Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МНК.doc
Скачиваний:
17
Добавлен:
22.02.2015
Размер:
426.5 Кб
Скачать

15

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Институт радиоэлектроники и информационных технологий - РТФ

Кафедра Автоматика и информационные технологии

Аппроксимация таблично заданных функций алгебраическим многочленом на основе метода наименьших квадратов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К лабороторной работе ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Численные методы»

2011

Составитель И.А.Селиванова, ст.преподаватель.

АППРОКСИМАЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ многочленом НА ОСНОВЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Численные методы»

Указания предназначены для студентов всех форм обучения направления 230100 – «Информатика и вычислительная техника».

Ó ФГАОУ ВПО «УрФУ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина», 2011

СОДЕРЖАНИЕ

1.АППРОКСИМАЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ многочленом НА ОСНОВЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. 4

1.1. Метод наименьших квадратов. 4

1.2. Построение ортогонального многочлена. 5

1.3. Задание на практику. 9

1.4. Варианты заданий. 10

Список литературы 15

1.Аппроксимация таблично заданных функций алгебраическим многочленом на основе метода наименьших квадратов.

1.1. Метод наименьших квадратов.

Предположим, что между независимой переменной x и зависимой переменной y имеется некоторая функциональная связь . Эта связь отображается в таблице приближенных значений.

Таблица 1.Приближенные значения

x

y

Требуется дать приближенное аналитическое описание этой связи, т.е. подобрать функцию такую, которая аппроксимировала бы на отрезке [,] функцию f(x), заданную отдельными приближенными значениями . Для решения этой задачи находят функцию такую, чтобы она «в среднем» хорошо отражала зависимость междуx и y. Ее параметры выбираются так, чтобы сумма квадратов отклонений вычисляемых значений от заданных значений была минимальной. Число данных приближений должно быть не меньше, чем число параметров в подбираемой зависимости , т.е..

Пусть функция зависит отm параметров:

(1)

Найдем значения параметров (где), решая экстремальную задачу

(2)

Оптимальное значение набора параметров определяется решением системы уравнений:

(3)

Если то система уравнений (3) преобразуется в линейную систему уравнений:

……………………………………………………………………

(4)

которая после несложных преобразований примет вид:

……………………………………………………………………………

(5)

1.2. Построение ортогонального многочлена.

Пусть - алгебраические многочлены степеней 0,1,…,n соответственно. Будем говорить, что полиномы взаимно ортогональны на множестве точек, если

(6)

Пусть

, ,

(7)

где константа должна быть определена из условия ортогональностиина множестве точек. Следовательно, должно выполняться соотношение

(8)

Откуда

(9)

Пусть теперь

(10)

где константы иопределяются из условий ортогональностиполиномами, т.е. из условий

(11)

(12)

Учитывая, что в силу ортогональности многочленов, из соотношения (4.14) получаем

(13)

(14)

так что

(15)

Построение последующих полиномов проводится аналогичным образом. Считая, что полиномыуже найдены, положим

(16)

где константы иподлежат определению из условия ортогональности.

(17)

(18)

Сформулируем алгоритм построения ортогональных многочленов:

  1. Положить ,.

Для j=1,…,n-1 положить , гдезадается формулой (17), а- (18).

  1. Вычислить коэффициенты полинома метода наименьших квадратовпо формуле

(19)

Преимуществом этого подхода является возможность строить полином метода наименьших квадратов степень за степенью. Например, если мы заранее не знаем, полином какой степени нас удовлетворит, мы можем начать с полинома первой степени, затем построить полином второй степени и т.д., пока не получим полином, который будем считать подходящим. В приведенном алгоритме построения ортогональных полиномов коэффициенты не зависят отn; как только вычислен полином , можно найти коэффициентыи, следовательно, получить полином наименьших квадратов степениj.