Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

14 Линейный оператор (ЛО)

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
218.81 Кб
Скачать

Лекция 14: Линейный оператор

Б.М.Верников

Уральский федеральный университет,

Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики

Б.М.Верников

Лекция 14: Линейный оператор

Вступительные замечания

В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного пространства V в себя. Такие функции называются операторами. Для их обозначения мы будем использовать буквы A; B; C и т.д. ¾рукописные¿ заглавные буквы латинского алфавита. В действительности мы будем рассматривать не произвольные операторы, а только те из них, которые удовлетворяют некоторым достаточно сильным дополнительным ограничениям и называются линейными операторами. Теория линейных операторов, первоначальным сведениям из которой посвящены эта и две последующих лекции, является важной составной частью линейной алгебры, имеющей многочисленные приложения как в других разделах математики, так и во многих других областях знания, в том числе в физике и экономике.

Б.М.Верников

Лекция 14: Линейный оператор

Понятие линейного оператора

Определение

Пусть V векторное пространство. Функция A: V 7 !V называется линейным оператором, если для любых векторов x1; x2 2 V и любого числа t 2 R выполняются равенства

A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2) и A(tx1) = tA(x1):

Относительно первого равенства говорят, что A сохраняет сумму векторов, относительно второго что A сохраняет произведение вектора на число.

Отметим, что если A линейный оператор в пространстве V и x 2 V , то A(0) = A(0 x) = 0 A(x) = 0. Следовательно, справедливо следующее

Замечание 1

Любой линейный оператор отображает нулевой вектор в себя.

Б.М.Верников

Лекция 14: Линейный оператор

Примеры линейных операторов: ¾геометрические¿ операторы

Приведем примеры линейных операторов.

Пример 1. Представим пространство R2 как множество векторов (точнее, направленных отрезков) на плоскости, выходящих из начала координат O. Тогда поворот векторов на угол , симметрия относительно прямой, проходящей через точку O (в частности, относительно любой из осей координат), симметрия относительно точки O, проекция вектора на любую из осей координат примеры линейных операторов в пространстве R2. Если интерпретировать R3 как множество векторов трехмерного пространства, выходящих из начала координат O, то поворот на угол , симметрия относительно прямой или плоскости, проходящей через точку O, симметрия относительно этой точки, проекция на любую из координатных плоскостей примеры линейных операторов в пространстве R3.

Б.М.Верников

Лекция 14: Линейный оператор

Примеры линейных операторов: оператор растяжения, нулевой и тождественный операторы

Укажем еще два линейных оператора, которые можно определить в произвольном векторном пространстве V .

Пример 2. Зафиксируем произвольное число t и зададим оператор A следующим правилом: A(x) = tx для всякого вектора x 2 V . Этот оператор называется оператором растяжения в t раз. Линейность оператора растяжения с очевидностью вытекает из аксиом 5) и 7) векторного пространства (см. лекцию 7). Особо отметим два частных случая оператора растяжения. Первый из них это оператор растяжения при t = 0. Он обозначается буквой O и называется нулевым. Ясно, что нулевой оператор переводит произвольный вектор из V в нулевой вектор. Второй частный случай оператора растяжения возникает при t = 1. Соответствующий оператор обозначается буквой E и называется тождественным или единичным. Этот оператор переводит произвольный вектор из V в себя.

Б.М.Верников

Лекция 14: Линейный оператор

Примеры линейных операторов: оператор проектирования

Пример 3. Зафиксируем в пространстве V некоторое подпространство M. В силу предложения 2 из лекции 9 существует такое подпространство M0 в V , что V = M M0. Следовательно, произвольный вектор x 2 V можно, и притом единственным образом, представить в виде x = x1 + x2, где x1 2 M и x2 2 M0 (см. теорему 2 в лекции 9). Рассмотрим оператор P в пространстве V , задаваемый правилом P(x) = x1. Легко проверяется, что этот оператор линейный. Он называется оператором проектирования на подпространство M параллельно M0.

Б.М.Верников

Лекция 14: Линейный оператор

¾Словесный¿ способ задания линейного оператора

Можно выделить три способа задания линейных операторов. Первый из них ¾словесный¿ способ. Он состоит в том, что мы указываем, в каком пространстве действует оператор, и затем словами описываем, как он действует, т. е. в какой вектор он переводит произвольный вектор из указанного пространства. Именно этим способом задавались линейные операторы во все приведенных выше примерах. Ясно, что этот способ плохо приспособлен к тому, чтобы как-то исследовать оператор, применять к нему те или иные действия для этого оператор должен быть задан с помощью каких-либо математических объектов, таких, например, как системы равенств или матрицы.

Б.М.Верников

Лекция 14: Линейный оператор

Задание линейного оператора с помощью системы линейных равенств

Пусть V произвольное n-мерное векторное пространство. Зафиксируем в пространстве V произвольный базис F и рассмотрим следующую систему линейных равенств:

8y2

= a21x1

+ a22x2

+

+ a2nxn;

 

y1

= a11x1

+ a12x2

+ + a1nxn;

(1)

> . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

>

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

>yn

= an1x1

+ an2x2

+ + annxn;

 

>

 

 

 

 

 

:

где aij 2 R для всех i; j = 1; 2; : : : ; n. Числа aij будем полагать известными. Пусть, далее, x произвольный вектор из V . Обозначим через

(x1; x2; : : : ; xn) координаты вектора x в базисе F. Вычислим с помощью равенств (1) числа y1; y2; : : : ; yn и обозначим через y вектор, имеющий в базисе F координаты (y1; y2; : : : ; yn). Оператор A, задаваемый правилом A(x) = y, является линейным. Чтобы убедиться в этом, обозначим через A квадратную матрицу порядка n, определяемую равенством A = (aij ), а через X и Y матрицы размера n 1 (т. е. столбцы), в которых записаны координаты векторов x и y в базисе F соответственно. Тогда равенства (1) можно переписать в виде Y = AX. Пусть теперь x1 и x2 векторы из V , X1 и X2 столбцы координат этих векторов в базисе F, а t 2 R. Тогда

A(X1 + X2) = AX1 + AX2 и A(tX1) = t(AX1), т. е. A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2)

и A(tx1) = tA(x1). Следовательно, оператор A линеен.

Б.М.Верников

Лекция 14: Линейный оператор

Матрица линейного оператора в базисе

Перейдем к наиболее употребительному способу задания линейного оператора. Пусть A линейный оператор в пространстве V , а

b1; b2; : : : ; bn базис V . Предположим, что мы знаем образы базисных векторов, т. е. векторы A(b1), A(b2), . . . , A(bn). В этом случае мы сможем найти образ произвольного вектора x 2 V . В самом деле, если

(t1; t2; : : : ; tn) координаты вектора x в базисе b1; b2; : : : ; bn, то

A(x) = A(t1b1 + t2b2 + + tnbn) = t1A(b1) + t2A(b2) + + tnA(bn):

Итак,

!!чтобы узнать, как оператор действует на произвольный вектор, достаточно знать, как он действует на базисные векторы.

Это делает естественным следующее

Определение

Пусть A линейный оператор в векторном пространстве V , а

b1; b2; : : : ; bn базис этого пространства. Квадратная матрица порядка n, i-й столбец которой состоит из координат вектора A(bi ) в базисе

b1; b2; : : : ; bn (для всех i = 1; 2; : : : ; n), называется матрицей оператора A

в базисе b1; b2; : : : ; bn.

Б.М.Верников

Лекция 14: Линейный оператор

Матрица оператора растяжения

Легко понять, что оператор растяжения в t раз имеет в любом базисе матрицу

0 1

t 0 0 : : : 0 B0 t 0 : : : 0C

BC tE = B0 0 t : : : 0C

BC @ . . . . . . . . . . . A

0 0 0 : : : t

(при любом t). В частности, нулевой оператор имеет нулевую матрицу, а тождественный оператор единичную матрицу.

Б.М.Верников

Лекция 14: Линейный оператор