14 Линейный оператор (ЛО)
.pdfЛекция 14: Линейный оператор
Б.М.Верников
Уральский федеральный университет,
Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики
Б.М.Верников |
Лекция 14: Линейный оператор |
Вступительные замечания
В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного пространства V в себя. Такие функции называются операторами. Для их обозначения мы будем использовать буквы A; B; C и т.д. ¾рукописные¿ заглавные буквы латинского алфавита. В действительности мы будем рассматривать не произвольные операторы, а только те из них, которые удовлетворяют некоторым достаточно сильным дополнительным ограничениям и называются линейными операторами. Теория линейных операторов, первоначальным сведениям из которой посвящены эта и две последующих лекции, является важной составной частью линейной алгебры, имеющей многочисленные приложения как в других разделах математики, так и во многих других областях знания, в том числе в физике и экономике.
Б.М.Верников |
Лекция 14: Линейный оператор |
Понятие линейного оператора
Определение
Пусть V векторное пространство. Функция A: V 7 !V называется линейным оператором, если для любых векторов x1; x2 2 V и любого числа t 2 R выполняются равенства
A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2) и A(tx1) = tA(x1):
Относительно первого равенства говорят, что A сохраняет сумму векторов, относительно второго что A сохраняет произведение вектора на число.
Отметим, что если A линейный оператор в пространстве V и x 2 V , то A(0) = A(0 x) = 0 A(x) = 0. Следовательно, справедливо следующее
Замечание 1
Любой линейный оператор отображает нулевой вектор в себя.
Б.М.Верников |
Лекция 14: Линейный оператор |
Примеры линейных операторов: ¾геометрические¿ операторы
Приведем примеры линейных операторов.
Пример 1. Представим пространство R2 как множество векторов (точнее, направленных отрезков) на плоскости, выходящих из начала координат O. Тогда поворот векторов на угол , симметрия относительно прямой, проходящей через точку O (в частности, относительно любой из осей координат), симметрия относительно точки O, проекция вектора на любую из осей координат примеры линейных операторов в пространстве R2. Если интерпретировать R3 как множество векторов трехмерного пространства, выходящих из начала координат O, то поворот на угол , симметрия относительно прямой или плоскости, проходящей через точку O, симметрия относительно этой точки, проекция на любую из координатных плоскостей примеры линейных операторов в пространстве R3.
Б.М.Верников |
Лекция 14: Линейный оператор |
Примеры линейных операторов: оператор растяжения, нулевой и тождественный операторы
Укажем еще два линейных оператора, которые можно определить в произвольном векторном пространстве V .
Пример 2. Зафиксируем произвольное число t и зададим оператор A следующим правилом: A(x) = tx для всякого вектора x 2 V . Этот оператор называется оператором растяжения в t раз. Линейность оператора растяжения с очевидностью вытекает из аксиом 5) и 7) векторного пространства (см. лекцию 7). Особо отметим два частных случая оператора растяжения. Первый из них это оператор растяжения при t = 0. Он обозначается буквой O и называется нулевым. Ясно, что нулевой оператор переводит произвольный вектор из V в нулевой вектор. Второй частный случай оператора растяжения возникает при t = 1. Соответствующий оператор обозначается буквой E и называется тождественным или единичным. Этот оператор переводит произвольный вектор из V в себя.
Б.М.Верников |
Лекция 14: Линейный оператор |
Примеры линейных операторов: оператор проектирования
Пример 3. Зафиксируем в пространстве V некоторое подпространство M. В силу предложения 2 из лекции 9 существует такое подпространство M0 в V , что V = M M0. Следовательно, произвольный вектор x 2 V можно, и притом единственным образом, представить в виде x = x1 + x2, где x1 2 M и x2 2 M0 (см. теорему 2 в лекции 9). Рассмотрим оператор P в пространстве V , задаваемый правилом P(x) = x1. Легко проверяется, что этот оператор линейный. Он называется оператором проектирования на подпространство M параллельно M0.
Б.М.Верников |
Лекция 14: Линейный оператор |
¾Словесный¿ способ задания линейного оператора
Можно выделить три способа задания линейных операторов. Первый из них ¾словесный¿ способ. Он состоит в том, что мы указываем, в каком пространстве действует оператор, и затем словами описываем, как он действует, т. е. в какой вектор он переводит произвольный вектор из указанного пространства. Именно этим способом задавались линейные операторы во все приведенных выше примерах. Ясно, что этот способ плохо приспособлен к тому, чтобы как-то исследовать оператор, применять к нему те или иные действия для этого оператор должен быть задан с помощью каких-либо математических объектов, таких, например, как системы равенств или матрицы.
Б.М.Верников |
Лекция 14: Линейный оператор |
Задание линейного оператора с помощью системы линейных равенств
Пусть V произвольное n-мерное векторное пространство. Зафиксируем в пространстве V произвольный базис F и рассмотрим следующую систему линейных равенств:
8y2 |
= a21x1 |
+ a22x2 |
+ |
+ a2nxn; |
|
y1 |
= a11x1 |
+ a12x2 |
+ + a1nxn; |
(1) |
|
> . . |
. . . . . . . . . |
. . . . . . . . . |
. . . . . . . |
. . . . . . . . |
|
> |
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
>yn |
= an1x1 |
+ an2x2 |
+ + annxn; |
|
|
> |
|
|
|
|
|
:
где aij 2 R для всех i; j = 1; 2; : : : ; n. Числа aij будем полагать известными. Пусть, далее, x произвольный вектор из V . Обозначим через
(x1; x2; : : : ; xn) координаты вектора x в базисе F. Вычислим с помощью равенств (1) числа y1; y2; : : : ; yn и обозначим через y вектор, имеющий в базисе F координаты (y1; y2; : : : ; yn). Оператор A, задаваемый правилом A(x) = y, является линейным. Чтобы убедиться в этом, обозначим через A квадратную матрицу порядка n, определяемую равенством A = (aij ), а через X и Y матрицы размера n 1 (т. е. столбцы), в которых записаны координаты векторов x и y в базисе F соответственно. Тогда равенства (1) можно переписать в виде Y = AX. Пусть теперь x1 и x2 векторы из V , X1 и X2 столбцы координат этих векторов в базисе F, а t 2 R. Тогда
A(X1 + X2) = AX1 + AX2 и A(tX1) = t(AX1), т. е. A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2)
и A(tx1) = tA(x1). Следовательно, оператор A линеен.
Б.М.Верников |
Лекция 14: Линейный оператор |
Матрица линейного оператора в базисе
Перейдем к наиболее употребительному способу задания линейного оператора. Пусть A линейный оператор в пространстве V , а
b1; b2; : : : ; bn базис V . Предположим, что мы знаем образы базисных векторов, т. е. векторы A(b1), A(b2), . . . , A(bn). В этом случае мы сможем найти образ произвольного вектора x 2 V . В самом деле, если
(t1; t2; : : : ; tn) координаты вектора x в базисе b1; b2; : : : ; bn, то
A(x) = A(t1b1 + t2b2 + + tnbn) = t1A(b1) + t2A(b2) + + tnA(bn):
Итак,
!!чтобы узнать, как оператор действует на произвольный вектор, достаточно знать, как он действует на базисные векторы.
Это делает естественным следующее
Определение
Пусть A линейный оператор в векторном пространстве V , а
b1; b2; : : : ; bn базис этого пространства. Квадратная матрица порядка n, i-й столбец которой состоит из координат вектора A(bi ) в базисе
b1; b2; : : : ; bn (для всех i = 1; 2; : : : ; n), называется матрицей оператора A
в базисе b1; b2; : : : ; bn.
Б.М.Верников |
Лекция 14: Линейный оператор |
Матрица оператора растяжения
Легко понять, что оператор растяжения в t раз имеет в любом базисе матрицу
0 1
t 0 0 : : : 0 B0 t 0 : : : 0C
BC tE = B0 0 t : : : 0C
BC @ . . . . . . . . . . . A
0 0 0 : : : t
(при любом t). В частности, нулевой оператор имеет нулевую матрицу, а тождественный оператор единичную матрицу.
Б.М.Верников |
Лекция 14: Линейный оператор |