Van_der_varden_algebra

Б. Л. ван дер ВАРДЕН
АЛГЕБРА
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора	9
Из предисловий автора	10
Схема зависимости глав	14
Введение	15
Глава первая
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
§ 1. Множества	17
§ 2. Отображения. Мощности	19
§ 3. Натуральный ряд	20
§ 4. Конечные и счетные множества	24
§ 5. Разбиение на классы	26
Глава вторая
ГРУППЫ
§ 6. Понятие группы	28
§ 7. Подгруппы	35
§ 8. Операции над комплексами. Смежные классы	39
§ 9. Изоморфизмы и автоморфизмы	42
§ 10. Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы	45
Глава третья
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
§ 11. Кольца	49
§ 12. Гомоморфизмы и изоморфизмы	56
§ 13. Построение частных	57
§ 14. Кольца многочленов	60
§ 15. Идеалы. Кольца классов вычетов	64
§ 16. Делимость. Простые идеалы	69
§ 17. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов	71
§ 18. Разложение на множители	75
Глава четвертая
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 19. Векторные пространства	80
§ 20. Инвариантность размерности	83
§ 21. Двойственное векторное пространство	86
§ 22. Линейные уравнения над телом	88
§ 23. Линейные преобразования	90
§ 24. Тензоры	95
§ 25. Антисимметрические полилинейные формы и определители	97
§ 26. Тензорное произведение, свертка и след	102

Глава пятая
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 27. Дифференцирование	105
§ 28. Корни	106
§ 29. Интерполяционные формулы	108
§ 30. Разложение на множители	113
§ 31. Признаки неразложимости	117
§ 32. Разложение на множители в конечное число шагов	119
§ 33. Симметрические функции	121
§ 34. Результант двух многочленов	124
§ 35. Результант как симметрическая функция корней	128
§ 36. Разложение рациональных функций на простейшие дроби	131
Глава шестая
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
§ 37. Подтело. Простое тело	134
§ 38. Присоединение	136
§ 39. Простые расширения	138
§ 40. Конечные расширения тел	143
§ 41. Алгебраические расширения	145
§ 42. Корни из единицы	150
§ 43. Поля Галуа (конечные коммутативные тела)	155
§ 44. Сепарабельные и несепарабельные расширения	159
§ 45. Совершенные и несовершенные поля	164
§ 46. Простота алгебраических расширений. Теорема о примитивном	165
элементе
§ 47. Нормы и следы	167
Глава седьмая
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
§ 48. Группы с операторами	171
§ 49. Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы	173
	174
§ 51. Нормальные и композиционные ряды	176
§ 52. Группы порядка р"	180
§ 53. Прямые произведения	181
§ 54. Групповые характеры	184
§ 55. Простота знакопеременной группы	189
§ 56. Транзитивность и примитивность	191
Глава восьмая
ТЕОРИЯ ГАЛУА
§ 57. Группа Галуа	194
§ 58. Основная теорема теории Галуа	197
§ 59. Сопряженные группы, поля и элементы поля	200

§ 60. Поля деления круга	202
§ 61. Циклические поля и двучленные уравнения	209
§ 62. Решение уравнений в радикалах	211
§ 63. Общее уравнение n-й степени	215
§ 64. Уравнения второй, третьей и четвертой степеней	218
§ 65. Построения с помощью циркуля и линейки	224
§ 66. Вычисление группы Галуа. Уравнения с симметрической группой	229
§ 67 Нормальные базисы	232
Глава девятая
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 68. Упорядоченные множества	237
§ 69. Аксиома выбора и лемма Цорна	238
§ 70. Теорема Цермело	241
§ 71. Трансфинитная индукция	242
Глава десятая
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
§ 72. Алгебраически замкнутые поля	244
§ 73. Простые трансцендентные расширения	250
§ 74. Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость	254
§ 75. Степень трансцендентности	257
§ 76. Дифференцирование алгебраических функций	259
Глава одиннадцатая
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
§ 77. Упорядоченные поля	266
§ 78. Определение вещественных чисел	269
§ 79. Корни вещественных функций	278
§ 80. Поле комплексных чисел	282
§ 81. Алгебраическая теория вещественных полей	285
§ 82. Теоремы существования для формально вещественных полей ,	290
§ 83 Суммы квадратов	294
Глава двенадцатая
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§ 84. Модули над произвольным кольцом	297
§ 85. Модули над евклидовыми кольцами. Инвариантные множители	299
§ 86. Основная теорема об абелевых группах	303
§ 87. Представления и модули представлений	307
§ 88. Нормальные формы матрицы над полем	311
§ 89. Элементарные делители и характеристическая функция	314
§ 90. Квадратичные и эрмитовы формы	317
§ 91. Антисимметрические билинейные формы	326
Глава тринадцатая
АЛГЕБРЫ

§ 92. Прямые суммы и пересечения	331
§ 93. Примеры алгебр	334
§ 94. Произведения и скрещенные произведения	340
§ 95. Алгебры как группы с операторами. Модули и представления	347
§ 96. Малый и большой радикалы	351
§ 97. Звездное произведение	355
§ 98. Кольца с условием минимальности	357
§ 99. Двусторонние разложения и разложение центра	362
§ 100. Простые и примитивные кольца	365
§ 101. Кольцо эндоморфизмов прямой суммы	368
§ 102. Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах	371
§ 103. Поведение алгебр при расширении основного поля	372
Глава четырнадцатая
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
§ 104. Постановка задачи	378
§ 105. Представления алгебр	379
§ 106. Представления центра	384
§ 107. Следы и характеры	386
§ 108. Представления конечных групп	388
§ 109. Групповые характеры	392
§ 110. Представления симметрических групп	398
§ 111. Полугруппы линейных преобразований	401
§ 112. Двойные модули и произведения алгебр	404
§ 113. Поля разложения простых алгебр	410
§ 114. Группа Брауэра. Системы факторов	413
Глава пятнадцатая
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
§ 115. Нётеровы кольца	421
§ 116. Произведения и частные идеалов	425
§ 117. Простые идеалы и примарные идеалы	429
§ Ни. Общая теорема о разложении	434
§ 119. Теорема единственности	438
§ 120. Изолированные компоненты и символические степени	441
§ 121. Теория взаимно простых идеалов	444
§ 122. Однократные идеалы	447
§ 123. Кольца частных	450
§ 124. Пересечение всех степеней идеала	452
§ 125. Длина примарного идеала. Цепи примарных идеалов в нётеровых	455
кольцах
Глава шестнадцатая
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
§ 126. Алгебраические многообразия	459

§ 127. Универсальное поле	462
§ 128. Корни простого идеала	463
§ 129. Размерность	466
§ 130. Теорема Гильберта о корнях. Система результантов для однородных	468
уравнений
§ 131. Примарные идеалы	471
§ 132. Основная теорема Нётера	474
§ 133. Сведение многомерных идеалов к нульмерным	478
Глава семнадцатая
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§ 134. Конечные R-модули	482
§ 135. Элементы, целые над кольцом	484
^ 136. Целые элементы в поле	487
§ 137. Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов	493
§ 138. Обращение и дополнение полученных результатов	496
§ 139. Дробные идеалы	499
§ 140. Теория идеалов в произвольных целозамкнутых целостных кольцах	501
Глава восемнадцатая
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
§ 141. Нормирования	509
§ 142. Пополнения	515
§ 143. Нормирования поля рациональных чисел	521
§ 144. Нормирование алгебраических расширений: случай полного поля	524
§ 145. Нормирование алгебраических расширений: общий случай ,	531
§ 146. Нормирования полей алгебраических чисел	633
§ 147. Нормирования поля рациональных функций ∆ (х)	539
§ 148. Аппроксимационная теорема	542
Глава девятнадцатая
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 149. Разложения в ряды по степеням униформизирующих	545
§ 150. Дивизоры и их кратные	550
§ 151. Род g	554
§ 152. Векторы и ковекторы	557
§ 153. Дифференциалы. Теорема об индексе специальности	560
§ 154. Теорема Римана—Роха	564
§ 155. Сепарабельная порождаемость функциональных полей	568
§ 156. Дифференциалы и интегралы в классическом случае	569
§ 157. Доказательство теоремы о вычетах	574
Глава двадцатая
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
§ 158. Понятие топологического пространства	580
§ 159. Базисы окрестностей	581

§ 160. Непрерывность. Пределы		583
§ 161. Аксиомы отделимости и счетности		584
§ 162. Топологические группы		585
§ 163. Окрестности единицы		586
§ 164. Подгруппы и факторгруппы		588
§ 165. Т-кольца и Т-тела		589
§ 166. Пополнение групп с помощью фундаментальных		591
последовательностей
§ 167. Фильтры		595
§ 168. Пополнение группы с помощью фильтров Коши		598
§ 169. Топологические векторные пространства		602
§ 170. Пополнение колец		604
§ 171. Пополнение тел		606
Предметный указатель		608
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелев дифференциал 569	— Грассмана 337
Абелева группа 28	— кватернионов 334
Абелево расширение 196	— — обобщенных 334
— уравнение 196	— Клиффорда 339
Абсолютная величина 266	— — вторая 339
— неразложимость 129	— полупростая 352
Абсолютно неприводимое	— простая 345
представление 383	— с делением 349
— целая алгебраическая функция 485	— центральная 344
Автоморфизм 43	— циклическая 345
— внешний 43	Алгебраическая функция	одной
— внутренний 43	переменной 261
Аддитивная группа 29	— — целая 485
— — кольца 50	— — — абсолютно 485
Аксиома Архимеда 268	Алгебраически зависимое множество
— выбора 238	256
— отделимости вторая 584	— зависимый элемент 254, 256
— — первая 584	— замкнутое поле 165, 244, 545
— пополняемости тел 607	— независимое множество 256
— сильной пополняемости 599	— независимые элементы 255
— слабой пополняемости 592	Алгебраический элемент 139
— счетности первая 584	— — целый 484
— Хаусдорфа 584	Алгебраическое многообразие 459
Аксиомы Пеано 20	— расширение 145
Алгебра 330	— — максимальное 244
— ассоциативная 330	— — простое 139

— число 142	— — антисимметрическая 97
— — целое 485	Большой радикал кольца 353
Алгоритм деления 64, 75	Брауэрова система факторов 417
— Евклида 73	Вековое уравнение 317
Альтернативное кольцо 330	Вектор 80
Альтернированная билинейная	— базисный 81
форма 97	— ковариантный 96
Антисимметрическая билинейная	— контравариантный 96
форма 97	— линейно зависимый от системы
— полилинейная форма 97	векторов 83
— форма общая 328	— собственный 314, 323
Аппроксимационная теорема 544	— степенных рядов 558
Арифметическая прогрессия	Векторное пространство 80
нулевого порядка 112	— — двойственное 87
— — n-го порядка 112	— — каноническое n-мерное 603
Архимедово нормирование 522	— — конечное 81
— поле 268	— — конечномерное 81
Ассоциативная алгебра 330	— — левое 80
Ассоциированные системы факторов	— — модельное n-мерное 83
343	— — над Ω 603
— элементы 76	— — правое 80
Ассоциированный идеал примарный	Векторы линейно зависимые 83
432	— — независимые 81, 84
— — простой 432	— ортогональные 322
Аффинное пространство 459	Величина абсолютная 266
Базис векторного пространства 81	Верхняя граница 238
— идеала 65	— грань 238
— модуля 482	Вес многочлена 121
— нормальный 232	Вещественно замкнутое поле 285
— окрестностей 581, 599	Взаимно однозначное отображение
— — пространства 582	19
— фильтра 596	— простые идеалы 444
— — Коши 596	— — элементы 73
— — сходящийся 597	Вложение поля 531
Базисные множества 582	Вложенная компонента идеала 442
— окрестности 582	Вложенный идеал 442
Базисный вектор 81	Внешнее умножение 337
Базисы двойственные 88	— — грассманово 336
Бесконечная циклическая группа 37	Внешний автоморфизм 43
Бесконечное множество 24	Внутренний автоморфизм 43
Билинейная форма 95	Возможность деления 31
— — альтернированная 97	Вполне положительное число 295

— положительный элемент 295	— Галуа 195
— приводимая группа 184	— — поля деления круга 204
— приводимое представление 310,	— дивизоров поля 551
351	— дискретная 585
— — слева кольцо 361	— единичная 36
— упорядоченное множество 237	— знакопеременная 36
Вращение 323	— импримитивная 192
Всюду конечный дифференциал 563	— интранзитивная 191
Вторая аксиома отделимости 584	— кватернионов 390
— алгебра Клиффорда 339	— Клейна четверная 44
— нормальная форма матрицы 313	— кольца аддитивная 50
— теорема единственности 443	— комплексная 329
— — о разложении 438	— многочлена 195
Вторая аксиома об изоморфизме 175	— порожденная 37
— форма индукции 21	— примарная 304
Второе соотношение между	— примитивная 192
характерами 394	— простая 176
Высокий примарный идеал 506	— разрешимая 180
Вычет дифференциала 571	— с операторами 171
— квадратичный 535	— симметрическая 31
Гамильтонов кватернион 335	— симплектическая 329
Гиперповерхность 468	— тела мультипликативная 55
Главный идеал 65	— топологическая 585
— порядок 490	— транзитивная 191
Гомоморфизм 45	— уравнения 195
— групп 45	— характеров 185
— модулей 174	— циклическая 37
— “на” 45	Группа циклическая бесконечная 37
— операторный 173	Групповое кольцо 336
Гомоморфное отображение 45	Группы изоморфные 42
Гомоморфный образ 45	— — топологически 586
Граница верхняя 238	Двойной модуль 350
Грань верхняя 238	Двойственное векторное
Грассманова алгебра 337	пространство 87
Грассманово внешнее умножение 336	Двойственные базисы 88
Группа 28	Двусторонне непрерывный
— абелева 28	изоморфизм 521
— автоморфизмов множества 43	Двусторонний идеал 65
— аддитивная 29	Двухвалентный тензор 95
— — кольца 50	Двучленное уравнение 209
— Брауэра 414	Делимость в кольце 69
— вполне проводимая 184	— вектора на дивизор 558

— дивизоров 552	— — примарного 455
— идеалов 69	— нормального ряда 176
— относительно нормирования 515	Доказательство методом индукции 20
Делитель 69	— — — трансфинитной 242
— единицы 75	Допустимая нормальная подгруппа
— матрицы детерминантный 302	171
— — элементарный 313	— подгруппа 171
— нуля 51	Допустимый идеал 347
— — левый 51	Дробный идеал 493
— — правый 51	Дробь простейшая 132
— общий наибольший 73	Евклидово кольцо 72
— — — идеалов 71	Единица 28, 75
— — — ν -модулей 493	— кольца 52
— собственный 69, 76	— левая 28
Детерминантный делитель матрицы	— правая 31
302	Единичная группа 36
Дивизор дифференциала 566	— матрица 93
— единичный 551	— подстановка 30
— поля 550	— форма квадратичная 321
— простой 551	— — эрмитова 322
— специальный 557	Единичный дивизор 551
— целый 551	— идеал 65
Дивизор-знаменатель 554	— элемент 52
Дивизор-числитель 554	Задача о трисекции угла 227
Дивизоры линейно независимые 567	— об удвоении куба 227
— эквивалентные 553	Закон ассоциативности 20, 28
Дискретная группа 585	— дистрибутивности 49
Дискретное нормирование 514	— инерции Сильвестра 320
— пространство 583	— коммутативности 21, 28
Дискриминант 124	— композиции 28
— формы 319	Замкнутая оболочка 581
Дифференциал абелев 569	Замкнутое множество 239
— Вейля 563	— — в топологическом пространстве
— конечный всюду 563	580
— — относительно плейса 571	— мультипликативное множество
— первого рода 563	441
— поля 563	— подмножество по Цорну 239
— элементарный второго рода 564	Звездно обратный элемент 355
— — третьего рода 564	— — — левый 355
Дифференциальное отношение 260	— регулярный идеал 356
— соотношение эйлерово 106	— — слева элемент 355
Длина идеала 361	— — элемент 355

Звездное произведение 355 Знак числа 280 Знакопеременная группа 36 Значение многочлена 62

—собственное 323 Идеал 64

—, аннулирующий модуль 303

—ассоциированный примарный 432

—— простой 432

—вложенный 442

—главный 65

—двусторонний 65

—допустимый 347

Идеал дробный 493

—единичный 65

—звездно регулярный 356

—изолированный 442

—левый 65

—максимальный 70

—модулярный 353

—, не имеющий делителей 70

—неприводимый 434

—неразложимый 504

—несмешанный 473

—нильпотентный 351

—нулевой 65

—однократный 448

—отмеченный 450

—порожденный 65

—правый 64

—приводимый 434

—примарный 430

——. высокий 506

—— низкий 506

—простой 69

—— относительно идеала 428

—сильно примарный 434

—слабо примарный 434

—, соответствующий многообразию

460

— целый 493 Идеалы взаимно простые 444

—квазивзаимно простые 503

—квазиравные 501 Идемпотентный элемент 360 Изолированная компонента идеала

442

Изолированное подмножество множества идеалов 442

Изолированный идеал 442 Изоморфизм 42

—двусторонне непрерывный 521

—над полем 161

—операторный 173

—топологический 521 Изоморфные группы 42

—множества 42

—нормальные ряды 177 Импримитивная группа 192 Инвариантная подгруппа 41 Инвариантное подпространство 308 Инвариантный множитель 302 Инверсно изоморфное кольцо 367 Инверсное кольцо 404 Индекс инерции квадратичной

формы 320

—подгруппы 41

—специальности дивизора 557

—тела 377

Индукция 20

—трансфинитная 242 Интервал открытый 581

Интерполяционная формула Лагранжа 109

—— Ньютона 109

Интранзитивная группа 191 Инъективное отображение 19 Канонический класс 567 Каноническое n-мерное векторное

пространство 603 Касательный конус 477 Квадратичная форма 317

— — единичная 321