строймех_методичка _по_второй _лабе

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. К. Манжосов

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК

Методические указания

Ульяновск

2010

УДК 624.04(076) ББК 38.121я7

М 23

Рецензент канд. техн. наук, доцент А. Н. Черный

Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета

Манжосов, В. К.

М23 Расчет трехшарнирных арок : методические указания. – Ульяновск :

УлГТУ, 2010. – 36 с.

Составлены в соответствии с учебными программами по дисциплине «Строительная механика» для направления «Строительство». Методические указания предназначены для выполнения расчетно-проектировочных и контрольных заданий, предусмотренных рабочими программами по дисциплине.

Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной механики.

УДК 624.04(076) ББК 38.121я7

.

Учебное издание МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК

Методические указания

Редактор М. В. Теленкова

Подписано в печать 01.10.2010. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,09. Тираж 100 экз. Заказ 1040.

Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.

Типография УлГТУ, 432027, Сев. Венец, 32

Манжосов В. К., 2010.Оформление. УлГТУ, 2010

2

СОДЕРЖАНИЕ
РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК …………………..……………..	4
1. Основные положения………………………………………………	4
2. Пример расчета трехшарнирной арки……………………………	13
2.1. Задание для расчета…………………………………………..	13
2.2. Кинематический анализ………………………………………	14
2.3. Определение реакций в опорах арки ……………………….	14
2.4. Определение внутренних силовых факторов в поперечных
сечениях арки. Построение эпюр продольных сил, поперечных	15
сил и изгибающих моментов……………………………………..
2.4.1. Определение внутренних силовых факторов в верти-
кальных сечениях арки. Построение эпюр продольных сил,	15
поперечных сил и изгибающих моментов………………….
2.4.2. Определение внутренних силовых факторов в попе-
речных сечениях арки. Построение эпюр продольных сил,	19
поперечных сил и изгибающих моментов…………………..
2.5. Линии влияния опорных реакций ……………………………	22
2.6. Линии влияния продольной силы, поперечной силы и изги-	23
бающего момента для заданного сечения арки…….……………
2.7. Определение усилий по линиям влияния и сопоставление с	29
аналитическими данными………………………………………….
2.7.1. Определение реакций опор по линиям влияния………	29
2.7.2. Определение по линиям влияния значений продольной
силы, поперечной силы и изгибающего момента в заданном	30
сечении…………………………………………………………
РЕКОМЕНДУЕМЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ….…………………...	33
ПРИЛОЖЕНИЕ …………………………………………………………..	34

3

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК 1. Основные положения

Основные понятия. Арочными называются системы криволинейного (рис. 1.1, а) или ломаного (рис. 1.1, б) очертания, в опорах которых от вертикальной нагрузки возникают наклонные реакции, направленные, как правило, внутрь пролета. Горизонтальная составляющая такой реакции называется распором.

а)	б)
Рис. 1.1. Трехшарнирная арочная система
Пролетом арки l	называют расстояние между опорными вертикалями.
Стрелой подъема арки	f называют расстояние от наиболее удаленной точки

оси арки (ключевого шарнира) до линии, соединяющей центры опор.

Геометрически неизменяемость системы. Трехшарнирная арочная сис-

тема является геометрически неизменяемой системой. Для того, чтобы образованная стержневая система была геометрически неизменяема, необходимо, чтобы число степеней свободы w системы было равно нулю. Число степеней свободы w стержневой системы, состоящей из n стержней, соединенных с помощью p шарниров, и имеющей C0 опорных стержней, можно определить как

w 3n 2 p C0 .	(1.1)
Тогда при w = 0 общее число опорных стержней C0	должно соответство-
вать равенству
C0 3n 2 p .	(1.2)

Для двух стержней арки ( n 2), соединяемых одним шарниром (p = 1),

число опорных стержней

C0 3n 2 p 3 2 2 1 4 .

Заметим, что шарнирно-неподвижная опора эквивалентна двум опорным стержням и шарнирно-подвижная опора – одному опорному стержню.

Встречаются стержневые арочные системы, когда два соединяемых стержня помимо ключевого шарнира скреплены еще одним стержнем (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Трехшарнирная арка с затяжкой

4

Такие арочные системы называются трехшарнирной аркой с затяжкой. Обратим внимание на то, что для трехшарнирной арки с затяжкой (когда n 3 , p 3 ) число опорных стержней из (1.2) равно

C0 3n 2 p 3 3 2 3 3 .

Стержень, осуществляющий затяжку, испытывает нагрузку только со стороны стягиваемых стержней и работает только на растяжение.

Статическая определимость системы. При разделении трехшарнирной арочной системы на n составных стержней мы можем составить 3n уравнений равновесия (по три для каждого стержня). Число неизвестных реакций связей при этом будет равно числу опорных стержней C0 плюс 2 p реакций связей (по

две на каждое шарнирное соединение) при разделении трехшарнирной арочной системы в шарнирных соединениях.

Для определения неизвестных реакций необходимо, чтобы число уравне-

ний равновесия было равно числу неизвестных:
3n C0 2 p .	(1.3)

Так как для геометрически неизменяемой трехшарнирной арки из (1.2) это условие обеспечивается, то поставленная задача по определению опорных реакций разрешима и трехшарнирная арка является статически определимой системой.

Определение реакций в опорах арки. При действии внешней нагрузки на трехшарнирную арку (рис. 1.3) в ее опорах возникают неизвестные реакции: в шарнирно неподвижной опоре эту реакцию можно представить в виде двух составляющих, в шарнирно подвижной опоре – в виде одной составляющей.

а) Трехшарнирная арка с шарнирно неподвижными опорами б) Трехшарнирная арка с затяжкой

Рис. 1.3. Схема внешней нагрузки на арку и реакции, возникающие в опорах

При определении опорных реакций для плоской системы сил можно использовать три уравнения равновесия. В трехшарнирной арке с двумя неподвижными опорами (рис. 1.3, а) неизвестных реакций четыре: VA , H A , VB , HB .

5

Для определения неизвестных реакций VA , H A , VB , HB вначале составляем для всей системы (рис. 1.3, а) три уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на ось х ( Pix 0 ), в виде равенства нулю суммы

моментов всех сил относительно точки А ( M A (Pi ) 0 ), в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки В M B (Pi ) 0 .

Далее целесообразно систему разделить на составные стержни (рис. 1.4) и рассмотреть равновесие либо левого, либо правого стержня в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на стержень, относительно точки С

( MC (Pi ) 0 ).

Рис. 1.4. Схема разделения трехшарнирной арки на составные стержни

В трехшарнирной арке с затяжкой (рис. 1.3, б) неизвестных реакций три: VA , VB , HB . Для определения неизвестных реакций VA , VB , HB достаточно три

уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на ось х ( Pix 0 ), в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точ-

ки А ( M A (Pi ) 0 ), в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относи-

тельно точки В ( M B (Pi ) 0 ).

Однако при определении внутренних силовых факторов в поперечных сечениях, расположенных выше стержня, обеспечивающего затяжку, с использованием метода сечений необходимо знать силы, с которыми стержень-затяжка действует на стержни арки. Для их определения следует отбросить стерженьзатяжку и заменить его действие неизвестными реакциями Н (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Схема разделения трехшарнирной арки с затяжкой на составные стержни

Далее, разделив арку по шарниру С, следует рассмотреть условия равновесия либо левой, либо правой части в виде равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на левый или правый стержень, относительно точки С

( MC (Pi ) 0 ).

6

Например, для схемы на рис. 1.5 можно составить условие равновесия левой части:

MC (Pi ) 0 ,	VA l / 2 H hH q l hq 0 ,			(1.4)
где hH f f плечо силы	H	относительно моментной		точки С,
hq l / 2 l / 2 плечо равнодействующей q l			распределенных сил относи-
тельно моментной точки С.
Из уравнения (1.4) находим Н:		H (VA l /	2 q l hq ) / hH .

После определения неизвестных реакций можно приступать к определению внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержней арки.

Положение поперечного сечения. Линия оси арки. При определении внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержней арки важно знать положение поперечного сечения в любой точке оси арки. Поперечное сечение v v в произвольной точке оси арки перпендикулярно касательной u u в этой точке (рис. 1.6) и расположено под углом к вертикальному сечению.

Касательная u u составляет с осью х угол, равный .

Рис. 1.6. Схема, показывающая положение произвольного поперечного сечения арки

Таким образом, положение поперечного сечения на оси арки определяется координатами х и y его центра тяжести и углом . Так как угол есть угол

наклона касательной в данной точке оси арки, то этот угол можно определить, взяв первую производную функции y F(x) , описывающей линию оси арки, и

используя известное равенство: tg y .

Возникает необходимость нахождения функции y F(x) . Рассмотрим не-

которые случаи.

1. Линия оси арки – участок параболы с вершиной в точке С. В этом случае линия оси арки описывается функцией

		y ax2 bx c ,		(1.5)
а ее производная		y 2ax b ,		(1.6)
где a, b, c неизвестные коэффициенты.
Эти коэффициенты определим из следующих равенств (рис. 1.6):
при x 0	y 0 , откуда из (1.5)		следует, что c 0 ;
при x l / 2	y 0 , откуда из (1.6)		следует, что b al ;
при x l / 2		y f , откуда из (1.5) следует, что
f a(l / 2)2 bl / 2 ; f a(l / 2)2 al2 / 2 ; откуда a				4 f	.
				l2
		7

Итак, если линия оси арки это участок параболы и арка соответствует схеме на рис. 1.6, то из (1.5) и (1.6) с учетом значений коэффициентов получим

y	4 f	(l x)x ;	y	4 f	(l 2x) .	(1.7)
	l2			l2
2. Линия оси арки –	дуга окружности радиуса R , когда точка С и центр

окружности (точка О) расположены на одной вертикали (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Схема трехшарнирной арки, когда линия оси арки – дуга окружности

В системе координат y1 x1 окружность описывается уравнением

y2

x2

R2 .

(1.8)

1

1

Для перехода к координатам y и х используем соотношения

y1 y (R f ) ,

x1

x l / 2 .

(1.9)

Из (1.8) с учетом, что для арки

y

0 , следует y R2

x2 .

Подставляя (1.9), получим

1

1

1

y (R f ) =

R2 (x l / 2)2

,

y =

R2 (x l / 2)2 (R f ) ,

(1.10)

y

l / 2 x

R2 (x l / 2)2 .

(1.11)

Для схемы, представленной на рис. 1.7, радиус окружности R , длина про-

лета l

и стрела подъема f связаны соотношением

R

f 2

(l / 2)2

f

l2

.

(1.12)

2 f

2

8 f

3.

Линия оси арки – прямая линия (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Схема трехшарнирной системы, когда линия оси – прямая линия

8

На участке 0 x l / 2	уравнение прямой АС имеет вид
y kx ,	y k ,	0 x l / 2			,			(1.13)
где k tg – угловой коэффициент,		tg	f	,	k	f	.
			l / 2			l / 2
На участке l / 2 x l
	уравнение прямой СВ имеет вид
y f k(x l / 2) ,		y k ,			l / 2 x l .			(1.14)

Определение внутренних силовых факторов в поперечных сечениях.

Пусть мы имеем схему арки (рис. 1.9), у которой определены реакции в опорах, известно уравнение линии оси арки и для любой точки этой линии с координатами х и у известно положение поперечного сечения v v , определяемое углом .

Рис. 1.9. Схема трехшарнирной арки

Пусть в некоторой точке с координатами xp и yp действуют составляю-

щие силы Р: Px и Py .

Вначале определим внутренние силовые факторы N0 , Q0 , M0 в вертикальном сечении I ( N0 продольная сила, Q0 поперечная сила, M0 изгибающий момент).

Рис. 1.10. Схема определения внутренних сил в вертикальном сечении I

Если заданные силы и реакции в опорах представлены на расчетной схеме в виде вертикальных и горизонтальных составляющих, то для определения внутренних силовых факторов в вертикальном сечении I можно использовать схемы положительных слагаемых, представленных на рис. 1.11 для левой отсеченной части арки.

9

а) б) в)

Рис. 1.11. Схемы положительных слагаемых левой отсеченной части арки при составлении выражений для внутренних силовых факторов в вертикальном сечении арки

Если сила Pi (рис. 1.11, а) направлена от вертикального сечения, то она входит положительным слагаемым в выражение для продольной силы N0 .

Если сила Pi (рис. 1.11, б) направлена вверх, то она входит положительным слагаемым в выражение для поперечной силы Q0 .

Если вертикальные или горизонтальные составляющие силы стремятся повернуть отсеченную часть арки по часовой стрелке относительно точки с координатами х и у, то моменты этих сил относительно этой точки входят положительными слагаемыми в выражение для изгибающего момента M0 :

M0 Vi (x xi ) Hi ( y yi ) .

(1.15)

Если возвратиться к схеме, представленной на рис. 1.10, то для вертикального сечения I с использованием схем положительных слагаемых (рис. 1.11) можно составить следующие выражения для внутренних силовых факторов:

N0 H A Px ,	Q0 VA Py ,	(1.16)
M0 VA (x xA ) Py (x xp ) H A ( y yA ) Px ( y yp ) .		(1.17)

После того, как определены внутренние силовые факторы в вертикальном сечении I, можно перейти к определению внутренних силовых факторов в поперечном сечении v v арки, повернутом относительно вертикального сечения на угол .

Рассмотрим схему внутренних силовых факторов в вертикальном сечении I (рис. 1.12, а).

а) б)

Рис. 1.12. Схемы внутренних силовых факторов в вертикальном сечении I и поперечном сечении арки

Продольная сила N в поперечном сечении v v арки (рис. 1.12, б) равна сумме проекций сил в вертикальном сечении I (рис. 1.12, а) на нормаль u u :

10