4.5. Средние величины

Средней величинойв статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Средняя отражает характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений, характеризует эти уровни и их изменения во времени и в пространстве.

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин:арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическаяи т.д.

Перечисленные средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой* (при различных значениях m):

, (3.1)

где - среднее значение исследуемого явления;

m- показатель степени средней;

- текущее значение (вариант) осредняемого признака;

- число признаков.

В зависимости от значения показателя степени различают следующие виды степенных средних:

при =-1 - средняя гармоническая;

при =0 - средняя геометрическая;

при =1 - средняя арифметическая;

при =1 – средняя квадратическая;

при =3 - средняя кубическая.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше т в формуле (5.1), тем больше значение средней величины:

/ (5.2)

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется в статистике правилом мажорантности средних.

Средняя арифметическая.

Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Так, например: общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат всех работников, валовый сбор урожая – сумма произведенной продукции со всей посевной площади.

Чтобы исчислить среднюю арифметическую нужно сумму всех значений признаков разделить на их число.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней. Исходной, определяющей формой служит простая средняя.

Средняя арифметическая простаяравна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака):

, (5.3)

где ,, ...,- индивидуальные значения варьирующего признака (варианты);- число единиц совокупности.

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты).

Средняя арифметическая взвешенная - средняя сгруппированных величин

,, ...,- вычисляется по формуле:

, (5.4)

где ,, ...,- веса (частоты повторения одинаковых признаков);

- сумма произведений величины признаков на их частоты;

- общая численность единиц совокупности.

Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов ("от - до"), т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.

Рассмотрим следующий пример (табл. 5.3).

Таблица 5.3

Распределение рабочих АО по уровню ежемесячной оплаты труда в 1996 г.

Группы рабочих по оплате труда, тыс. руб.	Число рабочих, чел.	Середина интервала, тыс. руб.
До 500 500-600 600-700 700-800 800-900 900 и более	5 15 20 30 16 14	450 550 650 750 850 950	2250 8250 13000 22500 13600 13300
Итого	100	-	72900

При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже интервал и чем больше единиц в -интервале.

После того как найдены середины интервалов, вычисления делают также, как и в дискретном ряду, - варианты умножают на частоты (веса) и сумму произведений делят на сумму частот (весов), тыс. руб.:

.

Итак, средний уровень оплаты труда рабочих АО составляет 729 тыс. руб. в месяц.