Консппект лекций

41

проблемам механики, так и по гидродинамике, теории колебаний и волн, теории

движения твердого тела, небесной механике и др.
В	1743	г.	был	опубликован	основной	труд	Даламбера

по механике — его знаменитый «Трактат о динамике». Первая часть «Трактата»

посвящена	построению аналитической	статики.	Здесь	Даламбер	формулирует
«основные принципы механики»,		которыми	он	считает	«принцип
инерции»,	«принцип сложения	движений»	и	«принцип	равновесия».

«Принцип инерции» сформулирован отдельно для случая покоя и для случая равномерного прямолинейного движения. «Принцип сложения движений»

представляет	собой	закон	сложения	скоростей	по	правилу
параллелограмма.	«Принцип равновесия» сформулирован в виде следующей
теоремы: «Если	два тела, обладающие скоростями, обратно пропорциональными
их массам, имеют противоположные направления, так что					одно	тело не

может двигаться, не сдвигая с места другое тело, то между этими телами будет иметь место равновесие».

Вторая часть трактата озаглавлена как «Общий принцип для нахождения движения многих тел, произвольным образом действующих друг на друга, а также некоторые применения этого принципа». В ней Даламбер предложил общий метод

составления	дифференциальных уравнений движения любых материальных
систем. Он основан		на формулировке задачи динамики в виде задачи статики.
Для любой	системы материальных точек формулируется правило, названное
впоследствии «принципом Даламбера».			Приложенные к точкам системы силы
можно разложить на		«действующие»,	т. е. вызывающие ускорение системы, и

«потерянные», необходимые для равновесия системы. Даламбер считает, что силы, соответствующие «потерянным» ускорениям, образуют такую совокупность, которая никак не влияет на фактическое поведение системы. Иными словами, если к системе приложить только совокупность «потерянных» сил, то система останется в покое.

Далее в «Трактате» рассматриваются задачи, для решения которых, по мнению Даламбера, необходим этот принцип. К таким задачам он причисляет движение тел, соударяющихся произвольным образом, движение системы тел, связанных стержнями и нитями, и др. В «Трактате о динамике» Даламбер не вводит понятия связей, хотя и отличает, например, тяготеющие тела от «тел, которые тянут друг друга при помощи нитей или жестких стержней». Отметим, что сам Даламбер при изложении своего принципа не пользовался ни понятием силы (считая, что оно не обладает достаточной ясностью, чтобы входить в круг основных понятий механики), ни тем более понятием силы инерции. Изложение принципа Даламбера с применением термина «сила» принадлежит Лагранжу, который в своей «Аналитической механике» дал его аналитическое выражение в форме принципа возможных перемещений. В дальнейшем (с начала XIX в.) вектор стали называть силой инерции материальной точки, а уравнение, выражающее принцип Даламбера, трактовать как утверждение о равновесии между приложенными к системе силами и силами инерции.

Значение принципа Даламбер видел в общности подхода к задачам механики. Высокую оценку труду Даламбера дал Лагранж, по мнению которого, хотя «...этот принцип не дает непосредственно уравнений, необходимых для решения проблем динамики, но он показывает, каким образом они могут быть выведены из условий равновесия».

Существенные результаты получил Даламбер в динамике твердого тела и небесной механике. В 1749 г. Был публикован его трактат «Исследования о предварении равноденствий и нутаций оси Земли», в котором рассматривается задача о вращении Земли около её центра масс под воздействием сил притяжения к Солнцу

42

и Луне. Оперируя понятиями моментов инерции и вводя главные оси инерции вращающегося тела, Даламбер рассмотрел малые колебания Земли (нутационные движения) около движущейся по конусу прецессии оси вращения и привел полное динамическое объяснение. В 1751 г. в работе «О движении тела произвольной формы под действием любых сил» Даламбер дал более систематическое изложение вопроса о малых колебательных движениях твердого тела относительно центра инерции. А. Клеро в работе «Теории фигуры Земли» дал формулы для притяжения эллипсоида, близкого к сфере. Даламбер в третьей части «Исследований по различным важным вопросам, относящимся к системе мира» (1756), получил более общие формулы такого рода для тел, близких к сфере, но не обязательно имеющих форму эллипсоида. Даламберу (наряду с Д. Бернулли и Эйлером) принадлежат основополагающие работы по гидромеханике, следствием которых были обобщающие работы Лагранжа по механике идеальной жидкости. В 1744 г. Выходит сочинение Даламбера «Трактат о равновесии движения жидкостей», в котором он применяет свой принцип к разнообразным вопросам движения жидкостей в трубах и сосудах. Даламбер исследовал также законы сопротивления при движении тел в жидкости. Процесс образования вихрей и разреженности за движущимся телом он объяснил вязкостью жидкости и ее трением о поверхность обтекаемого тела. В этом же сочинении Даламбер (почти одновременно с Эйлером) выдвинул положение об отсутствии сопротивления телу, движущемуся равномерно и прямолинейно в покоящейся идеальной жидкости (так называемый парадокс Эйлера—Даламбера). Этот факт доказывается математически как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости. В действительности же тело при своем движении в жидкости или газе всегда испытывает сопротивление. Это объясняется тем, что в реальной среде не выполняются предположения, на которых построено доказательство парадокса, т. е. всегда проявляются и вязкость, и вихри, в результате чего возникает поверхность разрыва скоростей. Все это вызывает сопротивление жидкости движению тела со стороны жидкости.

В 1748 г. Берлинская академия наук объявила конкурс на лучшее исследование о сопротивлении жидкостей. Даламбер представил работу, озаглавленную «Опыт новой теории сопротивления жидкостей» (опубликована в 1752 г.), где, пользуясь своим принципом, выводит уравнения движения жидкостей как несжимаемых, так и сжимаемых и упругих. В гидростатике Даламбер использовал уравнения равновесия идеальной жидкости в частных производных, введенные Клеро. Однако его уравнения еще не обладали, по словам Лагранжа, «всей той общностью и простотой, которые им могут быть приданы» и которые столь характерны для результатов Эйлера. Оригинальным решением Даламбера является введение комплексной скорости для плоского течения несжимаемой жидкости без вихрей. Скорость рассмотрена как функции комплексной координаты точки. Труды Даламбера в области гидромеханики (вместе с трудами Эйлера, Д. Бернулли) в XIX веке послужили основанием для тех обобщений, в результате которых механика сплошной среды была выделена в самостоятельную дисциплину со своими специфическими понятиями и математическим аппаратом. Даламбер занимался и экспериментальным исследованием сопротивления движению тел в жидкости в связи с запросами кораблестроения. В 1775—1777 гг. он вместе с А. Кондорсе (1743—1794) и Ш. Боссю (1730—1814) провел серию опытов над сопротивлением плавающих тел в безграничной жидкости и узких каналах.

Даламбер принимал активное участие в споре о «живой силе», начатом Декартом и Лейбницем и связанном с разработкой понятия о «мере силы», и в споре о принципе наименьшего действия. Спор о «живой силе» был полностью разрешен в «Трактате о динамике». Вопросу о принципе наименьшего

43

действия Даламбер посвятил статью в «Энциклопедии». Отвергая претензии Мопертюи, считавшего этот принцип неким универсальным законом — непосредственным выражением могущества бога, Даламбер подчеркнул его чисто механическое значение: глубокую связь с принципом живых сил и возможность его применения для решения отдельных задач механики.

Л.12

Аналитическая механика Жозефа Лагранжа

В середине XVIII столетия были получены новые важные результаты в механике. Распространение получил более общий и понятный аналитический аппарат. Все ученые, решавшие те или иные задачи динамики, пользовались в явном или неявном виде законами Ньютона. Однако еще не были установлены общие теоремы динамики точки и системы материальных точек, а аналитические методы не были доведены до универсального алгоритмического состояния (за исключением, пожалуй, динамики твердого тела). Таким образом, ко второй половине XVIII века механика была далека от той стройной науки, с которой мы привыкли иметь дело. Решающее продвижение вперед сделал Лагранж. Именно он увидел в разрозненных результатах, полученных разными авторами при решении частных задач, возможность обобщений, сформулировал и доказал новые общие теоремы и создал новые аналитические методы, составляющие неотъемлемую часть современной механики.

Жозефу Лагранжу принадлежат многие выдающиеся работы по механике. Из всех многочисленных работ Лагранжа наибольшую известность по праву получила его книга «Аналитическая механика». Первое ее издание в одном томе вышло в 1788 г., второе издание вышло в двух томах; первый том опубликован в 1813 г., а второй—в 1816 г., через три года после смерти автора. С тех пор несколько раз в течение XIX столетия переиздавался с дополнениями и примечаниями других ученых. Русский перевод, в двух томах, появился в 1950 г.

Лагранж подошел к механике не как естествоиспытатель, желающий открыть новые законы природы, а как математик, который нашел новую область применения анализа. Об этом он пишет в предисловии: «Все любящие анализ с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путем я расширил область его применения». Позиция математика сказалась и на построении книги. Прежде всего, Лагранж разделил механику на статику и динамику, и, как всякий математик, стремящийся ввести наименьшее число аксиом (в механике — законов или принципов), он всю статику построил на одном принципе виртуальных перемещений, а всю динамику—на одном общем уравнении, в котором объединены принципы виртуальных перемещений и принцип Даламбера. Если рассматривать статику как частный случай динамики, то, по существу, Лагранж построил всю механику на одном уравнении—общем уравнении динамики. На первый взгляд эта задача кажется просто невыполнимой, но Лагранж показал, что с помощью этого уравнения можно построить всю механику как для систем с конечным числом степеней свободы, так и для сплошных сред. С точки зрения математика — это выдающееся, гениальное достижение.

Статику, гидростатику, динамику и гидродинамику Лагранж начинает с описания принципов построения этих разделов науки. Эти описания содержат краткие, лаконично изложенные исторические обзоры развития механики. Из этих обзоров видно, как глубоко проник Лагранж в работы своих предшественников и как высоко он ценил работы Архимеда, Галилея и Ньютона (в соответствующих разделах об этом уже писалось). Как было отмечено, всю статику Лагранж построил

44

на одном принципе виртуальных перемещений. Впервые этот принцип, повидимому, ввел старший современник и покровитель Галилея Гвидо Убальди. Его «Книга о механике» (1577) посвящена статике простых машин (рычагам, блокам, воротам, полиспастам и т. п.). Он сформулировал правило, согласно которому две силы находятся в равновесии, если они обратно пропорциональны виртуальным скоростям, измеренным по направлению этих сил. Галилей применил правило виртуальных скоростей при рассмотрении равновесия тела, находящегося на наклонной плоскости (проблема, занимавшая в те годы многих ученых). Галилей изменил формулировку Гвидо Убальди и вместо обратной пропорциональности ввел равенство произведений сил на виртуальные скорости. Эти произведения он назвал моментами приложенных сил.

Принцип виртуальных скоростей применяли и другие ученые, в частности Декарт. Вместо виртуальных скоростей он ввел виртуальные пути, проходимые телом в первые мгновения движения. Лагранж в своей книге называет эти перемещения вариациями или дифференциалами, а произведение силы на вариацию ( F d s = F d s ) , следуя Галилею, — моментом силы. Это название, которым Лагранж пользовался на протяжении всей своей книги, не удержалось в механике. В начале XIX столетия практически одновременно Понселе и Кориолис назвали произведение силы на перемещение работой силы. Этот термин прочно вошел в науку, вытеснив слово «момент» в понимании Галилея и Лагранжа. Заметим, что Лагранж пользовался понятием момента силы и в другом смысле — это произведение силы на плечо. Впервые такое определение момента ввел тот же Гвидо Убальди, установив с его помощью принцип коленчатого рычага.

Общность принципа виртуальных скоростей еще до Лагранжа развил Иоганн Бернулли. Об этом пишет Вариньон, поместивший письмо Бернулли в свою книгу «Новая механика», которая вышла в свет в 1725 г., через три года после смерти ее автора. Таким образом, принцип виртуальных скоростей прошел за 210 лет от Гвидо Убальди до Лагранжа через Галилея, Декарта, И. Бернулли и других ученых. Каждый из них вносил небольшие улучшения, но ни один из них не дал доказательства этого принципа. Лагранж попытался доказать его с помощью системы полиспастов, но, как впоследствии выяснилось, доказательство Лагранжа только проиллюстрировало принцип, но, не содержало строгого его обоснования. После изложения различных принципов статики Лагранж в Отделе II переходит к установлению «общей формулы статики для равновесия любой системы сил». Отметим, что Лагранж в самом начале вводит термины внешние и внутренние силы, но в дальнейшем он, не оговаривая, пользуется только внешними силами. Под вариациями или дифференциалами d p , dq, dr, ... он понимает произвольные бесконечно малые перемещения точек приложения сил вдоль линии их действия и в сторону направления сил (это определение принадлежит И.Бернулли).

Начиная с двух сил, Лагранж устанавливает методом индукции следующую общую формулу для равновесия любой системы сил:

P d p + Q d g + R d r + . . . = 0

(1)

(в некоторых случаях Лагранж заменяет символ d на д ) .

Уравнение (1) представляет математическую запись принципа виртуальных перемещений. Уравнение (1) практически совпадает с современной записью принципа возможных перемещений. Основное отличие состоит, конечно, не в форме записи, а в определении вариации: в наши дни — это произвольно мыслимое малое перемещение точки приложения силы, совместимое со связями, а у Лагранжа — это малое перемещение вдоль линии действия силы и в сторону ее действия.

В Отделе III Лагранж, пользуясь уравнением (1), устанавливает шесть уравнений равновесия твердого тела — три уравнения проекций и три уравнения моментов

45

(сейчас эти уравнения излагаются во всех курсах статики). Эти шесть уравнений равновесия впервые были получены Даламбером более сложным путем. Лагранж упоминает работу Даламбера и ставит себе в заслугу только преимущество в простоте доказательства.

Введя вместо линейных вариаций координат угловые вариации, Лагранж, пользуясь уравнениями моментов, показывает, что одновременные бесконечно малые вращения твердого тела равносильны одному вращению вокруг оси, проходящей через ту же точку. Эту ось он назвал «мгновенной осью сложного вращения» (отсюда в кинематику перешел термин «мгновенная ось вращения»). Как справедливо заметил Франсуа Бертран (1822—1900), эта теорема представляет обобщение теоремы Эйлера — Даламбера о произвольном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку.

Пользуясь тем же уравнением (1), Лагранж показывает, как можно определить нормальную реакцию поверхности.

Торричелли указал, что при устойчивом равновесии двух тяжелых связанных между собою тел их общий центр тяжести должен занимать нижнее положение. Лагранж уже в историческом обзоре отметил общность этого принципа и возможность его применения для любой системы тяжелых тел. Мопертюи в 1740 г. доказал так называемый «Закон покоя», согласно которому потенциальная энергия системы тел, подверженных действию центральных сил, зависящих произвольным образом от расстояния до центра притяжения, в положении покоя имеет минимум. Эйлер на простых частных примерах показал, что при минимуме потенциальной

энергии имеется устойчивое равновесие, а при максимуме равновесие неустойчиво.

Лагранж обобщил эти разрозненные, частные результаты на случай произвольной потенциальной системы.

Изданием в 1736 г. «Механики» Эйлер заложил основы аналитической механики, которой затем много занимались он сам, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли и другие ученые XVIII в. Но, Эйлер задачи механики, хотя и решает средствами анализа бесконечно малых, однако каждую сводит к решению уравнений по-своему. Кроме того, сочинение Эйлера 1736 г. — это механика материальной точки. В своих дальнейших трудах, как известно, Эйлер и другие ученые развили динамику твердого тела. Лагранж охватил механику системы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к решению соответствующих математических задач. Но ясно, что при этом ему приходилось исходить из каких-то физических, экспериментальных положений. Каковы эти положения? И насколько общими являются методы Лагранжа, действительно ли они охватывают все задачи механики?

Ответы на эти вопросы указывают нам на то, что действительно можно назвать механикой Лагранжа. Эта механика делится на две части: статику и динамику. Статика у Лагранжа основана на принципе виртуальных (возможных) скоростей. «Под виртуальной скоростью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тот момент, когда равновесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тело фактически получило бы в первое мгновение своего движения». Принцип виртуальных скоростей формулируется так: «Пусть какая-либо система любого числа тел, или точек, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии. Если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий ее виртуальную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, в которой она приложена, будет всегда равна нулю. При этом малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а проходимые в противоположном направлении, считать отрицательными». Вводя этот принцип, Лагранж ссылался на данные опыта. Он

46

указывал на общий закон равновесия машин: отношение сил друг к другу обратно отношению скоростей точек, к которым они приложены, причем скорости должны измеряться в направлении сил. Это положение, взятое в общем виде, и составляет принцип виртуальных скоростей, который «можно рассматривать как своего рода аксиому механики». Впрочем, Лагранж дал и два доказательства принципа виртуальных скоростей, но, разумеется, эти доказательства состоят в том, что этот принцип сводится к другим положениям статики. Наиболее известно доказательство, приведенное во втором издании «Аналитической механики». Оно основано на «принципе блоков». Считая последний принцип вполне наглядным, Лагранж рассматривал его как естественное основание для принципа виртуальных скоростей.

В динамике Лагранж исходит из двух законов: закона инерции и закона сложения движений (по правилу параллелограмма). Второй закон механики Ньютона Лагранж как бы выводит из этих двух следующим образом. В равномерно-ускоренном движении существует постоянное отношение между скоростями и временами. Это отношение принимается за меру ускоряющей силы, непрерывно действующей на тело,— ведь эта сила может быть измерена только по такому ее действию. В общем же случае, «каковы бы ни были движение тела и закон его ускорения, но согласно природе дифференциального исчисления мы можем признать постоянным действие каждой ускоряющей силы в течение бесконечно малого времени; таким образом всегда можно определить величину силы, действующей на тело в любое мгновение, если вызванную в это мгновение скорость сравнить с продолжительностью этого мгновения...» . Эту схему перехода от равномерно-ускоренного движения (Галилей) к общему случаю Лагранж связывает с именем Гюйгенса, построившего теорию центробежных сил. Ньютон, по Лагранжу, обобщил эту теорию Гюйгенса на все кривые линии и тем дополнил учение о неравномерных движениях и об ускоряющих силах, способных их вызвать. Сам Ньютон постоянно пользовался геометрическим методом, но «в настоящее время это учение сводится лишь к нескольким очень простым дифференциальным формулам». Аналитическая динамика Лагранжа основана на общей формуле, которую сейчас называют уравнением Даламбера — Лагранжа, или общим уравнением динамики. «Развитие этой формулы, если при этом принять во внимание условия, зависящие от природы системы, дает все уравнения, необходимые для определения движения каждого тела, после этого остается только эти уравнения интегрировать, что является уже задачей анализа» .

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений статики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем,

при движении	которых не	изменяется их полная механическая				энергия
(консервативные	системы),	эти	уравнения	можно	составить,	зная

общее выражение только двух величин: кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весьма общи: их можно использовать для разных физических систем, если состояние таких систем характеризуется значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирования) в общем виде является достаточно определенной, чтобы исследовать ее чисто математически.

Принципом наименьшего действия Лагранж много занимался в первые годы своей научной деятельности, в связи с работами по вариационному исчислению. При

		47
систематическом	изложении	механики	этот	принцип	отходит

у Лагранжа на второй план. Все же существенно было то, что Лагранж формулировал этот принцип с полной определенностью как чисто механическую теорему, справедливую при соблюдении определенных условий. Эта формулировка такова: рассматривается движение системы тел, находящихся под действием взаимных сил притяжения, или сил, направленных к неподвижным центрам и пропорциональных каким-либо функциям расстояний. Тогда кривые, описываемые различными телами и их скорости необходимо таковы, что сумма произведений отдельных масс на интеграл скорости, умноженной па элемент кривой, является максимумом или минимумом — при условии, что первые и последние точки каждой кривой рассматриваются как заданные. Таким образом, говорит Лагранж, рассматриваемый принцип сводится собственно к тому, что сумма живых сил всех тел от момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят в другие заданные точки, является, максимумом пли минимумом. Следовательно, этот принцип можно было бы с большим основанием назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы.

Лагранжу принадлежат также многочисленные работы по механике сплошной среды. В «Аналитической механике» немало места уделено гидростатике, гидродинамике, теории упругости. В этих разделах Лагранж систематизировал все результаты, полученные им и его предшественниками. В теории упругости Лагранж

не	располагал	общими уравнениями (они	были выведены позже,
в	20-е годы XIX	в.) и рассматривал равновесие	и колебания около положения

равновесия упругих тел одномерных или двумерных — типа нити, струны, мембраны. В гидродинамике Лагранж оперировал уравнениями для идеальной жидкости (т. е. совершенно лишенной внутреннего трения), выведенными до него Эйлером. Математические трудности тут оказались настолько большими, что в общем случае Лагранж мог предложить только приближенный способ решения уравнения движения. Понадобилось немало времени, чтобы с помощью новых математических методов добиться дальнейших результатов там, где вынужден был остановиться такой гениальный ученый, как Лагранж.

Л.13

У.Р.Гамильтон и К.Г.Якоби

Уильям Роуан Гамильтон (1805—1865) был одним из гениальных людей своего времени. Уже в ранние годы он поражал окружающих исключительными, разнообразными способностями. В четырехлетием возрасте он недурно знал географию и свободно читал литературу на английском языке, а восьми лет овладел итальянским и французским языками, изучал арабский и латынь. Особенно большую склонность проявлял юноша к математике.

В 1824 г. Гамильтон поступил в Тринити — колледж Дублинского университета, где успешно изучал математические науки и разрабатывал геометрическую оптику, или теорию лучей. В возрасте 22-х лот молодой ученый был назначен профессором астрономии колледжа св. Андрея Дублинского университета и королевским астрономом Ирландии. В 1837 г. Гамильтон был избран президентам Ирландской академии наук. Научные заслуги его нашли широкое признание во всем мире.

48

В 1828 г. в «Известиях» Ирландской академии наук Гамильтон опубликовал одну из своих самых знаменитых работ — «Теорию систем лучей». Исследуя системы оптических лучей, он исходил из практических запросов их применения в оптических приборах. В третьем добавлении к этому труду ученый на основании сложных математических вычислений предсказал существование нового, до тех пор неизвестного явления — внешней и внутренней конической рефракции в двуосных кристаллах. Открытие Гамильтона вызвало огромный интерес и впоследствии сравнивалось с открытием планеты Нептун на основе вычислений Леверье.

Руководствуясь идеей оптико-механической аналогии, усматривая её прежде всего в единой математической форме законов движения лучей и материальных частиц, Гамильтон использует в механике так называемый принцип наименьшего действия. Применяя этот принцип к определенным явлениям, Гамильтон исходил из того, что для действительного, осуществляющегося движения тел величина, равная произведению энергии на время и названная им «действием», должна иметь некоторое минимальное значение. Несколько позже Гамильтона и независимо от него принцип наименьшего действия был разработан русским ученым М. В. Остроградским, который распространил его па значительно более широкий круг явлений. Этот принцип теперь справедливо называется принципом Гамильтона — Остроградского. Он оказался мощным математическим оружием физики и был широко использован в работах Максвелла, Гельмгольца, Умова, Эйнштейна, де Бройля, Шредингера и других ученых.

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение в ней своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики («функция Гамильтона») оказалась, при довольно широких условиях, совпадающей с энергией механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы материальных точек системы, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульсы. Получающаяся система дифференциальных уравнений («канонические уравнения») равносильна системе уравнений движения, в частности — системе уравнений Лагранжа второго рода, но обладает некоторыми особыми свойствами, облегчающими ее исследование.

Наконец,	Гамильтон		связал		свою		каноническую			систему
дифференциальных		уравнений		первого		порядка		с	соответствующим
дифференциальным уравнением в частных производных.								Как	выяснилось, этому
уравнению удовлетворяет его характеристическая функция.								Получилась		обширная

теория. Она дала новую удобную форму уравнений движения, новый подход к проблеме их решения (интегрирования). Она вскрывала более полно и глубоко аналогии между механикой и оптикой, выявила новые возможности геометрической интерпретации, наконец, она вела к выявлению связи между волновыми и корпускулярными представлениями — но последнее достаточно полно раскрылось лишь через столетие.

Необходимо сказать, что описанная выше теория не была дана Гамильтоном в достаточно общем и законченном виде: он вел свои исследования, переходя к механике, преимущественно в предположении, что имеет дело с системой свободных материальных точек, взаимодействующих с силами, зависящими только от взаимных расстояний. Обобщение результатов и методов Гамильтона, устранение излишних ограничений, тщательная разработка математических методов является заслугой К. Якоби и М. В. Остроградского. Поэтому часто можно встретить в литературе термин «теория Гамильтона — Якоби», но исторически более справедливо говорить о теории Гамильтона — Якоби

— Остроградского.

49

Эта теория является основным достижением аналитической механики XIX века. Поначалу казалось, что её главное значение — в развитии аналитических методов. Но более глубокое выявление связи механики с оптикой и раскрытая возможность нового геометрического истолкования механических проблем имела принципиальное значение. Во второй половине XIX века накопление новых фактов и разработка новых методов в аналитической механике шло главным образом по линии геометризации. В начале XX столетия, когда это направление сочеталось с новыми течениями в физике,

именно на созданной им основе	были пересмотрены основные понятия
классической механики.

Карл Густав Якоби (1804—1851) — один из крупнейших немецких математиков и механиков первой половины XIX века. Он был профессором математики сначала в Кенигсбергском, а затем в Берлинском университете. В 1829 г. Якоби был избран членом-корреспондентом, а в 1836 году действительным членом Берлинской академии наук. За свои выдающиеся научные заслуги он был избран членом многих зарубежных академий наук.

Русские ученые одними из первых	оценили огромное значение его
исследований по математике и механике.	Официальное выражение этого нашло

в избрании его уже в 1830 году членом-корреспондентом Петербургской академии наук; три года спустя (в 1833 г.) ему было присвоено звание почетного члена Петербургской академии наук.

К. Г. Якоби — один из создателей теории эллиптических функций, ему принадлежат крупные достижения в области теории чисел, линейной алгебры, интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления. Он ввел в математику функциональные определители, которые часто называют в его честь «якобианами».

Основной труд Якоби по механике — его замечательные «Лекции по динамике», выполненные в 1842—1843 гг. и изданные его учеником А. Клебшем (1839 — 1894) после смерти Якоби в 1866 году. Эти лекции представляют собой развитие классической аналитической механики Лагранжа и содержат много новых идей как по математике (теория дифференциальных уравнений в частных производных, вычисление геодезических линий на эллипсоиде), так и по механике.

Исходным моментом исследований Якоби по механике является принцип Гамильтона — Остроградского, предложенный в первоначальной форме ирландским механиком и математиком У. Р. Гамильтоном и в окончательной форме — русским ученым М. В. Остроградским.

В своих «Лекциях» Якоби значительно развил теорию канонических уравнений Гамильтона. Существенно расширил класс механических систем, к которым она применима. Он изложил принцип Гамильтона и получил канонические уравнения для любых механических систем, обладающих силовой функцией, в которую может

входить	время.	Якоби	применяет	к	этим	уравнениям	теорему
С. Пуассона, открытую им в связи с другими задачами механики.
В	дальнейшем Якоби		находит	много	различных случаев		получения

интегралов уравнений движения. Например, рассматривая системы с силовой функцией, Якоби показывает, что в случае, когда можно выбрать такие обобщенные координаты, что силовая функция не зависит от координаты, а живая сила зависит от нее, можно получить интеграл данной системы уравнений.

Важнейший результат К. Якоби — его теорема о том, что канонические уравнения являются уравнениями характеристик некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Интегральные поверхности указанного уравнения в частных производных состоят из интегральных кривых системы

50

канонических уравнений, определяющих движение механической системы. Тем самым интегрирование канонических уравнений сводится к разысканию полного интеграла уравнений в частных производных.

Дальнейшее обобщение метода Гамильтона — Якоби было осуществлено М. В. Остроградским.

Л.14

М.В. Остроградский

За свою почти сорокалетнюю научную деятельность Михаил Васильевич Остроградский (1801 — 1861) создал ряд ценных трудов по основным проблемам механики. Ему принадлежат первоклассные исследования по методам интегрирования уравнений аналитической механики и разработке обобщенных принципов статики и динамики.

Многочисленные исследования М. В. Остроградского по механике можно разбить на три группы: 1) работы по обобщению принципа возможных перемещений, 2) работы по дифференциальным уравнениям механики и 3) работы по решению частных механических задач.

Наиболее выдающиеся исследования Остроградского относятся к обобщениям основных принципов и методов механики. Он внес существенный вклад в развитие вариационных принципов. Вариационные принципы механики входят в круг вопросов, интересовавших Остроградского в течение всей его жизни. Постоянное

возвращение к вариационному исчислению	и	вариационным принципам
механики роднит его с Лагранжем — одним	из	создателей вариационного

исчисления и творцом аналитической механики. Ранее указывалось, что вариационными принципами механики занимались такие корифеи науки, как Ферма, Мопертюи, Эйлер, Лагранж, Гамильтон. Было отмечено, что новый этап в разработке принципа наименьшего действия связан с именем Лагранжа, который поставил целью свести динамику к чистому анализу. В работах Лагранжа проблемы механики представляют собой лишь определенный класс задач вариационного исчисления. Такой же подход к механике характерен и для Остроградского, который рассматривал ее проблемы, как правило, в самом общем виде. Общая постановка вопроса вела, в свою очередь, к изучению вариационного исчисления, в которое как частный случай входит динамика. Поэтому трактат Остроградского «О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров» (1850) принадлежит в равной степени, как механике, так и вариационному исчислению. В силу такого сугубо математического подхода (как у Лагранжа) исследования Остроградского значительно обогатили, развили и углубили понимание вариационных принципов, прежде всего с математической точки зрения.

Остроградский рассматривает в этом трактате вариационную задачу, в которой подынтегральная функция зависит от произвольного числа неизвестных функций и их производных сколь угодно высокого порядка, и доказывает, что задача может быть сведена к интегрированию канонических уравнений Гамильтона. Показано, что эти уравнения можно рассматривать как такую форму, в которую можно преобразовать любые уравнения, возникающие в вариационной задаче. Это преобразование не требует никаких операций, кроме дифференцирования и алгебраических действий. Заслуга такого обобщения задачи динамики принадлежит М. В. Остроградскому.

Кроме того, Остроградский ослабил ограничения на связи, всегда считавшиеся до него стационарными, и тем самым существенно обобщил проблему.