Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Алгебра

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
1.29 Mб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИКА

Часть 1. АЛГЕБРА

Курс высшей математики для бакалавров

Научный редактор – доц., канд. физ. - мат. наук Л.П. Мохрачева

Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов специальностей направления 270800 «Строительство» всех форм обучения

Екатеринбург

УрФУ

2012

УДК 512.643(075.8) ББК 22.143я 73

М 33

Рецензенты:

Кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета (зав. кафедрой физики УЛГУ, д-р физ.мат. наук, проф. М.П.Кащенко); д-р физ.-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, Институт физики металлов УрО РАН

Авторы: А.Б. Соболев, М.А. Вигура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко, И.А. Батекина, Л.П. Мохрачева

М 33 МАТЕМАТИКА. Ч. 1. Алгебра: учебно-методическое пособие / А.Б. Соболев, М.А. Вигура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко, И.А. Батекина, Л.П. Мохрачева. Екатеринбург: УрФУ, 2012. 107с.

ISBN

Данное пособие представляет собой первую часть базового курса высшей математики и предназначено для бакалавров, программа обучения которых предусматривает равные количества аудиторных часов и часов для самостоятельной работы студентов.

Содержание пособия охватывает следующие разделы программы: основы теории матриц и определителей, решения систем линейных уравнений.

Пособие включает теоретические сведения, примеры решения задач, текст домашнего задания, титул и текст индивидуальной расчетной работы, образец контрольной работы и справочный материал по теме.

Подготовлено кафедрой высшей математики

УДК 512.643(075.8) ББК 22.143я 73

ISBN

© УГТУ-УПИ, 2012

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.............................................................................................

4

 

1.1. Матрицы.............................................................................................................................

4

 

1.1.1. Определение матрицы. Виды матриц......................................................

4

 

1.1.2. Операции над матрицами и их свойства.................................................

5

 

1.2. Определители второго, третьего и n-го порядков ............................................................

8

 

1.2.1. Определение определителя 2-го 3-го и n- го порядков.............................

8

 

1.2.2. Свойства определителей ..........................................................................

9

 

1.2.3. Методы вычисления определителей произвольного порядка................

12

 

1.3. Обратная матрица............................................................................................................

15

 

1.4. Матричные уравнения .....................................................................................................

17

 

1.5. Ранг матрицы ...................................................................................................................

19

2.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ..............................................................................

20

 

2.1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными ......................................................

20

 

2.2. Метод Крамера решения систем n линейных уравнений с n неизвестными……….….22

 

2.3. Схема отыскания решения системы m линейных уравнений с n неизвестными……...23

 

2.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.....................................................

25

 

2.5. Однородные системы ......................................................................................................

26

3.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ...............................................................................................

30

 

3.1. Определители второго и третьего порядка и их свойства .............................................

30

 

3.2. Определители n–го порядка ............................................................................................

34

 

3.3. Матрицы и действия с ними............................................................................................

37

 

3.4. Системы линейных уравнений........................................................................................

42

4.

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ .......................................................................................................

57

 

4.1. ДЗ № 1. Матрицы и определители ..................................................................................

57

 

4.2. ДЗ № 2. Системы линейных уравнений..........................................................................

60

5.

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА №1………………………………………………………………........62

 

5.1. Титульный лист ...............................................................................................................

62

 

5.2. Варианты.........................................................................................................................

63

6.

ПРИМЕР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.............................................................

93

7.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ.....................................................................

94

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………………………………...……………………106

3

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.1.Матрицы

1.1.1.Определение матрицы. Виды матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел aij , i 1,2,..., m ; j 1,2,...,n , расположенных в m строках и n столбцах:

a11

A a21

am1

a12 a1n a22 a2n

.

am2 amn

Числа aij называются элементами матрицы.

Матрица размера 1 n называется матрицей-строкой и имеет вид:

А a1 a2 a3 ...an . Матрица размера m 1 называется матрицей-столбцом и имеет вид:

 

a1

 

 

a

 

В

2

.

...

am

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов ( m n ), при этом число n называется порядком матрицы.

Пример квадратной матрицы 3-го порядка:

 

 

 

a 1 1

a 1 2

a 1 3

 

A

 

 

a 2 1

a 2 2

a 2 3

 

 

.

 

 

 

a 3 1

a 3 2

 

 

 

 

 

a 3 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд элементов квадратной матрицы, лежащих на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним, – побочной диагональю матрицы. Элементы, стоящие на главной диагонали,

имеют вид aii , i 1,2,...,n .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю, называется верхней (нижней)

треугольной.

Пример верхней треугольной матрицы третьего порядка:

4

a11

a12

 

0

a22

 

 

0

0

 

a13

a23 . a33

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие

выше и ниже главной диагонали, равны нулю ( aij 0

при i j ), называется

диагональной:

 

 

 

 

 

 

a11

0

...

0

 

 

 

0

a22

...

0

 

 

 

 

 

...

...

...

...

.

 

 

0

0

...

 

 

 

 

ann

 

Очевидно, что диагональная матрица является одновременно и верхней треугольной, и нижней треугольной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная диагональная матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид:

 

1

0

0

 

E

 

0

1

0

 

 

.

 

 

0

0

1

 

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой и обозначается O .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковые размеры и все их соответствующие элементы совпадают.

1.1.2.Операции над матрицами и их свойства

1.Сложение матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой матриц A aij и

B bij

одинаковой раз-

мерности m n называется матрица C A B ,

элементы

которой равны

cij = aij +bij , где i 1,2,..., m ; j 1,2,...,n .

 

 

Свойства операции сложения:

 

 

С в о й с т в о 1 . A B B A.

 

 

С в о й с т в о 2 .

A B C A B C .

С в о й с т в о 3 .

A O A.

З а м е ч а н и е . О п е р а ц и ю в ы ч и та н и я м а тр и ц о п р е д е л я е м к а к о б р а тн у ю д л я о п е р а ц и и с л о ж е н и я т . е . A B C , п р и - ч ё м C B A . Та к и м о б р а з о м cij = aij -bij , i 1,2,..., m ; j 1,2,...,n .

5

2. Умножение матрицы на число

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A на число называется мат-

рица C A,

элементы которой удовлетворяют равенству: cij aij , где

i 1,2,..., m ; j

1,2,...,n .

Свойства операции умножения на число:

Св о й с т в о 4. A 1 A O .

Св о й с т в о 5. A A .

Св о й с т в о 6. A B A B .

Св о й с т в о 7. A A A .

Св о й с т в о 8. 0 A O ; 1 A A .

За м е ч а н и е. Используя операцию умножения на число, операция вычитания матриц определяется следующим образом A B A 1 B .

ПРИМЕР: Найдите 3А+2В, если

2 1

1

,

 

2

1

 

0

 

 

 

 

A

0 1

 

B

2

 

2

.

 

 

 

 

 

4

 

 

3

 

 

 

 

 

 

6

3

3

4

2

0

 

2

5

3

Решение: 3A 2B

0

3

12

 

 

6

4

4

 

 

6

7

8

.

 

 

 

 

 

 

 

3. Умножение матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A размерности (m n) на мат-

рицу B размерности (n k) называется матрица C=AB размерности (m k), элементы которой находятся по формуле:

n

 

cij aiqbqj ai1b1 j ai2b2 j ainbnj , где i 1,2,..., m ;

j 1,2,...,k ,

q 1

 

т.е. cij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на элементы

j–го столбца матрицы B. Число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй матрицы.

 

 

 

4

1

ПРИМЕР: Найдите АВ, если A 1 2

3 ,

B

 

5

2

 

 

.

 

 

 

 

6

3

 

 

 

 

 

 

Решение: C AB 1 4 2 5 3 6 1 1 2 2 3 3 32 14 ,

размерность матрицы C 1 2 .

Свойства операции умножения:

С в о й с т в о 9. AB C A BC .

6

Св о й с т в о 10. A B C AC BC .

Св о й с т в о 11. A B C AB AC .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы A и B называются перестановочными (ком-

мутирующими), если AB BA.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В общем случае произведение матриц не коммутативно: AB BA.

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕР: Найдите AB и BA, если A

3

 

, B

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

1

2 1

2

3

6

 

1

2 1

2

7

10

Решение: AB

 

 

 

14

, B A

 

3

 

 

7

10

.

3

4 1

2

7

 

 

1

2

4

 

 

Св о й с т в о 12. AE EA A.

Св о й с т в о 13. AO OA O .

4. Транспонирование матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если матрица А имеет размерность m n , то транспо-

нированная матрица AT имеет размерность n m , а её элементы определя-

ются равенством aTji aij .

Иными словами, строки матрицы становятся столбцами с теми же номерами, а столбцы – строками:

 

a

a

a

 

 

 

a11

 

a21 am1

 

11

12

 

1n

 

 

 

a12

 

a22 am2

 

a

21

a

a

 

 

T

 

 

A

 

22

 

2n

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

am2

 

 

 

 

 

 

 

 

a2n

 

 

am1

amn

 

 

a1n

 

amn

Например, для

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

T

 

2

5

 

 

 

 

 

 

A

5

6

 

, A

 

.

 

 

 

 

 

4

 

 

 

3

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если квадратная матрица A совпадает со своей транспонированной, т.е. AT A , то такая матрица называется симметрической.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если квадратная матрица A отличается множителем 1 от своей транспонированной, т.е. AT A , то такая матрица называется кососим-

метрической.

Операция транспонирования имеет следующие свойства:

Свойство 14. AT T A. Свойство 15. A B T AT BT .

7

Свойство 16. AB T BT AT .

1.2.Определители второго, третьего и n-го порядков

1.2.1. Определение определителя 2-го 3-го и n- го порядков

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем второго порядка квадратной матрицы

a

a

 

 

 

 

 

 

a12a21 и обозначаемое

11

12

 

называется число, равное a11a22

a21

a22

 

 

 

 

 

 

 

A

 

d e t

 

a

1 1

a1 2

 

 

a1 1 a 2 2 a1 2 a 2 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2 1

a 2 2

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕР:

 

 

 

 

1 4 3 2 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем третьего порядка квадратной матрицы

 

a11

a12

a13

 

 

 

A

 

a22

a23

 

 

 

 

a21

называется число, равное

 

 

 

 

a32

a33

 

 

 

 

 

a31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

a12

a13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det

a21

a22

a23

 

 

 

 

 

 

 

 

a31

a32

a33

 

a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 .

Это выражение получается по правилу треугольников (правилу Саррюса), его можно пояснить следующими схемами, на которых элементы, входящие в одно произведение с указанным знаком, соединены отрезками.

ПРИМЕР:

1 4 2

0 3 1

2 1 5

1 3 5 4 1 2 2 0 1 2 3 2 1 1 1 4 0 5 20 .

Чтобы дать определение определителя n-го порядка нужно ввести некоторые новые понятия.

8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Перестановкой из n чисел 1,2,…, n называется всякое расположение этих чисел в определённом порядке. Число перестановок из n чисел равно n!.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числа i, j составляют инверсионную пару в перестановке, если i>j, но i встречается в перестановке раньше, чем j.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Перестановка называется чётной, если число инверсионных пар чётно, и нечётной, если - нечётно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Преобразование перестановки, при котором меняются местами два символа, называется транспозицией.

Теорема. Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.

Две перестановки, записанные другом под другом, образуют подстановку. Канонической подстановкой называется подстановка вида

1

2

 

3 n

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

.

1

3 n

Число инверсионных пар в обеих перестановках, образующих подстановку, определяет чётность подстановки. Справедливо утверждение: транспозиция не изменяет четности подстановки.

Введённые выше понятия позволяют дать определение определителя любого порядка в общем виде:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причём слагаемое входит со знаком плюс, если подстановка, образованная индексами элементов матрицы чётная и со знаком минус – если нечётная. Согласно этому определению определитель n-го порядка записывается в виде

 

a11

a12

a1n

 

 

 

 

 

a21

a22

a2n

1 s a1 1a2 2 an n ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

an2

ann

 

 

 

 

где s - чётность подстановки

1

2

 

3 n

 

 

 

 

 

2

 

.

 

 

 

 

1

 

3 n

1.2.2 Свойства определителей

Перечислим свойства определителей для определителей n -го порядка.

Для наглядности эти свойства проиллюстрированы на примерах определителей третьего порядка.

9

Св о й с т в о 1 . Определитель матрицы А не меняется при ее транспонировании: AT A .

Св о й с т в о 2 . При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. Например,

a11

a12

a13

 

a21

a22

a23

 

a21

a22

a23

 

a11

a12

a13

.

a31

a32

a33

 

a31

a32

a33

 

Св о й с т в о 3 . Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

Св о й с т в о 4. Общий множитель для элементов некоторой строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:

k a11

a12

a1 3

 

a11

a12

a13

 

k a 2 1

a 22

a 23

k

a 21

a 22

a2 3

, k co n st .

k a3 1

a3 2

a33

 

a31

a32

a3 3

 

Это свойство можно сформулировать иначе: умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя на число k равносильно умножению определителя на это число.

С в о й с т в о 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и определитель равен нулю. Например

a11

a12

a13

0

0

0 0

.

a31 a32 a33

Св о й с т в о 6. Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Св о й с т в о 7. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей. Например

 

 

 

a/

a//

a

a

 

a/

a

a

 

a//

a

a

 

 

11

11

12

13

 

11

12

13

 

11

12

13

 

 

 

 

a/

a//

a

a

 

a/

a

a

 

a//

a

a

 

 

 

 

 

21

21

22

23

 

21

22

23

 

21

22

23

.

 

 

 

 

a/

a//

a

a

 

a/

a

a

 

a//

a

a

 

 

31

31

32

33

 

31

32

33

 

31

32

33

 

С в о й с т в о 8 . Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится.

Например

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]