Математика / Методические указания по теме Комплексные числа
.docМинистерство образования Российской Федерации
Байкальский государственный университет экономики и права
Читинский институт
Кафедра математики
Методические указания к
расчетно-графической работе
по теме
«Комплексные числа»
для студентов 1-го курса
Чита 2010г.
Введение
Методические указания предназначены для студентов 1 курса финансово-информационного и экономического факультетов. Расчетно-графическая работа по теме «Комплексные числа» содержит 28 однотипных вариантов, каждый из которых состоит из 3 задач.
Первая задача предназначена для закрепления материала относительно алгебраической и тригонометрической формы комплексного числа, сопряженных комплексных чисел, корня третьей степени из комплексного числа и их графическому представлению.
Вторая задача углубляет понимание модуля комплексного числа, демонстрирует способ алгебраического и графического решения неравенств с комплексными числами.
Третья задача посвящена основным операциям с комплексными числами. Особое внимание уделено сопоставлению результатов, полученных в алгебраической и тригонометрической формах.
Для каждой задачи подробно рассмотрен пример решения, содержащий как необходимый теоретический материал, так и комментарии, акцентирующие внимание на основных элементах решения, где чаще всего студенты делают ошибки.
Демонстрационный вариант
Задача №1. Даны в алгебраической форме два числа и :
а) Найти алгебраическую форму числа ;
б) Найти тригонометрическую форму числа ;
в) Решить уравнение ;
г) Изобразить числа , и полученные корни уравнения точками на комплексной плоскости.
,
Решение.
а) Комплексные числа , заданы в алгебраической форме, где – мнимая единица.
Если комплексное число задано в алгебраической форме , то число называется действительной частью комплексного числа, – мнимой частью, число – коэффициентом при мнимой части.
Определение. Два комплексных числа в алгебраической форме называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
Например, для числа сопряженным является число . При делении комплексных чисел в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби необходимо умножить на сопряженное число знаменателя. В результате в знаменателе исчезнет мнимая единица, при этом надо иметь в виду, что . В полученном выражении приводим подобные и получаем искомое комплексное число .
Ответ:
Замечание. Если в Вашем варианте попались числа, например, вида или , то их можно представить в виде или и дальше выполнять действия по предложенному выше шаблону.
б) Комплексное число в тригонометрической форме имеет вид:
,
где – модуль комплексного числа , – аргумент комплексного числа.
Если комплексное число задано в алгебраической форме , то модуль комплексного числа находят по формуле , а аргумент комплексного числа из выражений , .
В нашем примере , т.е. , , следовательно, модуль .
Выражения , выполняются для , .
Таким образом, комплексное число в тригонометрической форме имеет вид:
Так как , , то принято тригонометрическую форму комплексного числа записывать без , при этом угол называют главной частью аргумента комплексного числа. Итак, искомая тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:
в) Решим уравнение , где – комплексное число. Из уравнения имеем . Для возведения комплексного числа в ‑ую степень используется формула Муавра: .
Из пункта а) имеем , следовательно, . Представим число в тригонометрической форме аналогично пункту б):
,
, , , .
Отсюда, .
Замечание. Обратите внимание, что если , то . Числа и имеют одинаковый модуль, но разные аргументы, которые отличаются друг от друга на величину угла , что соответствует изменению направления радиус-вектора комплексного числа на противоположное, т.е. на 180о градусов. Следуя этому правилу можно сразу записать тригонометрическую форму числа , зная тригонометрическую форму числа .
По формуле Муавра при имеем:
.
Отсюда, .
Уравнение третьей степени имеет ровно три корня, которые можно найти, взяв . Итак, искомые корни заданного уравнения имеют вид:
при
при
при
г) Если комплексное число задано в алгебраической форме , то в комплексной плоскости ему соответствует точка с координатами . Если комплексное число задано в тригонометрической форме , то ему соответствует точка конца вектора, который начинается в начале координат, имеет длину равную и образует угол с положительным направлением оси .
Имеем
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
Задача №2. Указать на комплексной плоскости все точки , для которых выполняется неравенство. Сделать чертеж.
, где – комплексное число.
Решение.
Представим комплексное число в алгебраической форме , тогда заданное неравенство примет вид:
или
Введем в рассмотрение новое комплексное число , где , , тогда заданное неравенство можно записать в виде . Модуль комплексного числа равен , следовательно, заданное неравенство принимает вид:
или
Рассмотрим первое неравенство . Так как равенство является уравнением окружности с центром в точке и радиусом , то рассматриваемому неравенству удовлетворяют все точки комплексной плоскости, лежащие от точки на расстоянии большем, чем , т.е. все точки, лежащие с внешней стороны окружности .
Рассмотрим второе неравенство . Так как равенство является уравнением окружности с центром в точке и радиусом , то рассматриваемому неравенству удовлетворяют все точки комплексной плоскости, лежащие от точки на расстоянии меньшем или равном , т.е. все точки, лежащие с внутренней стороны окружности и на окружности .
Таким образом, геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют одновременно двум неравенствам, является кольцо, ограниченное сверху окружностью , а снизу – окружностью . При этом точки верхней окружности также являются решением заданного двойного неравенства, а точки нижней окружности – не являются.
Сделаем чертеж.
Задача №3. Найти сумму, разность, произведение и частное чисел и в алгебраической форме. Найти тригонометрическую форму этих чисел. Найти их произведение и частное в тригонометрической форме.
,
Решение.
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.
Найдем сумму чисел и :
Найдем разность чисел и :
Найдем произведение чисел и :
Найдем частное чисел и (см. задание 1 пункт а)):
Найдем тригонометрическую форму числа (см. задание 1 пункт б)):
, ,
, , , .
Итак, модуль числа равен , главная часть аргумента числа равна , тригонометрическая форма числа имеет вид:
Найдем тригонометрическую форму числа (см. задание 1 пункт б)):
, ,
, , , .
Итак, модуль числа равен , главная часть аргумента числа равна , тригонометрическая форма числа имеет вид:
Найдем произведение чисел и в тригонометрической форме. При умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются. Следовательно,
,
Проверка.
, что совпадает с результатом, найденным в алгебраической форме.
Найдем частное чисел и в тригонометрической форме. При делении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются. Следовательно,
,
Проверка.
, что совпадает с результатом, найденным в алгебраической форме.
Задачи для расчетно-графической работы
по теме «Комплексные числа»
Задача №1. Даны в алгебраической форме два числа a и b:
а) Найти алгебраическую форму числа = a/b;
б) Найти тригонометрическую форму числа ;
в) Решить уравнение z3+=0
г) Изобразить числа , - и полученные корни уравнения z3+=0 точками на комплексной плоскости.
1 |
a = b = |
2 |
a = b = |
3 |
a = b = |
4 |
a = b = |
5 |
a = b = |
6 |
a = b = |
7 |
a = b = |
8 |
a = b = |
9 |
a = b = |
10 |
a = b = |
11 |
a = b = |
12 |
a = b = |
13 |
a = b = |
14 |
a = b = |
15 |
a = b = |
16 |
a = b = |
17 |
a = b = |
18 |
a = b = |
19 |
a = b = |
20 |
a = b = |
21 |
a = b = |
22 |
a = b = |
23 |
a = b = |
24 |
a = b = |
25 |
a = b = |
26 |
a = b = |
27 |
a = b = |
28 |
a = b = |