Розрах

Міністерство аграрної політики України

Вінницький національний аграрний університет

Навчально – науковий інститут аграрної економіки Факультет обліку та аудиту

Кафедра математики, інформатики та математичних методів в економіці

Вища математика

Методичні вказівки та завдання

Вінниця 2012

1

	ЗМІСТ
	стор.
ПЕРЕДМОВА	3
Мета і завдання дисципліни	3
Розподіл занять за темами	4
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

Змістовий модуль 1. Лінійна та векторна алгебра.

Тема 1. Матриці. Дії над матрицями. Системи рівнянь та методи їх розв’язання. 5

Тема 2. Векторна алгебра. Види добутків векторів, їх застосування. 10

Змістовий модуль 2. Аналітична геометрія на площині та в просторі.

Тема 3.	Аналітична геометрія на площині.	12
Тема 4.	Аналітична геометрія в просторі.	14

РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАВДАНЬ

Змістовий модуль 1. Лінійна та векторна алгебра.

Тема 1. Матриці. Дії над матрицями. Системи рівнянь та методи їх розв’язання. 19

Тема 2. Векторна алгебра. Види добутків векторів, їх застосування. 23

Змістовий модуль 2. Аналітична геометрія на площині та в
просторі.
Тема 3. Аналітична геометрія на площині.	27
Тема 4. Аналітична геометрія в просторі.	31
Список літератури	36
Додатки	37
Висновки та зауваження викладача	42

2

ПЕРЕДМОВА

Предмет вищої математики в університеті є базовою навчальною дисципліною на першому курсі факультету менеджменту. Вміння застосовувати певні математичні знання, закономірності, формули; проявляти логічне мислення для студентів стане успіхом у вивченні багатьох профілюючих дисциплін. Одним з напрямків поліпшення підготовки студентів в умовах підвищення вимог до рівня знань та вмінь є покращення ефективності самостійної роботи студентів.

Методичні вказівки містять приклади розв’язання типових завдань з поясненням, що сприяє самостійному виконанню індивідуальних розрахункових завдань, які подані у 30 варіантах в додатках. А також, в кожній темі на початку індивідуальних завдань є блок теоретичних запитань, на які студент дає відповідь письмово. Це передбачено для кращого засвоєння основних понять і положень курсу вищої математики .

В методичних вказівках наведено список літератури, рекомендованої для використання з метою більш глибокого засвоєння курсу.

Мета і завдання дисципліни.

Мета вивчення дисципліни “Вища математика” – навчити студентів раціональним методам обчислень, логічному обґрунтуванню прийнятих рішень та прогнозуванню їх результатів, ефективному використанню математичної теорії на практиці.

3

Розподіл занять за темами

Кількість

Номер

Змістов

годин

лекцій/

модуля

ий

Назва теми. Форма контролю.

Бали

практичн

модуль

их

Всього:

16/18

Матриці, визначники, операції над ними,

властивості операцій. Системи лінійних рівнянь і

алгебра

методи їх розв’язування (матричний метод, метод

2

Крамера, метод Гауса). Контрольна робота №1

4/6

Розрахункова робота. Завдання 1.

Матриці.

Дії

2

над матрицями. Системи рівнянь

та

методи

їх

векторна

розв’язання.

Активність

2

та

Поняття вектора. Лінійні операції над векторами, їх

властивості. Лінійна залежність векторів. Базис

Лінійна1.

2

тивості. Контрольна робота №2

системи векторів. Координати векторів. Операції

над векторами в координатній формі.

Скалярний,

4/4

векторний та мішаний добутки векторів, їх влас-

Розрахункова робота. Завдання 2. Векторна

алгебра. Види добутків векторів, їх застосування.

2

Активність

1,6

М 1

в

Рівняння прямої на площині. Кутовий коефіцієнт

та

прямої. Взаємне розташування прямих на площині.

Умови паралельності та перпендикулярності двох

площині

4/4

прямих. Кут між прямими. Контрольна робота №3

3

Розрахункова робота. Завдання 3. Аналітична

на .

геометрія на площині.

2

Активність

1,6

геометрія

просторі

Нормальний та напрямний вектори. Взаємне роз-

Рівняння площини. Рівняння прямої в просторі.

Аналітична

міщення прямих і площин в просторі. Умови

2

4/4

геометрія в просторі.

паралельності та перпендикулярності прямих і

площин в просторі. Контрольна робота №4

3,2

Розрахункова робота. Завдання 4

Аналітична

2.

Активність

1,6

Колоквіум

10

Загальна кількість балів за М1

35

4

Методичні вказівки

Модуль 1

Змістовий модуль 1

Лінійна та векторна алгебра

Тема 1. Матриці. Дії над матрицями. Системи рівнянь та методи

їх розв’язання.

Завдання 1.
Дано матриці А і В:
	2		1	1					1
A		1 3		2		,	B		1
		4	0	1
									2

	Потрібно:
1)	обчислити матриці C BT B,	D B BT ,	F A D;
2)	знайти матрицю A 1. Зробити перевірку;
3)	записати матричне рівняння	A X B у	вигляді системи лінійних

рівнянь;

4)розв’язати систему матричним методом;

5)розв’язати систему методом Крамера;

6)розв’язати систему методом Гаусса.

Розв’язання:

1) BТ 1

1

2

Виконуємо множення матриць за правилом «рядок на стовпчик»:

			1
C 1	1		2
		2		1 1 ( 1) ( 1) 2 2 (6);
			1

5

1				1 1		1 ( 1)	1 2	1	1	2
		1				1 ( 1)
D 1 1			2 1 1				1 2 1 1			2 ;
					2 1	2 ( 1)			2
2							2 2	2		4
2	1	1	1		1	2
F 1 3		2 1 1				2
				2	2
4 0		1				4

	2 1 ( 1) ( 1) 1 2								2 ( 1) ( 1) 1 1 ( 2)	2 2 ( 1) ( 2) 1 4
									1 ( 1) 3 1 ( 2) ( 2)
1 1 3 ( 1) ( 2) 2										1 2 3 ( 2) ( 2) 4
	4 1 0 ( 1) 1 2								4 ( 1) 0 1 1 ( 2)	4 2 0 ( 2) 1 4
	5		5		10
	6	6		12
	6		6		12
2) Обчислюємо визначник матриці А:
det A			2	1	1
			1	3		2		2 3 1 ( 1) ( 2) 4 1 0 1 1 3 4 ( 1) 1 1
			4	0	1

2 ( 2) 0 6 8 12 1 3

Можна обчислювати визначник розкладанням за будь-яким рядком або

стовпчиком, наприклад, за першим рядком:

2	1	1	2 ( 1)1 1							3	2				1 ( 1)1 2						1	2		1 ( 1)1 3								1	3
1 3 2
4	0	1								0		1									4	1										4	0
2 (3 0) (1 8) (0 12) 3
det A 0,отже матриця A невироджена і має обернену A 1
																1			A			A					A
												1							11			21					31
											A							A12				A22				A32
																det A			A			A				A
																			13			23					33
	Знайдемо всі алгебраїчні доповнення.
A ( 1)1 1					3	2		3 0 3									A ( 1)1 2									1	2			(1 8) 9
11					0	1											12									4		1

6

A						1 3				1									3	0 12 12
			( 1)
13										4									0
A ( 1)2 1																1				1					( 1) 1										A ( 1)2 2										2	1		2 4 2
21													0						1																22										4	1
A ( 1)2 3																	2		1							(0 4) 4
23																	4		0
A ( 1)3 1														1						1								2 3 1							A ( 1)3 2								2 1							( 4 1) 5
31											3									2															32								1			2
A ( 1)3 3															2				1					6 1 7
33															1				3
				Отже:
																																1					3	1							1
																														A	1
																																			9				2						5
																																3							4		7
																																			12
				Тепер потрібно перевірити, що побудована матриця дійсно є
оберненою									до										матриці A,											тобто					перевірити,										що					A A 1	або A 1 A
дорівнює одиничній матриці.
								2										1									1 3					1				1
A A				1		1
								1 3																		2 9						2				5
					3				4 0																							4
																											1 12									7
			6 9 12																2 2 4											2 2 7									3					0 0						1 0	0
	1																																					1
			3 27 24																1 6 8										1 15 14										0					3 0 0 1							0 E
3																			4 0 4											4 0 7								3
			12 0 12																																				0					0 3						0 0	1
3) Запишемо матричне рівняння A X B у вигляді системи рівнянь:
																															2x x						x	1
																																1				2	3
																														x1		3x2 2x3 1
																																4x x 2
																																1					3

4) Матрицю невідомих знайдемо за формулою X A 1 B, де матриця

A 1 обчислена раніше у пункті (2).

Тоді:

7

			3		1 1				1									3 1 2					0				0
X	1			9	2	5				1				1				9 2 10			1			3				1
	3																				3
				12	4	7				2				3				12 4 14						6				2
									x1				0
						X									1
									x2
									x						2
										3

Отже, розв’язок системи: x1 0, x2 1, x3 2

5) Спочатку потрібно знайти головний визначник системи (візьмемо його з прикладу 2):

	2	1	1
	1	3	2	3
	4	0	1

Система має єдиний розв’язок. Обчислимо x1, x2													та x3 :
x1		1					1		1
					1 3			2				3 4 0 6 0 1 0
		2					0		1
x2						2	1	1
						1	1	2		2 8 2 4 8 1 3
						4	2	1
x3					2		1	1
					4		2	2				12 4 0 0 4 12 0
					0		1	3

За правилом Крамера знаходимо розв’язок системи:

x	x1		0	0	x			x2		3	1	x			x3		6	2
1	3					2		3					3		3

6) Записуємо систему рівнянь у вигляді розширеної матриці та за допомогою послідовних перетворень: зміни місць рядків, множення рядка на число, додавання рядків, приводимо цю матрицю до трикутного вигляду:

8

1	a	a		b
	12		13	1
0	1	a
			23	b2
0	0	1		b
				3

Отже,
2				1	1				1		1			3 2								1
		3			2									1					1				Ip ( 2) IIp;
1									1 Ip IIp 2														1
	1	0			1									0					1				Ip ( 4) IIIp
									2		4												2
1		3			2			1						1				3 2							1
				7	5												7			5
0									3 IIIp ( 3) 2					0											3 IIIp IIp
	0	12			9													8 6
								6						0											4
1 3	2			1							1 3			2			1								1 3	2		1
	1											1		1												1
0 1				1 IIp 8 IIIp 0													1 IIIp							2 0 1				1
	6													2			4									1
0 8				4							0 0														0 0			2
Від одержаної матриці переходимо до відповідної системи рівнянь:
										x 3x				2x					1
										1			2					3	1
												x2 x3
															x3				2
Розв’язуємо систему з кінця, тобто з третього рівняння. Підставимо
значення		x3 2			в				друге	рівняння		і		одержимо:											x2 x3 1 2 1 1. З
першого рівняння знайдемо x1 3x2												2x3			1 3 1 2 2 1 0.
											x1 0,x2 1,x3 2
Зробимо перевірку:
										2x1 x2 x3 2 0 1 2 1
										3x2 2x3 0 3 1 2 2 1
									x1
										4x1 x3 4 0 2 2

Порівнявши відповідь з заданою системою, робимо висновок, що знайдені корені вірні.

9

Тема 2. Векторна алгебра. Види добутків векторів, їх

застосування.
Завдання 2.
Задано координати вершин піраміди АВСD:
А (-2; -3; 2),		В (3; 5; 1),		С (6; 6; 7),	D (1; 6; 6).
Використовуючи методи векторної алгебри, знайти:
1)	скалярний добуток		AB AC і кут між ребрами АВ і АС;
2)	проекцію вектора		AB на вектор AC ;

3)площу грані АВС;

4)об’єм піраміди:

Розв’язання:

1) Знайдемо координати векторів AB , AC і AD , віднімаючи від

координат кінця вектору координати початку вектору:

AB xB			xA; yB	yA;zB	zA 3 2;5 3;1 2 1;2; 1
		xC	xA; yC	yA;zC	zA 6	2;6 3;7 2 4;3;5
AC
		xD	xA; yD	yA;zD	zA 1	2;6 3;6 2 1;3;4
AD

Обчислимо скалярний добуток векторів AB і AC :

AB AC ABx ACx ABy ACy ABz ACz 1 4 2 3 1 5 5

Обчислимо модулі векторів AB і AC:

AB = ABx2 ABy2 ABz2 = 12 22 ( 1)2 = 6 (лін.од.).

AC = ACx2 ACy2 ACz2 = 42 32 52 = 50 =52 (лін.од.).

Знайдемо косинус кута між векторами AB і AC:

	cos(		,		) =			AB AC									5							1				1
		AB		AC
								AB				AC					6 5 2						6		2 2 3

Таким чином, кут між векторами (ребрами) дорівнює:

1

AB, AC arccos 1,278

23

10