Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

02 Скорость звука и показатель адиабаты

.pdf
Скачиваний:
32
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
268.33 Кб
Скачать

Лабораторная работа № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ УДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ВОЗДУХА ПО СКОРОСТИ ЗВУКА

Теплоемкостью тела называется отношение бесконечно малого количества тепла, полученного телом, к соответствующему приращению его температуры. Если эта величина отнесена к единице массы вещества, то говорят об удельной теплоемкости.

Теплоемкость газа (да и не только газа) существенно зависит от того, в каких условиях к исследуемому газу подводится теплота. Если теплота подводится к газу в условиях, когда его объём не может изменяться, то она расходуется только на его нагревание (т.е. на увеличение кинетической энергии частиц). Если же энергия в форме теплоты подводится к газу в условиях, когда он может расширяться, поддерживая свое давление постоянным, то теплота идет не только на нагрев газа, но и на работу, которую совершает газ при расширении. Следовательно, в этом случае для нагревания газа на 10C требуется больше теплоты.

Поэтому говорят о теплоемкости при постоянном объёме Cv (изохорическая теплоемкость) и о теплоемкости при постоянном давлении Cp (изобарическая теплоемкость). Ясно, что Cp всегда больше, чем Cv, так что отношение Cр/Cv больше единицы.

Отношение Cр/Cv играет важную роль в физике тепловых явлений. И не только тепловых. Это отношение, например, определяет скорость распространения звука в газе.

Целью лабораторной работы и является определение отношения Cр/Cv по скорости звука.

1. Основы метода измерения отношения удельных теплоемкостей воздуха

по скорости звука

Жидкости и газы обладают только объемной упругостью, но не упругостью формы. Поэтому в них могут распространяться только продольные возмущения, но не возмущения поперечные. Скорость распространения продольных возмущений (звуковые волны продольные) в упругой среде определяется плотностью среды ρ и ее упругими свойствами.

В твердом стержне, например, скорость продольной волны равна

v =

E

,

(1.1)

 

ρ

 

 

где E - модуль упругости (модуль Юнга) материала стержня, ρ − плотность стержня. В свою очередь, модуль Юнга определяется из формулы (закон Гука)

σ = −E

dl

.

(1.2)

 

 

l

 

Здесь σ - напряжение, т.е. сила, отнесенная к единице площади сечения стержня, а dl/l - относительное удлинение стержня, вызываемое приложенным напряжением.

При прохождении звуковой волны в газе роль относительного удлинения играет относительное изменение объема dV/V, а роль напряжения σ - изменение давления dP, которое возникает при прохождении волны. Именно из-за изменения давления и изменяется объем. Это позволяет нам найти ту величину, которая в случае газа играет роль модуля Юнга.

Сжатие и расширение газа в звуковой волне, т.е. колебания плотности и связанные с ними колебания температуры, происходят настолько быстро и теплопроводность газа настолько мала, что для таких процессов теплообмен не играет никакой роли. Разность температур между сгущениями и разряжениями воздуха в звуковой волне не успевает выравниваться, так что распространение звука в газе можно считать адиабатическим процессом. А при адиабатическом

процессе объем газа и его давление связаны уравнением Пуассона

 

PVγ=const,

(1.3)

где γ - отношение Cр/Cv.

1

Дифференцируя далее уравнение Пуассона, получим

γPVγ-1dV+VγdP=0,

 

откуда

 

γdV/V=-dP/P.

 

Окончательно получим для dP выражение

 

dP = −γP

dV

.

(1.4)

 

 

V

 

Если в выражении (1.4) dP играет ту же роль, что и напряжение σ в (1.2), а относительное изменение объема газа – роль относительного удлинения, то сравнивая (1.4) с равенством (1.2), находим, что роль модуля Юнга в случае газов играет величина

 

E=γP.

(1.5)

Поэтому, по аналогии с формулой (1.1), скорость звука в газе выражается следующим

образом:

 

 

v =

γP .

(1.6)

 

ρ

 

Это и есть формула Лапласа для скорости звука в газе.

Пользуясь уравнением состояния идеального газа, можно формулу Лапласа переписать в

виде

v =

γRT

,

(1.7)

 

μ

 

 

где μ– молярная масса воздуха (μ=29 г/моль). Таким образом, если измерить скорость звука в газе, то можно вычислить и значение γ:

γ =

Cp

=

μv2

.

(1.8)

Cv

RT

 

 

 

 

Для измерения скорости звука используется осциллограф, на горизонтально отклоняющие пластины которого подается переменное напряжение известной частоты от звукового генератора. То же напряжение от того же генератора подается на излучатель, в котором оно преобразуется в звук той же частоты. Звук этот, попадая на приемник, снова преобразуется в переменное напряжение все той же частоты. Однако из-за того, что звуку требуется некоторое время, чтобы пройти от излучателя к приемнику (микрофону), переменное напряжение, подаваемое от микрофона на вертикально отклоняющие пластины осциллографа, отстает по фазе на некоторый угол ϕ относительно напряжения, подаваемого непосредственно от генератора на горизонтально отклоняющие пластины.

Таким образом, на экране осциллографа имеет место сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты с разностью фаз ϕ. Известно, что при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты в общем случае

образуется эллипс (рис.1).

 

 

 

 

Колебания вдоль горизонтальной оси (оси x) описывается уравнением вида

 

 

 

 

x=Asinωt,

(1.9)

где A - амплитуда колебаний; ω - циклическая частота; t - время.

 

Колебания же вдоль вертикальной оси (оси y) описываются уравнением вида

 

 

 

 

 

y=Bsin(ωt+ϕ),

(1.10)

где B - амплитуда колебаний вдоль оси y.

 

Эти два уравнения можно представить в виде

 

 

 

x

= sin ωt,

 

 

 

 

 

 

A

(1.11)

y

 

 

 

= sin ωt cos ϕ+cos ωt sin ϕ.

 

 

 

B

 

 

 

 

2

Чтобы получить уравнение траектории, нужно исключить из этих уравнений время. Для этого сначала преобразуем уравнения (1.11) к виду

 

 

 

 

x

= sin ωt,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

cos ϕ

 

 

 

= cos ωt,

 

A

 

ϕ

B

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

затем возведем оба уравнения в квадрат и сложим их. Тогда получим:

 

x 2

 

2xy

y

2

 

 

 

 

cos ϕ+

 

 

= sin 2 ϕ.

 

AB

 

 

A

 

 

B

 

(1.12)

(1.13)

Уравнение (1.13) и есть уравнение траектории. Оно представляет собой эллипс, главные оси которого не совпадают с осями координат (на рис.1 главные оси совпадают с осями координат), за исключением случая, когда ϕ=π/2.

При ϕ=0,2π,4π (или, в общем случае, ϕ=2πn, где n= 0,1,2,...) уравнение (1.13) примет вид

x

y

= 0.

(1.14)

A

B

 

 

 

Это уравнение прямой, проходящей через 1-й и 3-й квадранты (рис.2). Если ϕ=π,3π,5π, (или в общем случае ϕ=(2n+1)π, где n= 0,1,2,...), уравнение траектории имеет вид:

x

+

y

= 0.

(1.15)

A

B

 

 

 

Это уравнение прямой, проходящей через 2-й и 4-й квадранты (рис.3). Нас будут интересовать случаи, изображенные на рис.2 и .3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2

 

 

 

Рис.3

 

 

 

 

 

Так как разность фаз ϕ возникает из-за того, что звук проходит определенный путь от излучателя к приемнику, то, изменяя это расстояние, можно изменять и разность фаз и соответственно получить любой вид траектории электронного луча на экране осциллографа.

Покажем это. Пусть в той точке пространства, где расположен излучатель, давление воздуха изменяется по закону

Pизл=Pатм+P0sinωt,

(1.16)

где P0- амплитуда звуковой волны; Pатм - атмосферное давление. Звук, который мы слышим и что,

собственно, и называется звуком, описывается вторым слагаемым в этой формуле.

 

В точке пространства, где расположен приемник, зависимость давления от времени будет

иметь несколько иной вид. Действительно, для того чтобы какое-то определенное

состояние

(например, сжатие), которое было в момент времени t в точке расположения излучателя, достигло точки, в которой находится приемник, необходимо какое-то время t. Это время будет зависеть от расстояния L между излучателем и приемником и скорости, с которой распространяются в воздухе сжатия и разрежения, т.е. скорости звука.

Рассуждая таким образом мы придем к выводу, что давление в месте расположения

приемника будет иметь вид

 

Çприематм0ûøòω(å- å)

(1.17)

3

Время распространения звука от излучателя к приемнику равно

 

t =

L

.

(1.18)

 

 

Отсюда

 

v

 

 

 

 

 

 

Pприем=Pатм+P0sin(ωt-ω L/v).

(1.19)

Далее, поскольку скорость и длина волны связаны соотношением

 

v =

 

λ

= λf ,

(1.20)

 

 

 

 

T

 

где λ - длина волны; T - период; f – частота, то, используя еще и соотношение ω=2π/T, получим

Pприем=Pатм+P0sin(ωt- 2πL/λ).

(1.21)

Заметим еще раз, что приемник преобразует изменение давления в напряжение Uy

 

Uy P0sin(ωt- 2πL/λ),

(1.22)

которое и подается на вертикально отклоняющие пластины осциллографа. Из этой формулы видно, что, изменяя расстояние L между излучателем и приемником, можно сделать любым сдвиг фаз между синусоидальными напряжениями, подаваемыми на горизонтально отклоняющие и вертикально отклоняющие пластины осциллографа. Пусть при L=L1, где L1=nλ (n=0,1,2,3,...), траектория электронного луча на осциллографе имеет вид, описываемый формулой (1.14) и изображенный на рис.2. Если теперь увеличить (или уменьшить) расстояние L на величину λ/2 (т.е. L2=L1±λ/2=(2n±1)λ/2), то на экране будет наблюдаться траектория, вида (1.15) (рис.3).

Очевидно, что, измерив экспериментально наименьшее расстояние между положениями, в которых траектории электронного луча имеют вид, изображенный на рис.2. и 3., можно получить

длину волны λ/2=L2-L1, или

 

λ=2(L2-L1).

(1.23)

Тогда скорость звука, согласно формуле (1.20), будет равна

 

v= λf=2(L2-L1)f.

(1.24)

2. Описание экспериментальной установки

Принципиальная схема экспериментальной установки для определения скорости звука изображена на рис.4.

Рис.4. Принципиальная схема экспериментальной установки:

1 - излучатель; 2 - приемник с предусилителем; 3 - звукоизолирующая труба; 4 - пенопласт; 5 - латунная штанга; 6 - осциллограф; 7 - генератор звуковой частоты Основными частями экспериментальной установки являются излучатель и приемник,

размещенные в звукоизолирующей трубе (труба необходима для уменьшения влияния посторонних звуков). Приемник закреплен неподвижно на конце трубы в звукоизолирующей оболочке из пенопласта (пенопласт также защищает от посторонних звуков). Излучатель

4

прикреплен к латунной штанге, с помощью которой его можно перемещать относительно приемника.

Напряжение звуковой частоты от генератора подается на излучатель и горизонтально отклоняющие пластины осциллографа. На вертикально отклоняющие пластины подается напряжение с приемника, усиленное предусилителем, расположенным внутри пенопластовой оболочки приемника.

3.Методика проведения эксперимента

По д г о т о в к а к о п ы т у

Ознакомиться с описанием и лабораторной установкой.

Внимание! Питание звукового генератора и осциллографа осуществляется напряжением 220 В. Соблюдайте осторожность при работе. Категорически запрещается одновременное прикосновение к корпусу приборов и заземляющему (зануляющему) контуру.

З а д а н и е

В настоящей работе необходимо измерить скорость звука в воздухе и определить отношение удельных теплоемкостей воздуха.

1.Включить осциллограф и звуковой генератор. Дать им прогреться в течение 10 мин.

2.Установить на звуковом генераторе частоту 1500 Гц и получить на экране эллипс. Если эллипс не получается, проконсультироваться у преподавателя.

3.Двигая латунную штангу с укрепленным на ней излучателем, получить прямую линию на экране осциллографа.

4.Измерить линейкой расстояние от штриха на конце латунной штанги до торца трубы (L1).

5.Двигая далее штангу, получить прямую, соответствующую изменению фазы на π.

Измерить соответствующее расстояние от штриха на конце латунной штанги до торца трубы (L2). Разность L1 и L2 равна половине длины волны.

6.Весь экспериментальный материал лучше представить в виде таблицы.

Табл. 1. Экспериментальные данные

Частота f,

Расстояние,

Длина волны

Скорость звука

п.п.

Гц

 

м

λ =2(L2- L1), м

v, м/с

 

 

L1

L2

 

 

 

1500

 

 

 

 

 

1000

 

 

 

 

 

1100

 

 

 

 

 

1200

 

 

 

 

 

1300

 

 

 

 

 

1400

 

 

 

 

 

1600

 

 

 

 

 

1700

 

 

 

 

 

1800

 

 

 

 

 

1900

 

 

 

 

 

2000

 

 

 

 

7.Пользуясь формулой (1.24), рассчитать скорость звука в воздухе.

8.Построить график зависимости скорости звука от частоты. Сделать вывод о зависимости скорости звука от частоты.

5

9. Рассчитать среднее значение скорости звука и его среднеквадратичную ошибку:

 

n

 

 

 

 

 

vi

 

 

v =

i=1

 

,

 

(3.1)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

Sv =

(vi v)2

 

 

i=1

,

(3.2)

 

 

 

n(n 1)

 

 

где n - число измерений.

10. Для измерения, сделанного при частоте 1500 Гц, рассчитать относительную систематическую погрешность измерения по формуле:

v

=

L21 + L22

 

f

2

(3.3)

v

(L2 L1 )2

+

f

 

.

 

 

 

 

 

11. Сравнить систематическую и случайную погрешности ( o =SV t , где t- коэффициент

Стьюдента). Ошибка среднего значения скорости звука будет полностью определяться наибольшей ошибкой, если они различаются более чем в 3 раза.

12. Используя полученную среднюю скорость звука, вычислить γ по формуле (1.8), а также случайную и систематическую погрешности по формуле:

γ

=

 

v 2

 

T 2

(3.4)

γ

4

v

 

+

T

.

 

 

 

 

 

 

13. Сравнить полученный для γ результат с табличным и теоретическим, рассчитанным для двухатомного идеального газа по формуле

γ =

Cp

=

i + 2

,

(3.5)

Cv

i

 

 

 

 

где i - число степеней свободы. Сделать выводы.

14. По окончании работы выключить генератор и осциллограф.

4.Контрольные вопросы

1.Почему есть связь между скоростью звука и отношением теплоемкостей Cрv?

2.Каков механизм распространения звука в газовой среде?

3.В чем состоит метод измерения скорости звука, используемый в данной работе?

4.На сколько изменится сдвиг фаз при изменении расстояния между излучателем и

приемником на 3/4λ?

Список литературы

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики: Термодинамика и молекулярная физика. М.:Наука,

1979.

2.Гольдин Л.Л. Лабораторные занятия по физике. М.: Наука, 1983.

3.Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.:

Наука, 1972.

6