математикат контр.работа
.doc1.16. Найти интервал сходимости и исследовать на концах
Решение: найдем интервал сходимости данного ряда.
Используем признак Даламбера:
Ряд сходится при
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) При
Используем признак Лейбница:
Ряд является знакочередующимся.
– члены ряда убывают по модулю.
Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, то есть убывание монотонно.
Вывод: Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
Сравним данный ряд с расходящимся рядом (случай обобщенного гармонического ряда при ). Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с рядом .
Таким образом, ряд сходится только условно.
2) При – расходится (по доказанному).
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: , при ряд сходится только условно.
2.16. Разложить в степенной ряд по степеням и указать интервал сходимости
Решение: преобразуем функцию:
разложим знаменатель дроби в произведение:
Таким образом:
Методом неопределённых коэффициентов представим функцию в виде суммы дробей:
В результате:
Разложим данную функцию в степенной ряд по степеням .
Используем разложения:
с областью сходимости:
1)
Ряд сходится, если:
2)
Ряд сходится, если:
Окончательно:
Область сходимости:
Ответ: , ряд сходится, если
3.16. Изменить порядок интегрирования (сделать чертёж области)
Решение: изобразим область интегрирования на чертеже:
Найдём обратные функции:
Изменим порядок обхода области:
1)
Ответ:
4.16. С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями (сделать чертёж).
Решение: используем полярную систему координат:
,
Найдём уравнения линий в данной системе:
– окружность радиуса с центром в точке
– окружность радиуса с центром в точке
Найдём точку пересечения окружностей:
Изобразим область интегрирования на чертеже:
Область интегрирования разделим на две части, порядок обхода:
Таким образом:
Ответ:
5.16. Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями (сделать схематический чертёж).
Решение: данное тело ограничено эллиптическим параболоидом снизу и конической поверхностью сверху. Найдём линию пересечения поверхностей:
– окружность единичного радиуса.
Проекцией тела на плоскость является круг с центром в начале координат радиуса 1.
Выполним чертёж:
Объем тела вычислим с помощью тройного интеграла, используя цилиндрическую систему координат: ,
Порядок обхода тела:
Таким образом:
Ответ:
6.16. Определить, что данное выражение является полным дифференциалом и восстановить с помощью криволинейного интеграла.
Решение: определим, что данное выражение является полным дифференциалом:
, значит, данное выражение является полным дифференциалом функции.
Найдём данную функцию с помощью криволинейного интеграла, выбрав точку :
( – это тоже некоторая константа )
Ответ: