Adaptatsionny_Kurs_Kulik

Вычислим значение hmax с помощью формул из § 4.1 и рис. 67

hmax

=

cos

=

(1 cos )

=

2

sin	2
		2

2

2

	2

=

	2
2

=

		x
			m
2

	2

=

x2 m

2

.

Тогда полная механическая энергия маятника равна

		m g		x	2		k x	2
								m
Е	=			m		=			.
				2			2

Полная механическая энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды.

В реальных системах, которые совершают свободные колебания, из-за существования сил трения и сопротивления полная механическая энергия с течением времени уменьшается – переходит в другие виды энергии. Поэтому амплитуда колебаний уменьшается и колебания затухают. Свободные колебания реальных систем являются затухающими колебаниями. На этом явлении основывается работа различных технических устройств, например, амортизаторов автомобиля.

Упражнение 12. Ответьте на вопросы и выполните задания:

1.Что такое механические колебания?

2.Что такое маятник? Приведите примеры маятников.

3.Какие колебания называются свободными?

4.Какие колебания называются вынужденными?

5.Объясните различие между затухающими и незатухающими колебаниями.

6.Какие колебания называются собственными?

7.Что такое математический маятник?

8.Что такое смещение?

9.Что такое амплитуда колебаний?

10.Какой вид имеет уравнение движения математического маятника.

11.Почему колебания пружинного маятника называются упругими колебаниями?

12.Какой вид имеет уравнение движения пружинного маятника.

13.Что такое период колебаний?

14.Что такое частота колебаний? В каких единицах измеряется частота колебаний?

15.Что такое циклическая частота колебаний?

16.Какие колебания называются гармоническими?

17.От каких физических величин зависит циклическая частота математического маятника?

18.Что такое разность фаз?

19.При каких условиях два колебания происходят в противофазе?

20.Какое явление называется резонансом.

21.Резонанс – это опасное или полезное явление? Где используют резонанс в технике?

62

22. Дано уравнение колебаний					x 0,1 cos	t		. Найти амплитуду, частоту, фазу
							3
и смещение в момент времени t = T / 4 .
23. Дано уравнение колебаний							t
					x 0,7 cos					. Найти амплитуду, период,
							2			4
смещение и начальную фазу в момент времени t						= T		/ 6 .
24. Начертить графики двух косинусоидальных колебаний, которые сдвинуты
по фазе на			;	; .
	1	2	2	3	4
25.	Найти		длину	маятника,	который	делает				200 колебаний за 4 минуты

10 секунд в точке земной поверхности, для которой g = 9,81 м/с2.

26. Два маятника одновременно начинают колебательные движения. За одинаковое время первый маятник совершает 20 полных колебаний, а второй маятник – 15 полных колебаний. Найти отношение длин этих маятников.

63

5.4. Механические волны

Тело, которое совершает механические колебания, всегда связано с другими телами и все тела вместе образуют колебательную систему (рис. 44, а). Процесс распространения механических колебаний в упругой среде от одной колебательной системы к другой, называется волновым движением или механической (упругой)

волной.

Особенность таких колебаний состоит в том, что они не остаются на месте возникновения, а распространяются в среде путѐм взаимодействия частиц вещества среды друг с другом. При распространении колебаний эти частицы не перемещаются вместе с волнами, а колеблются около своих положений равновесия, то есть совершают упругие колебания (рис. 44, а). Колебания частиц среды могут происходить перпендикулярно направлению распространения волны – это поперечная волна (рис. 44, б), или параллельно направлению распространения волны – это

продольная волна (рис. 44, в).

a

направление

колебаний

б	B
	A

направление

колебаний

B

в A

Рис. 44

S

S

направление распространения волны

направление распространения волны

Поперечные волны распространяются в твѐрдых телах. В жидкостях и газах взаимодействие частиц обусловлено только деформацией сжатия и растяжения среды. Поэтому поперечные волны в жидкостях и газах не распространяются.

Продольные волны могут распространяться в твѐрдых веществах, в жидкостях

игазах. Примером продольных волн являются звуковые колебания.

Вразных срéдах волны распространяются с различными скоростями и характеризуются различными длинами волн.

Длиной волны называется расстояние, на которое распространяются колебания

64

за время одного периода колебаний. Длину волны обозначают символом «лямбда»). Единица длины волны – метр (м).

(читаем:

= T

=

,

ν

где

– скорость распространения волны; - частота колебаний в волне.

Под скоростью распространения волны понимают скорость распространения

данной фазы колебания. На рис. 75 в момент времени t

= 0 точка M имела начальную

фазу

0 = 0, т.е.

точка M находилась в положении

равновесия (точка O ). Через

промежуток времени, равный периоду колебания T , точка

N

приобрела начальную

фазу

0

= 0. Точка

N находится на расстоянии

от точки

M

, т.е. начальная фаза за

время T

распространилась на расстояние, которое равно длине волны . Отсюда

получаем формулу скорости распространения волны:

λ

.

Т

X

O

S

M

N

t

T

Рис. 45

Эту скорость распространения волны, которая по определению является скоростью распространения постоянной фазы, называют фазовой скоростью.

При распространении волны от частицы к частице передаëтся не только состояние колебательного движения, но и его энергия. Основным свойством всех волн является перенос энергии без переноса вещества.

5.5. Звук

Распространение продольных колебаний в упругой среде называется звуковыми колебаниями.

Звуковые колебания с частотой от 16 до 20 000 Гц называются звуком. Колебания с такой частотой воспринимаются ухом человека. Звуковые колебания, частота которых меньше 16 Гц, называются инфразвуком, а звуковые колебания с частотой больше 20 000 Гц называются ультразвуком.

Звук является одним из самых важных способов передачи информации в природе. Все высокоразвитые живые организмы имеют органы, которые служат

65

источниками и приëмниками звука. Некоторые из них, например, дельфины, общаются на ультразвуковых частотах. Человек использует ультразвук для технических, научных и других целей. Например, ультразвук используют в эхолоте – приборе, который определяет глубину воды в реке или море. В медицине ультразвук широко используют при различных исследованиях – метод ультразвукового исследования (УЗИ). Кроме того, ультразвук часто используют как биологическое воздействие для уничтожения микроорганизмов на клеточном и субклеточном уровне, что приводит к разрушению биомакромолекул. В жизни многих животных ультразвук является основным инструментом для их ориентации в пространстве, например для летучих мышей, крыс и дельфинов. Инфразвуковые колебания также находят применение в технике – на их основе работают дефектоскопы, которые могут обнаруживать пустоты в металле. Для человека инфразвук при определëнных частотах является опасным.

Часть физики, в которой изучают звуковые явления, называется акустикой. Скорость распространения звука в упругой среде зависит от физических

свойств данной среды. В твѐрдых телах скорость звука значительно больше, чем в жидкостях, а скорость звука в газах в несколько раз меньше, чем в жидкостях. Звук не может распространяться в вакууме. Скорость звука в воздухе при нормальных условиях равна 332 м/с. Скорость распространения звука зависит от температуры. При переходе из одной среды в другую скорость звука (как и других механических волн) изменяется, но частота ( ) и период (T ) колебаний частиц среды остаются постоянными.

Различают три вида звуковых колебаний: музыкальные звуки, шумы и звуковые удары.

Музыкальный тон или тон – это звук, в котором есть гармонические колебания только одной частоты. Шум – это звук, в котором есть колебания с разными частотами и амплитудами. Примеры шума: аплодисменты, скрип, звуки от вибрации машин. Звуковой удар – это кратковременное звуковое воздействие. Например: хлопóк, взрыв и т.д.

При восприятии звука различают три основных субъективных характеристики звука: громкость, высоту, тембр. Громкость звука (или интенсивность восприятия звука) – это субьективная характеристика звука, которая определяется амплитудой колебаний. Для оценки громкости данного звука его сравнивают с громкостью звука, который принят за эталон. Единица уровня громкости звука – бел (Б). На практике часто используют единицу 0,1 Б – децибел (дБ).

Высота звука (высота тона) – это субьективная характеристика звука, которая определяется его частотой: чем больше частота колебаний, тем выше звук. Звуковые колебания в основном являются сложными колебаниями и не всегда представляют собой чистое гармоническое колебание одной частоты. Состав (набор частот и амплитуд) сложного звукового колебания определяет субьективную характеристику звука, которую называют тембром.

Упражнение 13. Ответьте на вопросы и выполните задания:

1.Что такое механическая волна?

2.Какие виды волн существуют и чем они отличаются?.

3.Что такое длина волны?

66

4.Что такое фазовая скорость?

5.Какое свойство является основным для всех волн?

6.Что такое звук?

7.Что такое ультразвук?

8.Что такое инфразвук?

9.Приведите примеры использования ультразвука в природе, технике и медицине.

10.Что изучает акустика?

11.От чего зависит скорость звука?

12.Какие основные субъективные характеристики звука вы знаете?

13.В каких единицах измеряют уровень громкости звука?

14.Может ли распространяться звук при отсутствии упругой среды (например, в вакууме)?

15.Колебания с периодом 0,01 с образуют в воде звуковую волну с длиной волны 14,35 м. Найти скорость звука в воде.

16.Во сколько раз изменится длина волны при переходе из воды в воздух? Скорость звука в воздухе 332 м/с, скорость звука в воде 1453 м/с.

17.Эхо слышно через 10 с после образования звука. Найти расстояние до преграды, от которой отражается звук. Скорость звука в воздухе 332 м/с.

18.Ультразвуковым эхолотом, который излучает колебания с частотой 50 кГц, измеряют глубину водоѐма. Найти длину волны в воде, если скорость звука в воде равна 1453 м/с.

19.Волна с частотой колебаний 12 кГц распространяется в железе со скоростью 4842 м/с. Найти длину волны.

20.Волна от лодки до берега доходит через 0,5 минут и имеет длину волны 1,2 м. Время между двумя последовательными ударами волны о берег 3 с. Найти расстояние между берегом и лодкой.

67

Приложение 1

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ В ФИЗИКЕ

1.ВЕКТОР

1.1.Определение вектора

Вектором называется направленный отрезок ( AB a ):

Длина этого отрезка называется длиной (модулем, абсолютной величиной) вектора:

| a | AB .

Примеры: скорость , ускорение a , сила F .
Равные векторы: 1) имеют равные модули (одинаковые длины отрезков):	| a | = | b

2) одинаково направлены (рис. 1, а).

|

,

a	a
b	b
а)	б)
	Рисунок 1

a	b
	c

в)

Коллинеарные векторы – это параллельные векторы. Коллинеарные векторы могут иметь одинаковые направления – это сонаправленные векторы (рис. 1, а), или противоположные направления – это противоположно направленные векторы (рис. 1, б).

Компланарные векторы – это векторы (больше трѐх), которые приведены к общему началу и лежат в одной плоскости (рис. 1, в).

1.2. Проекции вектора на оси координат

Проекция вектора

АВ

на ось ОХ равна х1 – хо = ах,

Y
y1										В
			а y	АВ
y										С
	о
				А
							а	х
	О			x		о			x		1

а на ось ОY равна y1 – yо = аy.

Х

Рисунок 2

Из АВС определим стороны АС и ВС:

68

АС = АВ·сos α =	АВ ·cos α = ах = х1 – хо,
ВС = АВ·sin α =	АВ ·sin α = аy = y1 – yо.

| a |	AB AB	2	2
		ax	ay .
Угол α – это угол между вектором АВ и осью ОХ. Угол α отсчитывают против
часовой стрелки от направления оси	ОХ. Поэтому		sin α или cos α определяют знак

проекции – положительное число или отрицательное число (проекция имеет знак "плюс" или "минус").

Если α = 0о, то cos 0о = 1, sin 0о = 0, поэтому ах =

АВ , аy = 0.

Если α = 180о, то cos 180о = –1, sin 180о = 0, поэтому ах = – АВ , аy

Если α = 90о, то cos 90о = 0, sin 90о = 1, поэтому ах = 0, аy = АВ .

= 0.

x

Задание 1. Определите знаки проекций начальной скорости		0 x , конечной скорости
и ускорения	ax . В каком случае тело разгоняется, а в каком – тормозит?
а)

б)

Задание 2. Определите вид движения по проекциям ускорения.

а)

б)

2.ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

2.1.Сложение векторов

b

:

a

Дано: векторы

+ b = c .

a

и	b . Надо определить вектор

c

, который равен сумме векторов

a

и

Сложение векторов по правилу параллелограмма

Пунктиром продолжим линии векторов a и b . Линии пересекаются в точке О

69

(рис. 3, а). Переместим векторы вдоль линий, так чтобы их начала совпали в точке О

(рис. 3, б). Построим	параллелограмм ОАВС со сторонами	a	и b (рис. 3, в). Из точки
проводим диагональ	параллелограмма. Эта диагональ параллелограмма есть вектор
который равен сумме векторов a и b .

О

c ,

						А
a
		a			a
	b		b
О		О		О
						b
	а)			б)

Рисунок 3

c

С

в)

В

a

О

А

c

b

С

г)

В

Модуль результирующего вектора c можно определить по формуле, которая получена

с помощью теоремы косинусов:

с2 = а2 + b2 + 2·а·b·сos α,

где α – это угол между составляющими векторами

a

и

b .

Если α = 0о,	то сos 0о = 1	и	с = а + b;
Если α = 180о, то сos 180о = –1 и			с = а – b;
Если α = 90о,	то сos 90о = 0	и	c	à	2	b	2

.

Сложение векторов по правилу треугольника (рис. 3, г) :

1)переместить векторы так, чтобы конец первого вектора и начало второго вектора были в одной точке (например, в точке А);

2)из точки О (начало первого вектора a ) в точку В (конец второго вектора b )

провести результирующий вектор c ( c = a + b ) , который будет направлен от начала первого вектора (точки А) к концу второго вектора (точки В).

Метод сложения векторов по правилу треугольника удобно применять, если нужно

найти сумму нескольких векторов, например:

a

,

b

,

c

,

d

,

å

,

f

(рис. 4, а). Для этого

переместим все векторы так, чтобы конец первого вектора a и начало второго вектора b были

в одной точке, а конец второго вектора b и начало третьего вектора c тоже были в одной точке и так далее. Соединим начало ломаной линии (точку О) с еѐ концом (точкой N)

(рис. 4, б). Получим вектор

ON

=

R

, который равен сумме данных векторов:

a

c b

ON = R = a + b + c + d + å + f .

			a
	е		О
			R
		f
	d

b

c

d

е

N f

а)

б)

70

Рисунок 4

2.2. Вычитание векторов

Даны два

векторов a

и

b :

вектора	a
e = a –	b .

и	b , нужно определить вектор

e

, который равен разности

a

+ (–

Математическое выражение разности двух векторов b ). Будем определять сумму двух векторов a и – b .

e

= a

– b

можно записать так:

e

=

Вычитание векторов по правилу параллелограмма

Рассмотрим два варианта применения этого метода.

Вариант I.

Есть два вектора a и b (рис. 5, а). Из точки О проводим вектор – b параллелограмм АВСО. Соединяем точку О и точку В прямой и находим вектор

равен сумме двух векторов: a + (– b ) = e или e = a – b .

и строим e , который

В

А

е

-b

С

a

О

а)

b

С

	В
	a	А
е
	О	b

б) Рисунок 5

В
	е
a	А
О	b
	в)

Вариант II.

Можно построить параллелограмм другим способом. Запишем математическое

выражение

e

=

a

–

b

в таком виде:

a

=

e

+

b

. В этом варианте дано: результирующий

вектор

a

(диагональ параллелограмма!) и один составляющий вектор

b

(сторона

параллелограмма). Нужно определить второй составляющий вектор (вторую сторону параллелограмма).

Построим параллелограмм ОСВА (рис. 5, б). Соединим точки А и В (концы векторов

a

и

b ) отрезком прямой и из точки В проведѐм линию ВС, параллельную вектору

точки О проведѐм линию ОС, параллельную отрезку АВ. Получим вектор e = OC : e = a – b или a = e + b .

b

. Из

Вычитание векторов по правилу треугольника

Переместим начала векторов a и b в точку О (рис. 5, в) и проведѐм через точки А и В (концы векторов a и b ) отрезок прямой АВ. Вектор AB = a + (– b ) = e .

Задание 3. Определите результирующую (равнодействующую) силу и изобразите ее на рисунке, если:

а) на тело действуют две силы F1 и F2 вдоль одной прямой в одном направлении:

71