Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
107
Добавлен:
07.03.2015
Размер:
1.21 Mб
Скачать

3.3.1. Построение доверительных интервалов

математического ожидания

Проще всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии. Однако ее нельзя получить из наблюдений, а можно лишь оценить при помощи выборочной дисперсии. Ошибка от заменына будет тем меньше, чем больше объем выборкиn. Для построения доверительного интервала для математического ожидания используют распределение Стьюдента (t-распределение). При этом вероятность того, что случайная величинаtпопадет в некоторый интервал, определяется выражением

.

(3.16)

В силу симметричности распределения Стьюдента относительно нуля .

Учитывая симметрию, часто пользуются обозначением . Здесь число степеней свободы,qуровень значимости, или , гдеP доверительная вероятность. Подставим в (3.16) значениеtиз (3.3), получим неравенства:

;

(3.17)

,

(3.18)

откуда после очевидных преобразований представим двусторонний доверительный интервал

,

(3.19)

где значения квантилей для различных степеней свободыи уровней значимостиqнаходятся по таблицам распределения Стьюдента. На практике и, в первую очередь, при50выражение (3.19) можно записать так:

.

(3.20)

При одностороннем интервале для доверительной вероятности P =1 – q, т.е. при, получим:

правосторонняя (сверху) оценка;

(3.21)

левосторонняя (снизу) оценка.

(3.22)

Методика определения доверительного интервала для математического ожидания сводится к следующему:

  1. По заданной выборке определяются оценки математического ожидания и дисперсии.

  2. Для уровня значимости qи числа степеней свободы = n 1 находитсяt по таблицам распределения Стьюдента.

  3. По оценкам ирассчитывается по формулам (3.19) – (3.20) двусторонний или по формулам (3.21) – (3.22) односторонний доверительный интервал на математическое ожидание.

Пример 3.1. Требуется определить, какое количество книг (N)по некоторой теме должен иметь продавец, чтобы удовлетворить по возможности всех покупателей, если за четыре дня по этой теме было продано:18, 12, 13, 15книг.

Решение. На основании этих данных по формулам (3.9)  (3.10)

= (18+12+13+15)/4=14,5;

;

; =n 1 = 3.

Приняв P=0,95, а следовательно,2q=0,1, по таблице распределения Стьюдента получим = 2,35. По формуле (3.21) определим верхнюю границу на математическое ожидание:

.

Следовательно, максимально возможное количество книг, которое необходимо иметь продавцу, N = 18.

Задания для самостоятельной работы

1. Дана выборка оценок за контрольную работу: 3,8; 4,4; 3,7; 4,2; 2,3; 5,0; 4,1; 3,5; 4,8; 3,6. Вычислите средний балл группы , разброс и постройте двусторонний интервал на математическое ожидание, т.е. вычислите интервал, в который входят с заданной вероятностью практически все оценки.

2. Сформулируйте статистическую задачу, когда необходимо нахождение доверительного интервала на математическое ожидание, и решите ее.

3.3.2. Построение доверительных интервалов

дисперсии

Дисперсию генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины можно оценить выборочной дисперсией. Распределение Пирсона (-распределение) для выборки изnнезависимых наблюдений имеет вид

(3.23)

c числом степеней свободы =n – 1.

При доверительной вероятности P=1 qдвусторонняя доверительная оценка для имеет вид

,

(3.24)

а односторонние оценки –

, .

(3.25)

Квантили ипри различныхq и определяются из таблиц - распределения. Так как выборочная дисперсия определяется по формуле

,

(3.26)

то имеем

.

(3.27)

Подставив (3.27) в (3.24), получим

,

(3.28)

откуда доверительные двусторонние границы генеральной дисперсии

,

(3.29)

а односторонние 

и

(3.30)

.

(3.31)

Пример 3.2. В канцелярии офиса работают три секретаря. Время подготовки одного документа каждым секретарем в среднем составляет соответственно 16,3; 15,5 и 17,2 мин. Требуется оценить ориентировочное время и возможное отклонение во времени оформления документа, сданного в канцелярию.

Решение. По формулам (3.9)  (3.10) расcчитаем:

;

.

Приняв доверительную вероятность P = 0,95при = 2по таблицам -распределения, находим:;.

Тогда двусторонняя доверительная оценка дисперсии

;

.

При извлечении квадратного корня получим

.

Обратим внимание на существенное различие отклонений нижней и верхней границ от . Это вызвано высокой асимметричностью кривой плотности вероятности -распределения, которая заметно уменьшается с увеличениемnи соответственно. Привыборочная дисперсия распределяется приближенно нормально, в связи, с чем оценкаможет быть осуществлена с учетом нормального распределения, когда доверительные границы определяются неравенством

.

(3.32)

Пример.3.3.Требуется определить доверительный интервал на дисперсию для выборки ежедневного объема продажи товара за месяц с объемомn = 31, со стандартным отклонениемs = 0,85.

Решение. Потаблицам -распределения с доверительной вероятностью Р = 0,95(или уровнем значимостиq = 0,05) и числом степеней свободы = n − 1= 30 найдеми. В результате получим двустороннюю доверительную оценку дисперсии (3.29)

или

и среднеквадратичного отклонения

< 1,13.

Исходя из приближенного вычисления по формуле нормального распределения

.

По таблицам нормального распределения при P =0,95 находим квантиль =1,64. Тогда по (3.32)

,

,

что мало отличается от полученного выше.

Задания для самостоятельной работы

1. Дана выборка оценок, полученных группой студентов на экзамене: 3; 4; 3; 4; 5; 5; 4; 3; 5; 4; 3; 4; 4; 5. Вычислите оценки математического ожидания и дисперсии и постройте двусторонний интервал на дисперсию.

2. Сформулируйте статистическую задачу, когда необходимо нахождение доверительного интервала на дисперсию, и решите ее.

Соседние файлы в папке Тер вер и мат стат