Элементы теории множеств
Элементы теории множеств
Множество – основное математическое понятие. В обычной жизни его смысл заложен в словах: «совокупность», «класс», «стая», «табун», «стадо» и т.п. Теория множеств как математическая дисциплина создана немецким математиком Г. Кантором, которая получила признание в качестве самостоятельного раздела математики к 1890 году, когда были получены ее приложения в анализе и геометрии. Главная заслуга Георга Кантора заключается в установлении того факта, что понятие бесконечность является не абстракцией, придуманной философами, а реальностью; бесконечные совокупности предметов существуют наравне с конечными.
Множество относится к математическим объектам, для которых нет строго определения. Мы можем лишь в какой-то мере дать описание основных его свойств.
Кантор описывает множество следующим образом:
Определение. |
Множество Sесть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое. |
Понятие множества. Способы задания множества
Мы под множествомбудем понимать следующее:
Определение. |
Множество – набор (совокупность) определенных, различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое, и обладающий некоторым общим свойством. . Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами. . |
Для того, чтобы указать, что х– элемент множестваА, записываюти читают «хпринадлежитА». Чтобы указать, чтохне является элементом множестваА, записываюти читают «хне принадлежит множествуА».
Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:
Обозначения числовых множеств:
|
Существует два способа задания множества:
Рисунок 1. Способы задания множеств
Множества можно разделить на конечные и бесконечные.
Определение. |
Конечныммножеством называется множество, состоящее из конечного числа элементов. Множество называется бесконечным, если оно состоит из бесконечного числа элементов |
Пример 1.
Конечные множества:множество букв алфавита, множество студентов 2 курса специальности «Юриспруденция» и т.д.
Бесконечные множества:множество натуральных чисел, множество точек прямой и т.д.
К конечным множествам относится и множество, не содержащее элементов вообще. Такое множество называют пустыми обозначают Ø.
Пример 2.
Ø = , поскольку среди действительных чисел нет решения данного уравнения.
Определение.
|
Если каждый элемент множества Вявляется также и элементом множестваА, то говорят, что множествоВназываетсяподмножествоммножестваА.
(Ввключено вА). |
Пример 3.
Множество ,, тогда, т.е..
Основные свойства включений:
|
Определение.
|
Множества АиВназываютсяравными(илисовпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов, т.е.и. |
Если множества не равны, то пишут .
Пример 4.
Множества и, гдеиудовлетворяют уравнению, т.е., значит.
Определение.
|
Множество всех подмножеств множества Аназываетсямножеством-степеньюмножестваА. |
Пример 5.
Пусть , тогда{Ø}, т.е. если множество состоит из двух элементов, то множество-степень состоит из четырех подмножеств.
Пусть , тогда{{4}, {2,3}, {3,4}, {2,4}, Ø}, т.е. если множество состоит из трех элементов, то множество-степень состоит из восьми подмножеств.
Таким образом, если конечное множество Асостоит изnэлементов, то число всех его подмножеств равно.
Определение.
|
Множество Uназываетсяуниверсальнымдля системы множествА,B,C, …, если каждое множество системы является подмножествомU, т.е.,,, …. . |