matan_metod_1

39		11.	Леммы о бесконечно малых величинах. Теоремы о пределах.
	Экзаменационные вопросы по курсу		Действия с несобственными элементами. Неопределенности.
	“МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ”		Правило Лопиталя. Замена переменных в предельном перехо-
	ПЕРВЫЙ КУРС. ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР		де.
		12.	Арифметические действия над непрерывными функциями.
1.	Высказывания. Логические связки. Кванторы всеобщности,		Непрерывность сложной функции. Теорема о частичных пре-
	существования, существования и единственности. Действие		делах.
	отрицания на сложные высказывания и кванторы.	13.	Предельный переход в равенствах и неравенствах. Принцип
2.	Понятие множества. Отношения равенства и включения на		двустороннего ограничения.
	множествах. Операции над множествами.	14.	Первый замечательный предел. Непрерывность тригономет-
3.	Нижняя и верхняя грань множества. Точная нижняя и верхняя		рических функций. Теорема об односторонних пределах.
	грань множества. Существование граней числовых множеств.	15.	Действия над монотонными функциями. Суперпозиция моно-
	Наибольший и наименьший элемент множества.		тонных функций. Теорема о существовании предела моно-
4.	Числовые промежутки и окрестности точек вещественной		тонной последовательности.
	оси. Расширенная числовая ось. Действия с несобственными	16.	Элементы комбинаторики. Перестановки, сочетания, разме-
	элементами.		щения. Бином Ньютона.
5.	Расположение точек относительно множества: внутренние,	17.	Число е. Иррациональность числа е.
	предельные, изолированные точки множества, точки сопри-	18.	Предел функции по Гейне (предел функции по последова-
	косновения. Отделимость и полуотделимость точек числовой		тельности).
	прямой.	19.	Второй замечательный предел. Пределы, связанные с показа-
6.	Отображение множеств. Сюръективные, инъективные, биек-		тельными, логарифмическими и степенными функциями.
	тивные отображения. Примеры.		Степенно-показательные выражения.
7.	Соответствие между элементами множеств. Равномощные	20.	Шкала асимптотического сравнения. Символы асимптотиче-
	множества. Счетные множества и множества мощности кон-		ского сравнения. Степенные асимптотические разложения.
	тиниум. Счетность множества рациональных чисел и несчет-		Действия над асимптотическими разложениями.
	ность множества вещественных чисел.	21.	Асимптотические разложения Маклорена для основных эле-
8.	Понятие функции. Способы задания функции. Область опре-		ментарных функций.
	деления и область значений функции. Последовательность,	22.	Теорема о вложенных промежутках (Коши-Кантора). Лемма о
	как функция натурального аргумента. арифметические дейст-		конечном покрытии (Бореля-Лебега). Теорема о предельной
	вия над числовыми функциями.		точке (Больцано-Вейерштрасса).
9.	Предел функции и последовательности. Непрерывность	23.	Верхние и нижние пределы последовательностей и функций.
	функции. Односторонняя непрерывность. Теорема о непре-		Критерий Коши существования предела последовательности
	рывности элементарных функций.		и функции.
10.	Бесконечно малые, бесконечно большие, ограниченные вели-	24.	Теорема Штольца. Примеры применения теоремы Штольца.
	чины. Величины, отделенные от нуля. Эквивалентные вели-	25.	Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. Од-
	чины. Необходимое и достаточное условие эквивалентности		носторонние разрывы. Примеры. Разрывы монотонной функ-
	величин. Примеры.		ции.

26.	Теорема о промежуточном значении непрерывной функции	41.	Основные теоремы о функциях, дифференцируемых на про-
	(Больцано-Коши). Существование экстремумов функции не-		межутке. Теоремы Лагранжа и Коши. Их геометрическая ин-
	прерывной на сегменте (теорема Вейерштрасса).		терпретация.
27.	Теорема об обратной функции. Обратные тригонометриче-	42.	Основные теоремы о функциях, дифференцируемых на про-
	ские функции. Гиперболические функции и функции им об-		межутке. Теорема Дарбу и ее следствие: теорема об односто-
	ратные.		ронней производной.
28.	Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема	43.	Ряд Тейлора. Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с оста-
	Кантора о равномерной непрерывности. Колебание функций.		точным членом в форме Пеано. Формула Тейлора в терминах
	Модуль непрерывности.		дифференциалов.
29.	Функциональное уравнения для линейной функции.	44.	Остаточный член формулы Тейлора в форме Шлемильха-
30.	Функциональное уравнения для показательной и логарифми-		Роша.
	ческой функции.	45.	Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа, Коши.
31.	Функциональное уравнение для тригонометрических функ-		Теорема единственности.
	ций.	46.	Ряды Тейлора для основных элементарных функций. Области
32.	Дифференцируемость функций. Производная функции. Диф-		их сходимости.
	ференциал функции. Геометрическая и физическая интерпре-	47.	Необходимое и достаточное условия постоянства функции
	тация производной и дифференциала.		дифференцируемой на промежутке. Условие не убывания (не
33.	Производная суммы, произведения и частного дифференци-		возрастания) функции. Условие строгой монотонности.
	руемых функций.	48.	Дифференцирование неравенств.
34.	Дифференцирование сложной функции. Цепное правило.	49.	Необходимое и достаточное условие локального экстремума
	Дифференцирование обратной функции.		функции. Примеры.
35.	Таблица производных.	50.	Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Примеры
36.	Производные и дифференциалы высших порядков. Таблица		вычисления пределов с помощью формулы Тейлора и правила
	производных высших порядков.		Лопиталя.
37.	Формула Лейбница нахождения производных высших поряд-	51.	Выпуклость (вогнутость) функций. Необходимые и достаточ-
	ков для функций, заданных в виде произведения. Дифферен-		ные условия выпуклости (вогнутости) функций. Точки пере-
	циалы высших порядков. Формула Лейбница для высших		гиба.
	дифференциалов.	52.	Неравенства Иенсена, Коши.
38.	Логарифмическая производная. Высшие производные от	53.	Неравенства Гѐльдера, Коши-Буняковского и Минковского.
	сложных и обратных функций. Высшие производные функ-	54.	Общая схема исследования свойств функции и построение
	ций, заданных параметрически.		графика функции. Примеры.
39.	Инвариантность формы первого дифференциала и не инвари-	55.	Комплексные числа. Алгебраическая форма записи комплекс-
	антность формы высших дифференциалов функции относи-		ного числа. Действия над комплексными числами, заданными
	тельно замены переменных.		в алгебраической форме.
40.	Основные теоремы о функциях, дифференцируемых на про-	56.	Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
	межутке. Теоремы Ферма и Ролля.		Формула Муавра. Возведение комплексного числа в нату-
			ральную степень и извлечение корня натуральной степени из
			комплексного числа.

57.	Функции с комплексными или вещественными аргументами и	73.	Другие (кроме подстановок Эйлера) методы интегрирования
	значениями. Последовательности. Предел. Непрерывность.		квадратичных иррациональностей. Подстановка Абеля. При-
	Дифференцируемость. Условия Коши-Римана дифференци-		меры.
	руемости функции комплексного переменного.	74.	Интегрирование функций рациональным образом выражаю-
58.	Экспонента комплексного числа. Тригонометрические функ-		щихся через тригонометрические и гиперболические функции
	ции комплексного переменного. Формулы Эйлера связи меж-		(без универсальных подстановок). Примеры.
	ду тригонометрическими функциями и экспонентой.	75.	Универсальная тригонометрическая и гиперболическая под-
59.	Показательная форма записи комплексного числа. Логарифм		становки.
	комплексного числа. Возведение комплексного числа в ком-	76.	Эллиптические интегралы.
	плексную степень.	77.	Интегральная экспонента и интегральный логарифм.
60.	Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Прин-	78.	Интеграл вероятности и интеграл ошибок.
	цип Руше. Основная теорема алгебры.	79.	Интегральные синус и косинус.
61.	Теорема Безу и ее следствия. Разложение многочлена на мно-	80.	Интегральные синус и косинус гиперболические.
	жители в множестве комплексных чисел.	81.	Интегралы Френеля.

62.Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на неприводимые множители.

63.Решение алгебраических уравнений третьей степени. Формулы Кардано.

64.Решение алгебраических уравнений четвертой степени. Метод Феррари. Теорема Абеля.

65.Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема об общем виде первообразной. Связь неопределенного интегрирования и дифференцирования. Линейность неопределенного интеграла.

66.Таблица неопределенных интегралов.

67.Замена переменных в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по частям.

68.Интегрирование простейших (элементарных) дробей.

69.Интегрирование дробно-рациональных функций методом разложения дроби на простейшие. Примеры.

70.Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла. Примеры.

71.Интегрирование биноминального дифференциала (дифференциального бинома). Примеры. Теорема Чебышева.

72.Подстановки Эйлера интегрирования квадратичных иррациональностей. Примеры.

47	48
Для заметок:	Для заметок:

49

Для заметок: