Производные и дифференциалы

10. Частные приращения и частные производные

Пусть функция определена в некоторой (открытой) областиD точекмерного пространства, и– точка в этой области, т.е. D.

Частным приращением функции многих переменных по какой-либо переменной называется то приращение, которое получит функция, если мы дадим приращение этой переменной, считая, что все остальные переменные имеют постоянные значения.

Например, частное приращение функции по переменнойбудет

.

Частной производной по независимой переменной в точке от функции называется предел (если существует) отношения частного приращенияфункции к приращениюпеременнойпри стремлениик нулю:

.

Частную производную обозначают одним из символов:

;.

Замечание. Индекс внизу в этих обозначениях лишь указывает, по какой из переменных берется производная, и не связана с тем, в какой точкеэта производная вычисляется.

Вычисление частных производных не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной, необходимо только помнить, что при дифференцировании функции по какой-либо переменной все остальные переменные принимаются за постоянные. Покажем это на примерах.

Пример 1. Найти частные производные функции .

Решение. При вычислении частной производной функции по аргументурассматриваем функциюкак функцию только одной переменной, т.е. считаем, чтоимеет фиксированное значение. При фиксированномфункцияявляется степенной функцией аргумента. По формуле дифференцирования степенной функции получаем:

Аналогично, при вычислении частной производной считаем, что фиксировано значение, и рассматриваем функциюкак показательную функцию аргумента. В итоге получаем:

Пример 2. Найти частные производные ифункции.

Решение. При вычислении частной производной по заданную функциюмы будем рассматривать как функцию одной переменной, а выражения, содержащие, будут постоянными множителями, т.е.выступает в роли постоянного коэффициентапри степенной функции(). Дифференцируя это выражение по , получим:

.

Теперь, наоборот, функцию рассматриваем как функцию одной переменной, в то время как выражения, содержащие, выступают в роли коэффициента().Дифференцируя по правилам дифференцирования тригонометрических функций, получаем:

Пример 3. Вычислить частные производные функции в точке.

Решение. Находим сначала частные производные данной функции в произвольной точке её области определения. При вычислении частной производной посчитаем, чтоявляются постоянными.

при дифференцировании по постоянными будут:

а при вычислении частных производных по и по, аналогично, постоянными будут, соответственно,и, т.е.:

Теперь вычислим значения этих производных в точке , подставляя в их выражения конкретные значения переменных. В итоге получаем:

11. Частные и полный дифференциалы функции

Если теперь к частному приращению применить теорему Лагранжа о конечных приращениях по переменной, то, считаянепрерывной, получим следующие соотношения:

где , – бесконечно малая величина.

Частным дифференциалом функции по переменнойназывается главная линейная часть частного приращения, равная произведению частной производной по этой переменной на приращение этой переменной, и обозначается

Очевидно, частный дифференциал отличается от частного приращения на бесконечно малую высшего порядка.

Полным приращением функции многих переменных называется то её приращение, которое она получит, когда мы всем независимым переменным дадим приращение, т.е.

где все , зависят оти вместе с ними стремятся к нулю.

Под дифференциалами независимых переменных условились подразумеватьпроизвольные приращения и обозначать их. Таким образом, выражение частного дифференциала примет вид:

Например, частный дифференциал поопределяется так:

.

Полным дифференциалом функции многих переменныхназывается главная линейная часть полного приращения, равная, т.е.сумме всех её частных дифференциалов:

Если функция имеет непрерывные частные производные

в точке , то онадифференцируема в данной точке.

При достаточно малом для дифференцируемой функцииимеют место приближенные равенства

,

,

с помощью которых можно производить приближенные вычисления.

Пример 4. Найти полный дифференциал функции трёх переменных.

Решение. Прежде всего, находим частные производные:

Заметив, что они непрерывны при всех значениях , находим:

Для дифференциалов функций многих переменных верны все теоремы о свойствах дифференциалов, доказанные для случая функций одной переменной, например: если и– непрерывные функции переменных, имеющие непрерывные частные производные по всем переменным, аи– произвольные постоянные, то:

(6)