Минькова. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. 2006

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет − УПИ»

Р.М. Минькова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебно-методическое пособие

Научный редактор доц. В.Б. Грахов

Печатается по решению редакционно-издательского совета ГОУ ВПО УГТУ-УПИ

Екатеринбург

2006

УДК 514. 742 (075.8) ББК 22.151.5 я73 М 62

Автор Р.М. Минькова

Рецензенты:

кафедра высшей математики Уральского государственного экономического университета (зав. кафедрой проф., канд. физ.-мат. наук Н.И. Чвялева);

проф., д-р физ.-мат. наук В. Б. Репницкий (Уральский государственный университет им. А. М. Горького, кафедра алгебры и дискретной математики)

М 62 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: учебнометодическое пособие по курсу «Высшая математика»/Р.М. Минькова. Екатеринбур: ГОУ ВПО УГТУ−УПИ, 2006. 42 с.

ISBN 5-321-00547-8

Излагается теория по следующим вопросам: определители и системы линейных уравнений второго и третьего порядков, векторная алгебра, аналитическая геометрия, комплексные числа. Приводится решение типовых примеров. Предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Пособие предназначено для студентов дистанционной и заочной форм обучения.

Библиогр.: 6 назв. Рис. 73.

Подготовлено кафедрой «Вычислительные методы и уравнения математической физики» и факультетом дистанционного образования

УДК 514. 742 (075.8 ББК 22.151.5 я73

ISBN-5-321-00547-8

ГОУ ВПО«Уральский государственный технический университет−УПИ», 2006

2

Оглавление

ОГЛАВЛЕНИЕ……………………………………………………….……….…….3

1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА………………………4

2.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА………………………………………………………….5

2.1.Понятие вектора……………………………………………………………..5

2.2.Линейные операции над векторами…………………………...….………..5

2.3.Координаты вектора и точки в заданном базисе…………………...……..6

2.4.Проекция вектора на ось…………………………………………….……...9

2.5.Скалярное произведение векторов………………………………………..10

2.6.Векторное произведение векторов………………………….……...……..14

2.7.Смешанное произведение векторов………………………………...…….18

3.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ……………………………………………21

3.1.Плоскость и ее уравнение…………………………………………………21

3.2.Прямая на плоскости и в пространстве…………………………………..24

3.3.Кривые второго порядка…………………………………………………..28

3.4.Поверхности второго порядка…………………………………………….34

4.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ……………..………………………………….…..36

4.1.Определение, изображение , формы записи…………………….....….....36

4.2.Действия над комплексными числами……………………….…………..38

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………………………………………41

3

1. Определители второго и третьего порядка

Рассмотрим прямоугольную таблицу чисел, состоящую из к строк и n столбцов, заключенную в круглые скобки

a11		a12	...	a1n
a	21	a	...	a
A		22	...	2n .
...		...		...
		am2	...
am1				amn

Эту таблицу называют матрицей. Элемент матрицы a i j имеет два индекса i и j,

где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых расположен элемент a i j .

Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Любой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, вычисляемое по определенным правилам и называемое определителем.

Определитель второго порядка − это число

a11

a12

a a

a a .

a21

a22

11

22

12

21

Определитель третьего порядка – это число

a11

a12

a13

a22

a23

a21

a23

a21

a22

.

a

a

a

a

a

a

21

22

23

11

a

a

12

a

a

13

a

a

a31

a32

a33

32

33

31

33

31

32

Число равно сумме слагаемых, в которых каждый элемент первой строки (знаки этих элементов чередуются, начиная со знака + ) умножается на определитель, который получается вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Например,

4	2	3		3	1		2	1		2	3
2	3	1	4			2			3			4 (3 1 6 1) 2( 2 1 1 1) 3( 2 6 1 3) 51.
1	6	1		6	1		1	1		1	6

Аналогично вычисляется определитель n–го порядка. Определители n–го порядка и их свойства мы рассмотрим позже. Для изучения векторной алгебры и аналитической геометрии достаточно уметь вычислять определители лишь второго и третьего порядка.

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить определители:

a)		1	4		б)		a	1		в)		cos	sin		; г)	3	-2	1		д)	1	2	0
				;					;							-2	1	3	;		0	1	3	.
		5	2				a2	a				sin	cos			2	0	-2			5	0	-1
Ответы:		а) 18 ,			б) 0 ,		в) 1,			г) 12 , д) 29 .

4

5

2.Векторная алгебра

Вразличных дисциплинах используются скалярные и векторные величины. Скалярная величина определяется одним числом, например, масса, объем, температура. Векторная величина характеризуется не только числом, но и направлением, например, сила, скорость, ускорение. Отвлекаясь от конкретного содержания, векторная алгебра изучает геометрические векторы и операции над ними.

2.1.Понятие вектора

Понятие вектора, линейные операции над векторами были рассмотрены в

школьном курсе математики. Напомним основные моменты.

В математике

вектор −

это направленный отрезок

B

(рис.1). Обозначают вектор

a, AB, его длину a,

a

,

AB

.

Если векторы параллельны одной

прямой,

то они на-

A

a

Рис. 1

зываются коллинеарными. На рис.2 векторы

a, b, c − колли-

неарные, при этом векторы a и

b направлены в одну сторону

(сонаправлены), а векторы

− в разные стороны. Записы-

a

c и

b

b

вают это так: a b ,

c b.

c

Векторы,

параллельные

одной

плоскости, называются

Рис.2

компланарными.

В математике два вектора называются равными, если

B

C

они имеют одинаковые длины, коллинеарны и одинаково

направлены. На рис.3 в параллелограмме ABCD векторы

AB и DC − равны, так как

AB DC и

AB

DC

,

а векто-

А

D

ры CB и AD не равны, так как CD AD .

Рис.3

2.2.Линейные операции над векторами

Клинейным операциям относятся сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число.

Сложение векторов

Для сложения	двух	векторов				какой- A
			a и	b отложим от
нибудь точки	А (рис.4) вектор
			AB , равный a , затем от точ-
ки В отложим вектор				. Тогда вектор AC на-
		BC , равный b
зывают суммой векторов a и			b . Это правило сложения двух
векторов называют правилом треугольника.
Для сложения двух векторов можно пользоваться также
правилом параллелограмма: от какой-нибудь точки						А отло-
жить векторы
	AB a	и AD b и построить параллелограмм
ABCD (рис.5). Тогда вектор AC равен a b .

B b

	C
a

c

Рис.4

B C

a b

a

A		D
	b

Рис.5

Сложение более двух векторов производится по правилу многоугольника.

							(рис.6) от				D
Например, для сложения четырех векторов a, b, c, d
произвольной точки				A откладываем вектор AB			, затем из	B
						a			b	c
точки						откладываем				C
		B откладываем вектор BC b , из точки C						a			d
CD								A			K
	c ,	из точки D откладываем вектор DK d . Тогда вектор								Рис.6
AK	(направленный из начала первого вектора к концу по-
следнего) равен a b				c d .

Вычитание векторов

	Для построения вектора				из произвольной точ-
			a b
ки	O отложим векторы			и		(рис. 7). Тогда
		OA a			OB b

вектор разности			есть вектор BA , соединяющий кон-
	a b
цы векторов a и	b	и направленный к вектору a .

A
a b
	B
a

b

O

Рис.7

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора

на число

называется вектор

a

b ,

обозначаемый

a , такой, что

1)

, 2)

если 0.

b

a

b

a,

если 0, b

a,

Нетрудно проверить, что два ненулевых вектора

a и

b

коллинеарны тогда и

только тогда, когда существует единственное число

:

такое, что a b

.

(2.1)

a || b a

b

Линейные операции над векторами обладают теми же свойствами, что и линейные операции над действительными числами, а значит, можно группировать векторы и раскрывать скобки, как при действии с действительными числами.

2.3. Координаты вектора и точки в заданном базисе

Разложение вектора по базису на плоскости

Базис на плоскости – это два неколлинеарных век-

тора e1	, e2 , взятых в определенном порядке.
Пусть a − произвольный вектор на плоскости. Из
произвольной точки		О отложим векторы,					равные
										e1	, e 2 и
										, а век-
OA a (рис. 8). Вектор OB			коллинеарен вектору e1
				Поэтому найдутся такие
тор OC коллинеарен вектору e2 .
числа a1						Тогда
	и a2 , что OB a1e1		, OC a2e2 .
					a	a1e1 a2 e2

	C		A
	e2
O		B
	e1

Рис.8

(2.2)

				, а коэффициенты разложения
Говорят, что вектор a	разложен по базису e1		, e 2
a1 , a2 называют координатами вектора a		в базисе e1			, e 2 .

6

Разложение вектора по базису в пространстве

Базис в пространстве – это три некомпланарных вектора

тых в определенном порядке.

Пусть a произвольный вектор. Из произвольной точ-

ки

9). Из

O отложим векторы e ,

e

2

, e и

OA a (рис.

e3

e2

1

3

вектору

точки A проведем прямую AB , параллельную

до пересечения с

плоскостью векторов

e3 ,

e1 ,

e 2 . По

О

правилу треугольника

Как показано вы-

OA OB BA .

ше,

OB a1e1

a2 e2 . Вектор

BA коллинеарен вектору e3 ,

поэтому найдется число a3

такое, что BA a3e3 . Тогда

		,		, взя-
e1	, e2		e3
				А
		a

B e1

Рис.9

				.	(2.3)
a	a1e1	a2 e2	a3e3

Вектор		разложен по базису				,
	a		e1	, e	2 , e3
эффициенты разложения a1 , a2 , a3					есть

причем это разложение единственно; ко-

координаты вектора a	в базисе e1	, e	2 , e3 .

						a1
Принята запись		, a2	, a3} или
	a {a1			a		a2	.
						a3

Свойства координат векторов

1). При умножении вектора на число его координаты умножаются на это же число.

2). При сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются).

3). Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.

Проверим третье свойство. Пусть в базисе

имеет коор-

e1

, e

2 , e3 вектор

a

и

коллинеарны

динаты a1 , a2 , a3 , вектор b − координаты b1 , b2 , b3 . Векторы

a

b

. Используя первое свойство, получим

тогда и только тогда, когда a b

b1, a2 b2 ,

a3

b3

.

(2.4)

a || b a1

Это и означает пропорциональность координат векторов

и

Если b1 , b2 , b3

a

b .

отличны от нуля, то эти соотношения записывают в виде

a1 a2 a3 . b1 b2 b3

Эти же соотношения записывают, если одна из координат вектора b равна нулю. Тогда из равенств (2.4) следует, что соответствующая координата вектора

тоже равна нулю. Итак,

a

		a		a	2		a
a || b		1					3		.	(2.5)
							b3
		b1		b2

7

Координаты точки. Их связь с координатами вектора

Рассмотрим базисные векторы

поместим их

z

e1

, e

2

, e3 ,

в общее начало – фиксированную точку O (начало коор-

A

динат). Через точку O и базисные векторы проведем оси

e

rA

координат ox, oy, oz (рис. 10).

3

y

Рассмотрим точку A (рис. 10). Координаты ее ради-

O

e2

ус-вектора

называют − координатами точки А в

OA = rA

e1

x

базисе e1

, e

2 , e3 или в системе координат Oxyz . Координаты

Рис.10

вектора будем писать в фигурных скобках OA {a1 , a2 , a3 } , а

координаты точки – в круглых скобках A(a1 , a2 , a3 ) .

Если известны координаты начала

A(a1 , a2 , a3 )

и конца B (b1,b2, b3)

вектора

AB , то для отыскания координат вектора надо из координат конца вычесть со-

ответствующие координаты начала:

a2 , b3 a3 }

.

(2.6)

AB {b1 a1 , b2

Методами векторной алгебры удобно решать целый ряд геометрических

задач. Поясним это на примере задачи деления отрезка в

данном отношении.

A

Пусть

известны координаты

точек

A(a1 , a2 , a3 ) и

C

B(b1 , b2 , b3 ) .

Требуется найти координаты точки C(c1 , c2 , c3 ) ,

rA

делящей отрезок АВ в отношении (рис.11).

rC

B

O

rB

По условию

AC

или

Кроме того, векторы

AC

CB

.

Рис.11

CB

AC и CB − сонаправлены. Поэтому

AC CB . Рассмотрим (рис.11)

радиус-

векторы rA , rB , rC

точек

A, B, C .

Тогда

AC rC rA ,

CB rB rC

и равенство

AC CB примет вид: r

r

(r r ) . Из этого соотношения

C

A

В

С

rA rB

r

r

r

r

или r

.

C

A

В

С

C

1

Аналогичными соотношениями связаны и координаты точек A, B, C :

c1

a1 b1

,

c2

a2 b2

,

c3

a3 b3

.

(2.7)

1

1

1

Если точка С делит отрезок АВ пополам, то 1 и

c

a1 b1

,

c

a2 b2

,

c

a3 b3

.

1

2

2

2

3

2

Пример 2.1. Отрезок, соединяющий точки A(3,2,1) и B(15,6, 1) , разделен на пять равных частей (рис. 12). Найти координаты точки C2 .

8

A

Решение. Точка C2 ( x, y, z)

делит отрезок АВ в отношении

C1

AC2

2

.

Найдем координаты точки C2 по формулам

C2

C2 B

3

C3

x

a1 b1

3 15 2 / 3

7.8,

y

a2 b2

3.6,

z

a3 b3

0, 2 .

Рис.12

С4

B

1

1 2 / 3

1

1

Пример 2.2.

В трапеции

ABCD (рис. 13) известны коорди-

наты трех её вершин A(1,1, 4), B(3,2, 1), C(4,3,4).

Найти координаты вершины D ,

если она лежит в плоскости yoz .

Решение.

Так как вершина D лежит в плоскости yoz , то её первая координата

x 0 , две другие координаты неизвестны,

обозначим их

y , z . Итак, точка D

имеет координаты D(0, y, z) . Найдем координаты векторов

AB и DC,

вычитая

из координат конца координаты начала:

AB {3 1, 2 1, 1 4} {2,1,3},

DC {4, 3 y, 4 z}.

Так как векторы AB и DC коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

A B

			4				3 y			4 z	.
		2					1			3
Тогда 2 3 y,	2	4 z					или			z 2, y 1 и		D(0,1, 2) .
		3

D C

Рис.13

Примеры для самостоятельного решения

Пример. Проверить, что точки A(3, 1,2), B(1,2, 1), C( 1,1, 3),		D(3, 5,3) служат вер-
шинами трапеции.
Указание: проверить коллинеарность векторов AB и	DC.
Пример. В треугольнике АВС даны векторы AB {1,3, 2},		AC {4,2, 2}. Найти
вектор медианы BM .
	Ответ: BM {1, 2, 1}.
Пример. Даны точки A(8, 7, 5), B( 1,5,7) . Найти координаты точек C и D , де-
лящих отрезок AB на три равные части.	Ответ: C(5, 3, 1), D(2,1,3).

2.4. Проекция вектора на ось

Пусть − ось, − ненулевой вектор, лежащий на этой

l c

оси, AB ─ ненулевой вектор (рис. 14). Через точки А и В проведем плоскости, перпендикулярные оси l . Точки их пересечения с осью l обозначим соответственно A и B . Точки A , B

есть проекции точек А и В на ось l . Проекция вектора AB на

вектор (или на ось ) определяется следующим образом:

c l

B A

A c B

Рис.14

,

с

A B

если A B

.

(2.8)

пр c AB пр l AB

,

A B

если A B

с

9

Отметим следующие свойства проекции вектора:

		cos , где	− угол между векторами		;
1) пр AB	AB			AB и c
c

2)прc ( a b ) прс a прс b ;

3)если базис ортонормированный (то есть базисные векторы единичной длины и взаимно перпендикулярны), то координаты вектора равны проекциям вектора на базисные векторы.

2.5.Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения

Скалярным произведением a b

векторов a

и b

называется скаляр, равный

произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

cos .

a b

a

b

Принято и другое обозначение скалярного произведения

(a, b ) .

Отметим, что если

, то 0

и из

определения следует,

b

b a

2

обозначают

2

и называют скаляр-

что a

a

a

. Произведение a

a

a

a

ным квадратом вектора. Итак,

2

2

.

Рис. 15

a

a

Свойства скалярного произведения

1). Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и

только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

2). Скалярное произведение векторов перестановочно:

a b b

a.

3). Скалярное произведение ненулевых векторов связано с их проекциями:

пр

a b

a

пр b

b

a.

a

b

4). Свойство линейности:

( a b)

c

(a

c) (b c) .

Докажем первое свойство: для ненулевых векторов

a b

a

b

cos 0 cos 0

a b.

2

Доказательство второго свойства основано на том, что углы

рав-

(a, b ) и

(b, a)

ны, поэтому

a b

a

b

cos(a, b )

b

a

cos(b, a) b

a.

Доказательство третьего свойства следует из того, что

a

cos(a,b ) пр a,

b

cos(a, b ) пр b.

b

a

Поэтому

a b

a

b

cos(a, b )

a

пр b

b

пр a.

a

b

Доказательство четвертого свойства опустим.

Свойства перестановочности и линейности позволяют при скалярном умножении векторов раскрывать скобки по обычным правилам алгебры как при действии с многочленами. Например,

2

(a b )

(a b ) (a b ) a

a

a b b

a b b,

то есть для векторов, как и для чисел, справедлива формула

10