів може бути при підборі необхідного вам номера телефону, коли відомо, що одна й та сама цифра два рази не повторюється?

4.На склад поступило 100 деталей. Для вибіркового контролю необхідно вибрати дві з них. Скількома способами можна виконати цю операцію?

5.Розігрується 100 білетів на студентській лотереї, причому відомо, що 10 білетів – виграшні. Ви хочете придбати два білети. Знайдіть скільки можливих варіантів у вас є в разі: а) виграшу на два білети; б) виграшу на один білет; в) не виграшу.

6.Декан економічного факультету університету хоче відібрати 4 четвертокурсники, 3 третьокурсники, 2 другокурсники і 2 першокурсники для участі в олімпіаді. 10 четвертокурсників, 8 третьокурсників, 8 другокурсників, 6 першокурсників подали заявки і були відібрані для конкурсу. Скільки різних команд можна скласти?

7.В кошику є 5 синіх та 12 червоних кульок. Скількома способами можна витягнути 2 синіх кульки, якщо навмання виймається: а) 3 кульки; б) 5 кульок?

8.Скількома способами можна поставити в рядок на книжній полиці 6 книг?

9.Скільки різних п’ятицифрових чисел, більших за 20 000, можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, якщо цифри 2, 3, 4 входять в кожне число по одному разу, а цифра 1 – два рази?

Варіант 2.

1.В кодовому замку є чотири віконця для набору цифр. Відомо, що одна цифра входить в кодову комбінацію лише один раз. Знайдіть, скільки варіантів є у злочинця для підбору необхідної комбінації.

2.Експерт з управління цінними паперами розглядає 20 об’єктів для інвестування. Лише 10 з них буде обрано. Скільки різних комбінацій об’єктів може бути вибрано?

3.Кидають гральний кубик два рази. Скільки може бути випадків, коли цифра, яка з’явиться в першому кидку відрізняється від цифри, яка з’явиться в другому кидку?

4.До магазину привезли 30 парасольок різного кольору. Скількома способами можна відібрати 4 з них?

5.Треба розподілити виконання досліджень на шести дослідних ділянках між трьома студентами. Скількома способами можна здійснити розподіл, якщо кожен повинен отримати дві ділянки?

6.В коморі є 7 мішків з картоплею та 4 мішки з цибулею. Скількома способами можна вибрати 3 мішки з картоплею, якщо навмання вибирається: а) 4 мішки; б) 5 мішків?

7.Президент корпорації вирішив розпочати розробку нового товару, який би дав йому значну конкурентну перевагу. Президент хоче призначити спеціальну команду по дизайну товару, яка складається з трьох інженерів, одного фахівця по дослідженню ринку, одного фахівця з фінансових питань і двох наглядачів за виробництвом. Існує шість інженерів, три фахівці з ринкових досліджень, чотири фахівці з фінансових питань і п’ять технологів, які розглядаються як претенденти до цієї команди. Скільки різних дизайнерських команд можна створити?

8.Скількома способами можна посадити в рядок по одному 5 декоративних дерев?

§ 1.2 Класичне і статистичне означення ймовірності

Теоретичні відомості.

Імовірністю Р(А) події А називається відношення числа рівноможливих випадків, які сприяють появі події А, до загального числа всіх рівноможливих і єдино можливих випадків у даному випробуванні. Таким чином,

P A m , n

де m – число випадків, які сприяють появі події А; n – загальне число можливих випадків випробування.

Відносною частотою W(А) події А називається відношення числа випробувань, у яких подія з’явилась, до загального числа фактично проведених випробувань. Таким чином, відносна частота події А визначається формулою

W A m , n

де m – число появи події А; n – загальне число випробувань.

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Кинуто два гральних кубики. Знайти ймовірності таких подій: а) сума очок, що випали, дорівнює семи; б) сума очок, що випали, дорівнює восьми, коли відомо, що їх різниця дорівнює чотирьом.

2.В торбинці є 5 однакових кубиків. На кожному кубику написано одну з наступних літер: о, п, р, с, т. Знайти ймовірність того, що на витягнутих одним за одним та розташованих “в одну лінію” кубиках можна буде прочитати слово “спорт”.

3.Куб, усі грані якого пофарбовано, розрізаний на тисячу кубиків однакового розміру, які потім ретельно перемішані.

Знайти ймовірність того, що навмання взятий кубик має: а) три пофарбовані грані; б) одну пофарбовану грань.

4.В ящику є 15 деталей, серед яких 10 пофарбовано. Робітник навмання вибирає три деталі. Знайти ймовірність того, що всі вибрані деталі будуть пофарбованими.

5.Пристрій складається з п’яти елементів, з яких два зношені. При вмиканні пристрою випадковим чином вмикаються два елементи. Знайти ймовірність того, що ввімкнутими будуть незношені елементи.

6.У цеху працюють шість чоловіків та чотири жінки. За табельними номерами навмання відібрано сім осіб. Знайти ймовірність того, що серед відібраних осіб виявиться три жінки.

7.В коробці п’ять однакових виробів, три з яких пофарбовано. Навмання відбираються два вироби. Знайти ймовірність того, що серед двох відібраних виробів виявиться: а) один пофарбований; б) два пофарбованих вироби; в) принаймні один пофарбований виріб.

8.По мішені проведено 20 пострілів, причому зареєстровано 18 влучень. Знайти відносну частоту влучення в мішень.

9.При випробуванні партії приладів відносна частота придатних приладів виявилась рівною 0,9. Знайти кількість придатних приладів, якщо перевірено було 200 приладів.

Варіант 2.

1.Кинуто два гральних кубики. Знайти ймовірності таких подій: а) сума очок, що випали, дорівнює п’яти, а їх добуток

– чотирьом; б) сума очок, що випали дорівнює семи, коли відомо, що їх різниця дорівнює трьом.

2.На кожній з шести однакових карток надруковано одну з наступних літер: а, т, м, р, с, о. Картки ретельно перемішані. Знайти ймовірність того, що на чотирьох, витягнутих одна за одною та розміщених “в одну лінію” картках, можна буде прочитати слово “трос”.